2021屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題02圓錐曲線與內(nèi)心問題(通用版解析版)

1、專題2、111維曲線與內(nèi)心問題從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征。而現(xiàn)在圓錐 曲線中面積、弦長(zhǎng)、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題?！八男摹眴栴}進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。 因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考.三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)。重要結(jié)論：/是AA3c的內(nèi)心（其中db、c為M3c的三條邊）:知識(shí)儲(chǔ)備:三角形內(nèi)切圓的半徑求法:（1）任意三角形：=二上（其中C為三角形的周長(zhǎng)，S為三角形的面積）:（2）直角三角形：i= " + （其中，

2、b為直角邊，c為斜邊） 2經(jīng)典例題:例1.（2020.浙江高三期中）已知M是橢圓二+二=1上一點(diǎn)，F(xiàn)?是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是AA 25 16的內(nèi)心,延長(zhǎng)聞交線段可巴于N,則疆的值為（A-1【答案】A【解析】如圖，點(diǎn)是同曲上+乙=1上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作BM垂直直線耳亮于點(diǎn)5,過點(diǎn)I作ZA垂直直 25 16線耳亮于點(diǎn)4，次&W"5的內(nèi)切圓半役為小則四=r,由三角形而枳相等跳：S&MFj乃 =SdMFl + S 兇嗎 + S F昌 得：大用= 明圖+ 比尸2| + "國(guó) 乙乙乙乙又網(wǎng)+1峭1=0礴 次網(wǎng)=%叫小所以晟=&由橢圓方程25 16 |M| c 3

3、得：。=5, b = 4, c = a2 b，= 3, 所以口才可=§ 干MV3'/M4 Ml似,可得:瑞T瑞 V令網(wǎng)=3的卜8團(tuán)、嘰求得：瑞=師玲曠就一 丁3m故選A.【點(diǎn)睛】本題主要是利用三角形相似將所求的比值轉(zhuǎn)化成三角形相似比問題，即構(gòu)造兩個(gè)三角形相似來處 理.于內(nèi)切圓問題通常利用等面積法列方程 即：跳：（其中/是的 內(nèi)切圓圓心）<S&AliC=r（a+b + c）,從而解決問題.例2、（2020江西高三期中（理）已知橢圓三+ ? = 1卜>>0）的左右焦點(diǎn)分別為小 網(wǎng),夕為橢圓 上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，/是尸耳工的內(nèi)心，當(dāng)|%|=4）力

4、時(shí)（其中為,為分別為點(diǎn)。與內(nèi) 心/的縱坐標(biāo)），橢圓的離心率為（）A. 1B.在C. 1D, 12233【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，即可得內(nèi)切圓圓心的縱坐標(biāo)，利用條件 回| = 45|化簡(jiǎn)方程，即可求出離心率.【詳解】設(shè)玖，匕,）,爐妨設(shè), >0,如圖，設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為二由三角形內(nèi)切圓的性感稼：Lr(2a + 2c) = -2c-yp,解得：r = 2L,，刃=_2k 22a + ca + c/1 cr 1因?yàn)閨力| = 4回|，所以 =1，解得女=,所以e =不 故選：Ca + ca 3【點(diǎn)話】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得到:"2a

5、+ 2c) = ；-2c-yp是解題的關(guān)他根據(jù)，=為及 乙乙|)'p| = 4|»卜建立方程求出離心率.屬于中檔題.例3. (2020 浙江溫州中學(xué)高三)已知"，凡為橢圓C:± +二=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上移動(dòng)時(shí), 43P"鳥的內(nèi)心/的軌跡方程為【答案】x2+3/=1(30)x【詳解】考查更為一般的問題：設(shè)尸為橢MU 2 = 1(«>0/>0)上的動(dòng)點(diǎn)，片,鳥為橢圓的兩個(gè)焦 /為尸尸內(nèi)的內(nèi)心,求點(diǎn)/的軌跡”.解法：如圖，設(shè)內(nèi)切園/與Fi乃的切點(diǎn)為H，半徑為八且，F(xiàn)好=?,尸產(chǎn)1=.葉尸尸4三丑二，c =工F，則y +

6、 z = 2c2x + y + z = 2a門線加I，汨的斜率之積：1 11 卜、H而根據(jù)海倫公式，有尸的面積為(x+y + z) = Jvyz(x+y + z).x a-c因此有標(biāo)” =一寸7二一百再根據(jù)橢圓的斜率積定義可得,點(diǎn)的軌跡是以尸質(zhì)為長(zhǎng)軸，離心率。滿足/ 一 1=- 的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為7r + ，=1()'*°). a + c- c-a + c解法二:令 P(acos8、bsin 8),則 sin 6 W 0.三角形 PFF2 的而積：S = 2c-bsin 0 =(2c + 2a)-r , 22其中7為內(nèi)切圓的半徑，解得=竺回必= b，J力-方面，由內(nèi)切圓的性

7、質(zhì)及焦半徑公式得： a + c(c-X/)(巧 +c) = |P4 |一|叫| = m-ccos，)一(+ccosg),從而有巧=ccos6 .消去6得到點(diǎn)/的軌跡方程為：/十)=1("。).L a + c本題中：4 = 2,c = l,代入上式可得軌跡方程為：X2+3/=1()0)例4、(2019年綿陽市高三模擬12題)點(diǎn)”、F?分別是雙曲線Y -二=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上,則尸E入的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍是()A.(0,>/3)B. (0,2)C.(0,72)D. (0,1)【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)AP”用的內(nèi)切圓圓心為/，內(nèi)切圓卜廣：邊分別相切于點(diǎn)48,C,

8、又因?yàn)閨RA| + %A| = 2c,所以忻4| = a + c,陰A| = c-a,所以A點(diǎn)為右頂點(diǎn)，即圓心/（4 r）.考慮P點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，直線尸耳的斜率趨近于2， a此時(shí)尸耳方程為y =+ C）,aab-ar + bc此時(shí)留心到直線的距離為. 加廠十（廣因此AP"鳥內(nèi)切圓半徑re（O,b）,所以選擇A.22例5、（2020年湖北省高三聯(lián)考12題）過雙曲線C:二-1=1（。>02>0）的右焦點(diǎn)/作直線/,且直線/與cr b-雙曲線。的一條漸近線垂直，垂足為A，直線/與另一條漸近線交于點(diǎn)4,已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AOA5的內(nèi)切圓的半徑為避二1”，則雙曲線C的離心率為（ 2

9、A平B. 6+1c-¥D ¥或2【答案】D【解析】有兩種情況:（1）若A8在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A住笫一象限.如圖,設(shè)根臺(tái)內(nèi)切圓的圓心為M ,則M在N4O8的平分線匕過點(diǎn)M分別作MNJ»O4于N,加丁，48于7，由E4_L。以得四邊或ML4N為正方形，利川點(diǎn)到直線的距離公式可彳匕b c化點(diǎn)/到漸近線y = 2工的距離為|必卜a=b從而可得離心、率e =2 c F又 I。/ l=c,所以 1041=。， 又 |NA|=|MNI=Ya，所以 INOI=±二叵。所以 2 = tanNAC = "1 = 9, aNO 3（2）昔A,若在y軸異側(cè)，不妨設(shè)4象

10、限如圖，易知1必1=/乙0F =c9 1041=。,因?yàn)锳OAB的內(nèi)切圓半徑為匚""=止1 ”， 22所以 1081-1 A31= 2a-島，又因?yàn)镮08FTA3F+/,所以|.=島,1081=2。,所以N3OA = 60。，ZAOF = 60% 51iJ- = tan60o = >/3 ,a從而可得離心率6 = Jl+（2） =2 .綜上，雙曲線C的離心率為 手或2.故選: 例6、（2。20年山東省濟(jì)南市高三二?！?題）已知小人分別是雙曲線）的左，右 焦點(diǎn)，過點(diǎn)”向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點(diǎn)P,直線F2P與y軸交于點(diǎn)Q（p, Q在x軸同側(cè)）, 連接若PQ&q

11、uot;的內(nèi)切圓圓心恰好落在以"鳥為直徑的圓上，則/耳尸乙的大小為；雙曲線 的離心率為【答案】y邪【解析】如圖所示：不妨取漸近線y =易知（否則不能。右支相交）.a則宜線耳為：y = -y-（a + c） , EI1J ax + by + ac = 0 , 設(shè)內(nèi)切圓圓心為Oi，根據(jù)對(duì)稱性知。1在）'軸上，PQF的內(nèi)切圓圓心恰好落在以耳心為直徑的圓上,故 0亂工 OF2,故O（0,-c）,0、到直線PK的距離為:4 =尸一何=b-a, >Ja2+b2設(shè)直線PE： y = （x-c）,即Ax-y-&、=。&到直線PF,的距離為：乩=母旦=化簡(jiǎn)整理得到a兒2

12、一（,/*而=。，解得攵=9或k = £,時(shí)，直線y = 3x + c）ijy = 'x c）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,不滿足題意，£ 故直線 PF” y = g（xc）,故 PPF2, NFPF?=g聯(lián)立方程得到y(tǒng)=-Y(x+c)，解得p y = -(x-c)< b1 -a12abc >，代入雙曲線方程得到："4d化簡(jiǎn)整理得到：c? =5,J ,故e =在".故答案為：下一【點(diǎn)暗】本題考查了雙曲線中直線的位置關(guān)系，離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.例7、己知點(diǎn)夕是雙曲線二-二=1上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，耳，居分別為左、右焦點(diǎn)，c為

13、半焦距，/尸耳居 a- b-的內(nèi)切圓與月入切于點(diǎn)M，則.【答案】b2【解析】設(shè)圓，PFX的切點(diǎn)為點(diǎn)S,與PF1的切點(diǎn)為點(diǎn)T,根據(jù)從圓外一點(diǎn)向圓所引的兩條切線長(zhǎng)相等可知：I耳= |瑪,|PS| = |PT|當(dāng)尸在雙曲線圖象的右支時(shí)，而根據(jù)雙曲線的定義可知|"凹一怩叫=|""一醫(yī)尸| =勿；而比M+I”用=區(qū)用卜2c，聯(lián)立解得：忸叫= a+c,|瑪M|=c一凡所以|耳陷內(nèi)M| = 3+c）（c -。）=。2 -療土以當(dāng)尸在雙曲線圖象的左支時(shí)，而根據(jù)雙曲線的定義可知醫(yī)凹|"根=優(yōu)"|"尸| =勿值：而歸必+|摩卜周=2c，聯(lián)立®解

14、得：|&W| = +cjEM=ca,舊MH&W| = S+c）（ca） = c2/=2綜上，可得|耳如怪凹=【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及其應(yīng)用，外切圓的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求 解能力.2例8、（2019年成都七中高三模擬16題）已知雙曲線M ：/-二=1的左,右焦點(diǎn)自，凡，點(diǎn)P在雙曲線上左支3上動(dòng)點(diǎn)，則三角形PFJ2的內(nèi)切圓的圓心為G,若AGP修與GFJ2的面積分別為S,S',則一取值范圍是 S'解析：如圖設(shè)切點(diǎn)分別為M, M。，則尸尸1尸2的內(nèi)切圓的圓心G的橫坐標(biāo)與。橫坐標(biāo)相同.由雙曲線的定義，PFi-PF2=2a.由圓的切線性質(zhì)PF

15、PB=BN - FM=EQ -尸i0=2，B0+B2=BB=2c, ：.F2Q=c+a. OQ=a,。橫坐標(biāo)為雙曲線M :犬一L=1為=1, b= 6 , c=2, 3可設(shè) G(-l, f), />0,設(shè) PFi=w1= ->-，故答案為：（L, +00）.c tin可得士 = 3S 1.4/ 2例9. （2020.山東省高三期中）雙曲線。：二一二=1（。> 0力> 0）的漸近線與拋物線C ： a2= 2py（p> 0）交 cr b，于點(diǎn)AO,8,若拋物線g的焦點(diǎn)恰為A4O8的內(nèi)心，則雙曲線C的離心率為（）A 2R/TcD 1+應(yīng)Jo 、/ SI* JL2 242

16、【答案】D【分析】作H；圓錐曲線的大致圖像，利用拋物線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于到的距離，國(guó)電【詳解】作出雙曲線孰：=一 3 = 1（。> °，6> °）。拋物線C := 2py（p > 0）的大致圖像，如圖： cr b-22r雙曲線c ：一；_ = 1伍0力0）的漸近線方程為：y = ±-x,即"±。），= 0, cra聯(lián)立? = 2y ,解得40或戶泗，當(dāng)戶亞時(shí)，則尸要，bx-ay = 0aaa"所以焦點(diǎn)fi 0、C |到Ab的距離為年二2，I 2）a2 2,焦點(diǎn)尸。得 到漸近線瓜一緲=。的外離為d所以衛(wèi)二一2=絲

17、，整理可得二=二，即生二£="£,整理可得4c35/c_/=0, cr 2 2ccr 2ca2 2c兩邊同除以/可得4/一5-1 = 0，4/一央一6 1=0 = （。+ 1乂4/+4« - 1） = 0,又即4，2+，-1 = 0,解得e = TI.故選：D2【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了考生的計(jì)算能力，屬于中檔題.例10、（2020年河北省石家莊市一模12題）己知"，A分別為雙曲線二-二=1（"0.0）的左焦點(diǎn)和 cr b-右焦點(diǎn)，過F?的直線/與雙曲線的右支交于A, 8兩點(diǎn)，&4&

18、quot;后的內(nèi)切圓半徑為小 幼與鳥的內(nèi)切圓半徑為2,若4=2q,則直線/的斜率為（）A. 1B. 72C. 2D. 2點(diǎn)【答案】D【解析】設(shè)&44鳥的內(nèi)切圓圓心為人，寫的內(nèi)切圓圓心為八.，邊人耳、AF2. FxF2上的切點(diǎn)分別為M、M E,易見人、E橫坐標(biāo)相等，則4刈=|47|,恒根=|耳環(huán)優(yōu)叫=優(yōu)耳由|A用|A引=2" 即+ 耳卜（|AN|+|N聞）= 2a,得附用一|7勾=2即忻同一|生日=2。，記/|的橫坐標(biāo)為小 ,則E（,%,0）,于是Xo+c-（c-/） = 2",得/ =出 同理內(nèi)心人的橫坐標(biāo)也為“則有軸，nn0 _ r2tan -=2 F.E,tan

19、 N/1 鳥O = tan(90。一：14o萬=，* f = 2Go f.e 1 - tan2設(shè)直線的傾斜角為氏則N。鵬二，46。=9。»則22。i eg2tan? r二.tan = Jan =.tan 0 =t=-zr = 2 J2 .故選 D.2 222l-tan2一222例11、（2020年師大附中高三模擬12題）已知點(diǎn)尸為雙曲線二-二二1（>0.>0）右支上一點(diǎn)，點(diǎn)B,產(chǎn)2 a分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是尸產(chǎn)1尸2的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有S lp. -S N叵S 4 11 r a lrr> ?成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. （1, 7

20、2 ）B. （1, 272 ） C. （1, 272 D, （1, R【答案】D【解析】根據(jù)條件和三角形的面枳公式，求得，c的關(guān)系式，從而得出離心率的取值范圍,引到答案.設(shè)鳥的內(nèi)切圓的半徑為，則S”叫=；|P用",Sy吟=；|尸治",S"向周V , 乙乙乙因?yàn)? » N烏SFJ所以附|卡周之芻甲訃 由雙曲線的定義可知|產(chǎn)用一|尸馬=勿,怩鳥卜之、，所以心當(dāng)C，即亍<8,<e = ->,所以雙曲線的離心率的取值范圍是（1,口，故選D.例12、已知雙曲線C:二一二=1 （f/>0,。>0）的兩條漸近線與拋物線V=2px （p0）

21、的準(zhǔn)線分 b'別交于A, 8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線C的離心率為2, AO8的面積為則AO8的內(nèi)切圓半徑為（）.A . 、/1B . /3 +1C. 26一3 D. 25/3+3解析：由e = 2,可得9 =b y = ± x",求得4丫一 A -2，一空），所以SaiO8=；X也=2a2 a 2/2 =代入式，得p2=4,解得p = 2,所以41,6）,次一 1,一/）,則498的三邊長(zhǎng)分別為2, 2, 2石,設(shè)ZvlOB的內(nèi)切圓半徑為r,由;（2 + 2 + 2jJ）r = J5,解得r=2C一3.故選C.課后訓(xùn)練:1. （2020 湖北襄陽四中高三（理）橢

22、圓二十二=1的兩焦點(diǎn)是"、F, M為橢圓上與"、cr ZrF?不共線的任意一點(diǎn)，/為MEF2的內(nèi)心，延長(zhǎng)MZ交線段片死于點(diǎn)N,則的值等于（）B.- cD.- a【答案】BMI bWFl【解析區(qū)接.在中下”是/MFiN的角平分線,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理.焉 = |w| |£N|口理語解|峭1M叫|嶼| 同理“網(wǎng)一兩叔：網(wǎng)一麗一百，MI MFx + MFA2ci a出據(jù)等匕定理7777 = =一= 一.1二攔B選項(xiàng).網(wǎng) ”N+住 Ncr* v"2.（2020黑龍江高三期末）如圖所示，點(diǎn)尸為橢圓一+ 431上任一點(diǎn)，A，5為其左右兩焦點(diǎn)，3FR&

23、PFh1A.- 32 C.一33 D.-4【答案】A【分析】首先連尸7延長(zhǎng)x軸于D,連陰，IF2,利用角平分線定理得到閆蕓 1=1器I,再利用和11 I 1 1 r比定理和橢圓的性質(zhì)，得到|2|=|2S = e = L 從而得到而枳比值.IP 2a 2【洋解】解：連尸/延Kx軸于D，連/"，心,在”6。中有勺，在鳥。中有”DF,一故I”日空日絲陷+"=2=-1,2=g=1'IP 尸" PF? PF + PF2 2a 2，其他 即 3,故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和角平分線定理解決三角形面積比值，意在考查轉(zhuǎn)化?；瘹w的思想，數(shù)形結(jié) 合分析問題，屬于中檔題

24、型，本題的難點(diǎn)是角平分線定理的應(yīng)用.223.（浙江高三）已知橢圓C 二+二=1（4>>。），為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2,&）在橢圓C上，”尸人 cr b-的重心為G,內(nèi)心為/,且有=（4為實(shí)數(shù)），則橢圓方程為（）A.二+ 匚 B.:+ Y = 1 C.匚至=1 D,上 + 匚8 616492710 5【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)尸距x軸的距離為J5,因?yàn)镮G 片鳥，則點(diǎn)I距x軸的距離為走.連接耳/,用/,2/.則3m=gx|"用 x>/5 = gx2cx>/5 = >/Jc,S應(yīng)pf, =5乂匹十SF +S宅* = ；x為x曰十;x(E邛十尸尸卜*=(4十c

25、)日 « 所以(4 + C)=小3 =4 = 2。= /? = JJc，用： -2 +f = 1 = C? = 2 ,所以橢員I方程為 - + - 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.（2020 ,湖南高二期中（理）已知點(diǎn)M在橢圓：二+二=1（。%0）上，5、居為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) lr丁是內(nèi)心，連接MT并延長(zhǎng)交線段耳心于N,則鬻的值為（A、b【答案】C【解析】連接尸耳、PF?,在M£P中,片是/岬的角平分線,根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)定理得故有蕭篇根據(jù)等比定理得幽=出；同理可得四二g |PN| FNPN 區(qū) N|網(wǎng)= 2a = a網(wǎng)1府+展護(hù)工=及與所以答案為C.考點(diǎn)：1、橢圓的定義;2

26、、角平分線的性質(zhì).【技巧點(diǎn)睛】本題考查的是橢圓的定義、角平分線的性質(zhì)定理、等比定理等的綜合知識(shí)，屬于難題：在解 決涉及圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口:由于三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長(zhǎng)之 間的比值關(guān)系來求解.5.雙曲線二一二=1的左、右焦點(diǎn)分別為£, 916F?,尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，I是P"F?的內(nèi)心，且Sypf = Sy% ，則4=(C.D.【答案】C【分析】由已知可得|尸娟一|尸鳥|=可可可，結(jié)合雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)API巴內(nèi)切圓

27、的半徑為r, 由%" =S"4一如"心，得;|P6”=；小娟一外;歸鳥”,整理得|。用|0入|=4甲可.因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，3所以忙用一|桃| = 2。= 6,上用= 10,所以4 = .故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線定義和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.226. （2020安徽高二期末）點(diǎn)A是橢圓£ + § = 1（4人0）上一點(diǎn)，片、心分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，/是AA"5的內(nèi)心.若=2&S5向一5,凡，則該橢圓的離心率為（）a 1n "c 1n "A. -B. C. -D.-442

28、2【答案】B.【解析】設(shè)A4£鳥的內(nèi)切明的半行為r,則由Sm=2在S"浜一Sy"得:-AFlxr = 2y/2x-FlF2xr-AF2xr 即：A6+4鳥=2后行222.2a = 2y/2x2c 所以橢圓的離心率6 = £= =也.故選B.« 2V24考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【思路點(diǎn)晴】本題主要考查了橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的離心率的定義及其 il算方法，屬基礎(chǔ)題：求橢圓的離心率，關(guān)鍵在于找到關(guān)于基本量”,ac之間的等量關(guān)系式，再利用離心率 的定義，通過解方程而求得：再建立關(guān)系式的過程中，一定要充分注意橢圓定義的應(yīng)用.27

29、.設(shè)橢圓亍+J=1的左、右焦點(diǎn)分別為M為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，ZFMF2 = 20, 的內(nèi)心為 L 貝ijl M/I cos6 =（）A 9 77 R 1C e D 2-邪222【答案】A【解析】由題意,IMFHMFM,而IFRI=2JJ，設(shè)圓與MB、MFz,分別切于點(diǎn)A, B,根據(jù)切線長(zhǎng)定理就有IFF2l=IF】AI+IF2BI=2褥,所 U. MI cos0=MA|=|MB = = 2 » 故選 A.2考點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)，圓的切線長(zhǎng)定理。點(diǎn)評(píng)：小綜合題，將橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)與圓的知識(shí)綜合考查，難度不大，注意結(jié)合圖形特征，尋求解題途徑。8. （2020湖北高二期中（理

30、）己知月，尸2分別是橢圓：三+*=1（"。）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)戶是橢圓上一點(diǎn)，I為用的內(nèi)心，若5加的=45"與，則該橢圓的離心率是A. -B. -C.立D.走3423【答案】A分析：首先根據(jù)三角形面枳的關(guān)系，確定出三角形的三邊的關(guān)系,結(jié)合橢快I的定義，得到3=-再1 、3一， 2。2根據(jù)橢圓的離心率的公式求得結(jié)果.【解析】設(shè)AP耳鳥的內(nèi)切圓的半價(jià)為r,根據(jù)題意S"¥； =4S.死可得，S"個(gè)一 =1,根據(jù)三角1 c一2cr 形的面式，可以求行3=;，整理得£=：，跳6 = ，故選A.34 33點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的求解問題

31、，在解題的過程中，需要注意根據(jù)題的條件，結(jié)合焦點(diǎn) 三角形的特征，求得對(duì)應(yīng)的離心率的大小.9.己知橢圓C:=十二=1（。>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為居，。為C上一點(diǎn)，若/為居的內(nèi) cr b'心，且Sa"m=3S叼”則C的方程可能是（）72，）a t ,c x ， ,c廠 v ,cr v",A. + y- = 1B.+ y=1C.卜二=1D.F- = 12 .33243【答案】D【分析】先根據(jù)/為耳鳥的內(nèi)心，且S尸再得2耳5=尸耳+工，即 = 2c,再依次討論選項(xiàng)即可得答案.詳解】解:因?yàn)?為耳耳的內(nèi)心,設(shè)AP耳瑪內(nèi)切圓的半”、為r ,所以S&pf再=

32、（尸石+尸鳥+ ”鳥）小 2因?yàn)?3Sjfm ,所以S%尼=1（PG+PE + EE）» = 3x，GE",所以2大鳥=0片+0入， 22根據(jù)橢圓的定義得：2。= 4c，即。= 2c.對(duì)于A選項(xiàng)，。=5 =,不滿足。= 2c,故錯(cuò)誤：對(duì)于B選項(xiàng)，。=&=立,不滿足a = 2c,故鋁誤：對(duì)于C選項(xiàng)，。=瓜（=1,不滿足 = 2c,故錯(cuò)誤：對(duì)于D選項(xiàng)，a = 2,c = l,滿足。=2c，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題號(hào)俺利用橢圓的性所求解橢網(wǎng)的方程，解題的核心是通過而積關(guān)系和橢圓的定義得到 = 2c, 考查分析解決問題的能力，是中檔題.10. （2020浙江高三月考）

33、已知”（一1,0）,區(qū)1.0 , M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|M用+ |M用=4, 若/是M"F?的內(nèi)心，G是加巴鳥的重心，記/"馬與的面積分別為S邑，則（）A. S, >5,B. S、= SC. S1 <S2D. S1與 S2大小不確定【答案】Bt分析】作出圖示，根據(jù)/,G的特點(diǎn)分別表示出SS”即可判斷出51同的大小關(guān)22【詳解】因?yàn)閨町出叫|=4>|6用=2,所以M的軌跡是橢圓三+工=1在第一象限內(nèi)的部分，如圖所示：因?yàn)?是的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為人幽業(yè)處史近二幽叢，所以= "所以S"印"瑪.、加223' 1223

34、又因?yàn)镚是MfJF?的重心，所以O(shè)G:GM = 1:2,所以S2 = ：Swm=；S處仍=；嗎包=當(dāng)，所以5=與，故選：B. JJJ4【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，其中涉及到三角形的內(nèi)心和重心問題，對(duì)學(xué)生分析圖形中關(guān)系的能力要求 較高,難度一般.11、（2020屆綿陽中學(xué)二診模擬12題）設(shè)廠是雙曲線C:二一二=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原 cr b點(diǎn)，過尸作。的一條漸近線的垂線，垂足為H若江OH的內(nèi)切圓與軸切于點(diǎn)B，且8戶=2。氏則C的離 心率為A 3 + Vn” + 后3 + 3g八 3 + 3"A. B. C. D.解析：因?yàn)槭綕u近線的距離為國(guó)1=夕所以防=

35、貴了 =a + h-c則尸明的內(nèi)切圓的半徑為-2葭尸田的內(nèi)切圓與方切于點(diǎn)M則附"1二竺產(chǎn)2由麗=2而，得怛M=怛日=3°，怛川+=+=歸叫=，即劾= c + 3即9b2 =c2+ 6oc + 9/,得4/-3e-9 = 0,由于e>l,解得e =812、(2019年成外高三一診模擬11題)已知雙曲線C:二一 L = i(>o/>o)的左、右焦點(diǎn)分別兒F:, a b。為雙曲線的中心，尸是雙曲線右支上的點(diǎn)，/年片的內(nèi)切圓的圓心為1,且0/與x軸相切于點(diǎn)4過用作直線,的垂線，垂足為8若，為雙曲線的率心率，則A. OB-eOA B. OA =e OB C. OB-

36、 OA D.7與 I 必關(guān)系不確定 解析：Fi (-c, 0)、Fi (c, 0),內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)AVIPFiI-IPF2I=2«,及圓的切線長(zhǎng)定理知,lAFJ-IAFz/,設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為X,則I (x+c) - (c-x) 1=2。 .x=t/；OA=a9在三角形PCF?中,由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，PC=PF2,.在三角形中，有：OB=-CFi=- (PFrPC) =- (PR-PFC =-x2a=a.：. 22221081=1041.故選 C.r- v-13、(2019年衡水金卷(一)11題)點(diǎn)P是雙曲線C:一一一 = 1的上支上的一點(diǎn)，事,巳分別為雙曲線的

37、上、9 16下焦點(diǎn)，則APBE的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)一定適合的方程是()工.y=-3B. y=3C. /+/=5 D. j.=3/2解析:.川il線方程為土一馬=1916'a2=9, = 16,設(shè)尸尸】尺的內(nèi)切圓分別與尸尸】、尸尸2切于點(diǎn)a、B,與F1B切于點(diǎn)C 則附=|P5|, FB=FQ. F2A=F2C,又點(diǎn)P在雙曲線上支上，PF2-PFi=2a=6,即(匠毋以|)- (FiB+PB )=6 ,化簡(jiǎn)得曰卜展|=6 ,BP|F2q-|FiQ=6 ,而 JFiC+嗎 C|=2c=10,設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0/),由層4-尸。=6可得(2+5)-(5力=6,解之得z=3，得C的坐標(biāo)為(0, 3

38、)二圓M與FiF2切于點(diǎn)C, ：.CM±y軸，可得CM所在直線方程為尸314、(2018年湖南師大附中高三模擬12題)已知點(diǎn)夕為雙曲線二一二=1(。>0力>0)右支上一點(diǎn)，月，F(xiàn)i cr b-分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且爐1尸2|=，/為三角形PFF2的內(nèi)心，若S"1 = Se*+B"F浜成立，則入的值為()A. ?£+1 B. 2y/3-l C. >/2 + 1 D. >/2-l解析：設(shè)2心后的內(nèi)切圓半徑為八由雙曲線的定義得|P川-PF2=2a, |FiF2|=2c,S"2o片2出題意得:白囪3；閘山6故4=句"

39、;，A 2CJL = LLS /ph = J |M|r，Snpkl= J 伊用八：£ =乏-115、如圖，已知雙曲線二二=1 （。0, Z?>0）的左右焦點(diǎn)分別為E、F）, IE居1=8，P是雙曲線 cr b"右支上的一點(diǎn)，直線鳥尸與），軸交于點(diǎn)A，AP”的內(nèi)切圓在邊P”上的切點(diǎn)為。，若IP。1=2,則該 雙曲線的離心率為（）A. V2B.C. 2D. 3【解析】如F圖所示，設(shè)Af,A乃與必尸石的內(nèi)切圓相切于N,M，則 AN = AM,PM =PQ,N" =QFvAFx=AF2.所以= A月一 AN = 45一 AM = MF?,所以Q" =Mf；

40、,所以=(Q"+PQ)-(M5一PM) = Q"+PQ-M鳥+ PM= PQ + PM =2PQ = 4,所以2a = 4,即 = 2,由"E=8 = 2c可得c = 4,所以該雙曲線的離心率e = ' = 2,故應(yīng)選C.16、已知點(diǎn)P為雙曲線C：二一二=1（。>0, Z?>0）右支上一點(diǎn)，耳，居分別為左右焦點(diǎn)，若雙曲線C的 cr lr離心率為小,APEE的內(nèi)切圓圓心為/,半徑為2,若又M/=S"F"+2jL則。的值是（）A. 2B. 72C.娓D. 622【解析】點(diǎn)P為雙曲線C： J一> 二>0/>0）右

41、支上一點(diǎn)，"，鳥分別為左右焦點(diǎn),"鳥的內(nèi)切圓圓心為/,半徑為2 .因?yàn)榉瓷?S»F、/+2jL 所以Lx|P用" = |p用, + 2時(shí)，22可得歸用一歸用=2不，即2a = 2x/3,.-. a = #>，雙曲線C的離心率為6,7 = 6,可得c = 3,則/?=必方=斥9 ="，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.求解與雙曲線 性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、 實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖

42、掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2217、（2018山東省濰坊市三模11題）點(diǎn)0是雙曲線二一二=1右支上一點(diǎn)，"、A分別為左、右焦點(diǎn).cr 1廠尸再用的內(nèi)切圓與X軸相切于點(diǎn)N.若點(diǎn)N為線段of?中點(diǎn)，則雙曲線離心率為（）A. 72 + 1B. 2C. y/2D. 3【解析】設(shè)AP"鳥的內(nèi)切圓圓心為/ ,邊尸耳、”、FF2上的切點(diǎn)分別為“、Q、N,易見/、N橫坐標(biāo)相等，則1PM = |尸。|,|耳刈=|耳叫，|尼。卜因N|,由 |尸”PF2 =%即 1P必 + 河£ 卜（|尸°|+| 尸引）=2a,得附用|QF21 = 2a,即忻NF2N = 2a , 記/的橫坐

43、標(biāo)為七，則Mx。,。），于是Xo+c-（c-Xo）= 2a ,得玉）=,由點(diǎn)N為線段OF-,中點(diǎn)，知c = 2a,.e = 2.故選B.點(diǎn)儲(chǔ)：（1）解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范惘問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式. 再根據(jù)的關(guān)系消掉得到，c的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲 線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范陽等：（2）在雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心與工軸的切點(diǎn)為（。,0）.2218、如圖，已知橢圓二十二=1（。方0）的左，右焦點(diǎn)分別為Z，A,=。是軸正半軸上cr b""一點(diǎn)，尸片交橢圓于A,若A居_!./¥；,且A4尸居的內(nèi)切圓半徑

44、為丫5,則橢圓的離心率為（）2t解析】由題意，直角三角形的內(nèi)切圓半徑/二%+從5工=45一4耳=叵 2222/21=加，AAF I2 AF2 l2=10t，2HQIL4BI=4,工（|A用+| A周了=14, ：.AFi+AF2= y/4=2a.凡&1=加.橢圓的離心率是6=£ = 膽=組=遮.故選：B.V14 V7 7【點(diǎn)暗】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.19、（2020年湖北省高三聯(lián)考改編）過雙曲線:-二=1右焦點(diǎn)/的直線交兩漸近線于A、cr b'3兩點(diǎn),若加4耳=0，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且AOAB內(nèi)切圓半徑為9二L/,

45、則該雙曲線的離心率為 2設(shè)內(nèi)切圓圓心為M,則M在NAOB平分線上，過點(diǎn)M分別作MN_LQ4于N,于T，由E4_LQ4得四邊形ML4N為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得E4 = ，乂OF = c,所以。4=,=孚.故選:A.|M4| = |MN| =下2 1 a , 所以 I NO 1=2 a ,所以二匕門/人0二點(diǎn)口二左，得 = aNO 3【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯思維能力，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.I/20、（福建省漳州市模擬）已知雙曲線C：=-十=1（。>00 >0）的左右焦點(diǎn)為石蠡片，尸為雙曲線C b b .右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，尸尸三的內(nèi)切圓與工軸

46、切于點(diǎn)（1,0）,且尸與點(diǎn)石關(guān)于直線y =對(duì)稱，則a雙曲線方程為【解析】設(shè)點(diǎn)a（1, 0）,因?yàn)閍P耳片的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)（1, 0）,則I尸耳IT尸耳I斗巧I一卜見，所以2a = （c + l） （。一1）,則=1.bx笈 | 尸F(xiàn)； I b 7因?yàn)镻與點(diǎn)Fi關(guān)于直線尸=一下對(duì)稱，所以NRPF?=彳且鬲=力=方，聯(lián)立|咫卜國(guó)=2且歸上+1%=4c? = 4 + 4/解得6 = 2 .所以雙曲線方程為一一二二1.421、(2020年浙江省新高考名校聯(lián)考10題)已知橢圓q ：二+二=1(。人0)的左、右焦點(diǎn)分別是"”， cr lr過點(diǎn)M作圓。：爐十/二尸的一條切線，切點(diǎn)為P,延長(zhǎng)M尸

47、交橢圓于點(diǎn)。，且IMP曰PQI,雙曲線 )二=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，后是a右支上一點(diǎn)，EK與y軸交于點(diǎn)a，aea居的內(nèi)切圓與的切點(diǎn)為尸，若IA/1="，則雙曲線G的方程為A.二上=B,二上=1C,工-工=344393【答案】D【解析】連接OP,M2，在橢圓G中，尸是圓/ +),2=2的切線，。是切點(diǎn)，.opim。，Vl MP 日 PQ 1,1 OM IT ON 1, ：.OP=QN, ：.MP=MQ=(2a-NQ) = (2a-2b) = a-b, 在用OW9中，由勾股定理得，IOW F=IOPF +IPM F, 即=/ +(“ )2,又/=,/一從，=3®.22在雙

48、曲線G：二一二=1中，內(nèi)用同可=%， CT 1)-由題意知，上式可變?yōu)閨AE|+IAEI區(qū)同= 2。， 由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得|隹|+1AE-F2E = 2AF, ,( )1 D. -2 = 1 34OP=b. yx.211= 2。，則 a =".-a- lr聯(lián)立并解得b = 3巨，雙曲線。，的方程為二型=1，故選:D. 334【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義，三角形內(nèi)切圓的知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力.2222 .點(diǎn)M為橢圓二+二=1上一點(diǎn)，"，尺為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則"MF,的內(nèi)心軌跡方程為 95【答案】 + = 1()0) 44A|M/| 3【什析】設(shè)甲0名的內(nèi)心為/,連接A交x軸于點(diǎn)N,由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到局 =3,設(shè)17V4 2/(x,y)M/,)b),NaM，再由焦半徑公式及內(nèi)角平分線定理得到巧=9，則義修與,0),然后利川向量關(guān)系把M的坐標(biāo)用/的坐標(biāo)表示出來，代入橢圓方程求【詳解】如圖，設(shè)片屈巴的內(nèi)心為/,連接M/交工軸于點(diǎn)N,連接鳥在MF"中區(qū)是N