小學數(shù)學 數(shù)學故事 周煒良定理 素材

1、周煒良定理關于解析簇的周煒良定理周煒良于1949年發(fā)表了一篇重要論文“關于緊復解析簇”所謂解析簇V，是指對任何pV，總存在一組解析函數(shù)g1，g2，gn，和點p的一個鄰域B(p)，使得VB(p)中的點x都是g1，g2，gn的零點這是一種局部性質由于多項式都是解析函數(shù)，所以代數(shù)簇都是解析簇周煒良證明了某些情形下的逆命題：“若V是n維復射影空間CPn中的閉解析子簇，那么它一定是代數(shù)簇，而且所有閉解析子簇間的半純映射，一定是有理映射”這一反映由局部性質向整體性質過渡的深刻結論，被稱為周煒良定理(ChowTheorem)，在代數(shù)幾何學著作中廣受重視在許多論文里，常常把它作為新理論的出發(fā)點復解析流形195

2、0年前后，復解析流形的研究形成熱門課題日本數(shù)學家小平邦彥(KKodaira)是這方面的專家，當時也在美國工作，與周煒良有交往1952年，周煒良證明了如下結果：“若V是復r維的緊復解析流形，F(xiàn)(V)是V上半純函數(shù)所構成的域，則F(V)是有限的代數(shù)函數(shù)域，其超越維數(shù)s不會大于r此外，還存在一s維的代數(shù)簇V以及V到V的半純變換T，使T可誘導出F(V)和F(V)間的同構特別地，如果可選擇V使得T還是雙正則變換，那么V必是代數(shù)簇這就把復解析流形和代數(shù)簇聯(lián)系起來了把這個一般的結論用于二維的克勒(Khler)曲面，并用小平邦彥所建立的克勒流形上的黎曼-羅赫(Riemann-Roch)定理，就可以得出如下結論

3、：“具有兩個獨立的半純函數(shù)的克勒曲面(即s=r=2的情形)一定是代數(shù)曲面”這是周煒良和小平邦彥合作的論文中的一個結論，被稱為周-小平(Chow-Kodaira)定理周煒良簇和周煒良環(huán)用周煒良坐標可以對平面曲線和空間曲線進行分類只要由已知的次數(shù)d和虧數(shù)g，從非奇異的空間射影曲線的周煒良坐標形成所謂周煒良簇，就能很自然地用有限個擬射影簇將它參數(shù)化在射影簇研究上，另一個為人們稱道的周煒良引理(ChowLemma)，涉及完全簇和射影簇的關系蘇聯(lián)數(shù)學家沙法列維奇(aape)在其名著代數(shù)幾何基礎中曾提到這一引理：“對于每一個不可約的完全簇X，總有一個射影簇X，使得X和X之間有一雙有理同構”周煒良在射影簇方

4、面最著名的工作是提出周煒良環(huán)(ChowRing)他于1956年發(fā)表的論文“關于代數(shù)簇上閉鏈的等價類”中，提出了射影代數(shù)簇上代數(shù)閉鏈的有理等價性的系統(tǒng)理論大意是：設V是n維射影空間Pn上的代數(shù)簇，其上的s維閉鏈所成的群為G(V，s)，與零鏈等價的閉鏈成子群Gr(V，s)令Hr(V，s)是二者的商群將s從1到n作直和，得Hr(V)=Hr(V，s)周煒良在Hr(V)上定義一種乘法，使之構成環(huán)，這就是著名的周煒良環(huán)它是結合的，交換的，具有單位元這篇論文由MF阿蒂亞(Atiyah)寫成文摘刊于美國的數(shù)學評論周煒良環(huán)具有很好的函子性質：設p是兩代數(shù)簇X，V之間的模射，f：XV，則V中閉鏈C的原象f-1(C

5、)也是X中的閉鏈，且此運算與相截(intersection)和有理等價性能夠相容因此，它是代數(shù)幾何研究中的一項重要工具周煒良環(huán)在許多情形可以代替上同調環(huán)在證明各種黎曼-羅赫定理時，常用周煒良環(huán)去導出陳省身類著名的韋伊(Weil)猜想的解決，也可使用周煒良環(huán)另一個常被引用的結論是所謂周煒良運動定理(ChowsMo-vingLemma)：若Y，Z是非奇異擬射影簇X中的兩閉鏈，則必存在與Z有理等價的閉鏈Z，使Y和Z具有相交性質(inte-rsectproperty)1970年在奧斯陸舉行的代數(shù)幾何會議上，有專文論述此定理關于阿貝爾簇的周煒良定理20世紀40年代，A韋伊(Weil)等開創(chuàng)了阿貝爾簇的研

6、究他們把代數(shù)曲線上的雅可比(Jacobi)簇發(fā)展為一般代數(shù)流形上的皮卡-阿爾巴內(nèi)塞(Picard-Albanese)簇理論，將過去意大利學派的含糊結果加以澄清周煒良對此作了豐富和發(fā)展，并推廣到特征p域的情形周煒良在文獻10中證明對一般射影代數(shù)簇都存在雅可比簇文獻11和12給出了阿貝爾簇的代數(shù)系統(tǒng)理論，其中有關可分(separable)、正則(regular)和本原擴張(pri-maryextention)的論述，已成為這一領域的基本文獻周煒良還證明了以下結論：“若A是域k上的阿貝爾簇，B是定義在k的準素擴張K上的阿貝爾子簇，那么B也在k上有意義”S郎(Lang)稱之為周煒良定理周煒良在1957

7、年發(fā)表的關于阿貝爾簇的論文也反復被人引用這一年，普林斯頓大學以數(shù)學名家萊夫謝茨的名義舉行“代數(shù)幾何與拓撲”的科學討論會，韋伊和周煒良都參加了他們兩人在會上宣讀的論文密切相關韋伊證明任何阿貝爾簇都可嵌入射影空間，而周煒良則證明任何齊次簇(不必完備)也可嵌入射影空間文章不長，但解決得很徹底其他工作周煒良在代數(shù)幾何領域的研究，涉及很廣例如扎里斯基關于抽象代數(shù)幾何中的退化原理(degenerationprinciple)的論證，很長而且難懂，周煒良把證明作了大幅度壓縮，并加以推廣他和井草準一(Jlgusa)合作，建立了環(huán)上代數(shù)簇的上同調理論此外，還推廣了代數(shù)幾何中的連通性定理在擴充由WV霍奇(Hodge)與D佩多(Pedoe)證明的格拉斯曼(Grassm-ann)簇的基本定理時，指出了某些環(huán)空間上的代數(shù)特性這些都是很有價值的工作退休之后，周煒良仍然研究不輟1986年，他以75歲高齡，發(fā)表了題為“齊次空間上的形式函數(shù)(formalfunction)”的論文P拉克斯(Lax)把周煒良列為最重要的移居美國的數(shù)學家之一但他