高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課初探

1、高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課初探HP圖形計(jì)算器在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用幾例海南華僑中學(xué) 趙濤在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越學(xué)越?jīng)]有興趣，對(duì)一支筆一張紙的演算非常反感。相反對(duì)物理，化學(xué)等學(xué)科的實(shí)驗(yàn)課往往很有興趣。動(dòng)手操作多，參與性強(qiáng)，有利于提高對(duì)該學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。為什么數(shù)學(xué)學(xué)科就不可以有一些實(shí)驗(yàn)課呢？為什么不能在相關(guān)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)課中引入數(shù)學(xué)方法呢？這樣是否能夠更貼近實(shí)際，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)燃起興趣。有鑒于此，我借助HP圖形計(jì)算器在高中數(shù)學(xué)課中進(jìn)行了一些初步的探索。（一）數(shù)列中的應(yīng)用1、探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（人教A版必修5 P39 探究題）例1、寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察數(shù)列有何特點(diǎn)？首先按APLET鍵，選擇

2、Sequence（數(shù)列），輸入該數(shù)列，然后按NUM鍵觀察數(shù)值變化，從數(shù)值上尋找對(duì)于這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)之間有何規(guī)律。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)3，將其推廣，得到等差數(shù)列的定義：如果差為d(任意一個(gè)常數(shù))，則這樣子的數(shù)列稱為等差數(shù)列。師：請(qǐng)任意選取一些項(xiàng)，如觀察，等項(xiàng)，相互之間有何規(guī)律?生：，師：那么可以猜測(cè)，對(duì)于等差數(shù)列中的第n項(xiàng)和第一項(xiàng)之間有怎樣的關(guān)系呢？生：然后給予嚴(yán)格證明。師：請(qǐng)任意挑選兩項(xiàng)，觀察二者之差與公差的關(guān)系。學(xué)生自選兩項(xiàng)分析，不難得出規(guī)律，師生共同歸納得出，依據(jù)通項(xiàng)公式給出證明。師：請(qǐng)作出數(shù)列圖像,觀察圖像有何特點(diǎn)？生1：是階梯圖。師：為什么？生1

3、：因?yàn)閿?shù)列的n只能取整數(shù)。師：再觀察兩相鄰點(diǎn)間還有什么特點(diǎn)？生2：垂直距離都是3.師：為什么？生2：這個(gè)距離就是公差3師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)佼嫵龊瘮?shù)的圖像，與剛才數(shù)列的圖像相比，有什么共同點(diǎn)嗎？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列各點(diǎn)所在的直線即為函數(shù)的圖像，直線的斜率即為數(shù)列的公差。在這一探究過程當(dāng)中，學(xué)生能夠直觀理解等差數(shù)列其實(shí)就是一次函數(shù)的離散化，對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有更深刻的理解。前n項(xiàng)和公式例2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（人教A版必修5 P45 例4）已知等差數(shù)列5，的前n項(xiàng)為，求使得最大的序號(hào)n的值.解：求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為按Shift MODES鍵，選擇Fraction.運(yùn)用分?jǐn)?shù)格式。在Sequence

4、中輸入這個(gè)數(shù)列，按NUM鍵觀察各項(xiàng)值的變化規(guī)律。不難得到數(shù)列單調(diào)遞減。按Plot鍵，做出這個(gè)函數(shù)的階梯圖。易知至都在x軸上方，均為正。，以后均為負(fù)。所以易知當(dāng)或8時(shí)，取到最大。在Sequence中輸入數(shù)列，再NUM中觀察這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，易知，從至單調(diào)遞增，然后再單調(diào)遞減。易知最大值為20.作出這個(gè)數(shù)列的圖像，觀察這個(gè)圖像易知，類似開口向下的二次函數(shù)圖像。再作出函數(shù)的圖像。對(duì)比易知，這個(gè)數(shù)列就是二次函數(shù)的離散化。自然要求使得的序號(hào)值還有第二種解法（配方法）：，即當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，取最大值。這樣有助于加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式實(shí)際上是二次函數(shù)的離散化這一知識(shí)點(diǎn)的理解，也進(jìn)

5、一步幫助學(xué)生從函數(shù)的角度來理解數(shù)列。這個(gè)問題還可以進(jìn)行推廣，怎樣的等差數(shù)列有最大值，怎樣的等差數(shù)列有最小值？可以由學(xué)生自主探究。另外，類似的，還可以在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的教學(xué)過程中滲透極限與積分的思想。例如其前n項(xiàng)和是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)的離散化模型。人教A版必修5P61 習(xí)題2.5A組第5題一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，（1） 當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程共是多少？（2） 當(dāng)它第幾次著地時(shí)，經(jīng)過的路程共是293.75m？（3） 至球落地不動(dòng)為止，共經(jīng)過路程多少？（自行補(bǔ)充）解：從球第i次著地到第i+1次著地間的距離記為，則為一首項(xiàng)是100，公比為的等比數(shù)列則

6、第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程即為，對(duì)于上述數(shù)列，輸入圖形計(jì)算器，易得當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程共是100+199.61=299.61m。若共為293.75m,則由圖易知當(dāng)球第5次落地時(shí)，總路程為293.75m.前兩問利用圖形計(jì)算器同學(xué)們很快給出了解答。但是對(duì)第三問學(xué)生會(huì)有困惑，如果按照理想狀態(tài)，這個(gè)球?qū)⒂肋h(yuǎn)彈下去，則距離將不斷增大？可是這明顯與事實(shí)相違。繼續(xù)觀察數(shù)組，在第22項(xiàng)以后其值就固定在200不再增大了，為何出現(xiàn)這種情況？是不是意味著這個(gè)球到停止彈跳共經(jīng)過300米的路程。觀察，當(dāng)N越來越大時(shí)，越來越小越趨近于零，當(dāng)N非常大的時(shí)候，則可以忽略不計(jì)。即這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和為200，所以總路程

7、為300。那怎樣的等比數(shù)列可以求所有項(xiàng)的和呢？國(guó)際象棋發(fā)明者向國(guó)王要麥子的問題能不能求所有項(xiàng)的和？可以交給學(xué)生自主探究。不等式中的應(yīng)用（有關(guān)高次不等式的解法）在教學(xué)中，我們常常會(huì)遇到一些高次不等式的求解問題，對(duì)于這些不等式，我們要求學(xué)生化為（或0）利用數(shù)軸標(biāo)根法來求解。傳統(tǒng)的教學(xué)過程中通過例題歸納步驟是這樣的第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)，使得右側(cè)為0。（注意：一定要保證x前的系數(shù)為正數(shù)）例如：將化為第二步：將不等號(hào)換成等號(hào)解出所有根。例如：的根為：，-1 0 1 2第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根。例如：-1 1 2第四步：畫穿根線：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根”的右上方穿過根

8、，往左下畫線，然后又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根。-1 0 1 2第五步：觀察不等號(hào)，如果不等號(hào)為“>”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍；如果不等號(hào)為“<”則取數(shù)軸下方，穿根線以內(nèi)的范圍。解得：-1<x<1或x>2。另外、如果x的次數(shù)是偶數(shù)，則線不能穿過去繼續(xù)在同一側(cè)過！為了學(xué)生便于記憶，我還歸納了如下口訣：從右往左，自上而下，穿針引線，奇穿偶回。但是在教學(xué)實(shí)踐過程當(dāng)中，學(xué)生雖然興趣高漲，但是由于不理解這種解法的實(shí)質(zhì)，所以雖然有口訣，仍舊無法記住解法要點(diǎn)，靈活運(yùn)用。其實(shí)這類不等式解集的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)當(dāng)或時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍。問題是在教學(xué)中三次或更高

9、次的函數(shù)圖像就很難做出了，因此學(xué)生理解自然也就存在困難。而如果我們借助HP圖形計(jì)算器強(qiáng)大的函數(shù)作圖功能，數(shù)軸標(biāo)根法的教學(xué)難點(diǎn)就迎刃而解了。案例一、求不等式的解集師：請(qǐng)問方程有幾個(gè)根呢？那么函數(shù)與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)呢？生：三個(gè)師：請(qǐng)借助HP圖形計(jì)算器做出這個(gè)函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像歸納出不等式的解集。生：根據(jù)圖像，這個(gè)函數(shù)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，將x軸分成了四個(gè)區(qū)間，從右到左正負(fù)相間。則原不等式的解集是或師：如果是呢？生：最右區(qū)間函數(shù)圖像在x軸下邊。師：因此數(shù)軸標(biāo)根法的關(guān)鍵在于先要把x的系數(shù)化為正，只有這樣口訣“從右往左，自上而下”才可以。例2 解不等式（1） （2）師：從圖像上，大家能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)，怎樣影響我們不等式的解集呢？生：對(duì)與方程的偶次根處，函數(shù)圖形不穿過x軸而是折回繼續(xù)穿過下一根。例3、解不等式（1） （2） 師：從圖像上，大家能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)，怎樣影響我們不等式的解集呢？生：對(duì)與方程的奇次根處，函數(shù)圖形穿過x軸進(jìn)而折回繼續(xù)穿過下一根。綜上，口訣“奇穿偶回”其實(shí)就是解決了重根的問題?？傊鋵?shí)數(shù)軸標(biāo)根法的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是畫出高次函數(shù)的草圖然后“看圖說話”，加深了學(xué)生對(duì)于函數(shù)，方程，不等式三者關(guān)系的理解。而圖形計(jì)算器在這一過程當(dāng)中發(fā)揮了非常重要的作用，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題提供了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。真正發(fā)揮了其“學(xué)具”的作用。高中數(shù)學(xué)為每一位學(xué)生打開了一