補充張量分析學習教案

1、會計學1補充張量分析補充張量分析第一頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。第1頁/共59頁第二頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。自然法則與坐標無關(guān)（直角坐標與極坐標下的平自然法則與坐標無關(guān)（直角坐標與極坐標下的平衡方程）衡方程）坐標系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物坐標系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)，并且相關(guān)表達式冗長理本質(zhì)，并且相關(guān)表達式冗長 引入張量方法引入張量方法 第2頁/共59頁第三頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。第3頁/共59頁第四頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。第4頁/共59頁第五頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。A A1 指標符號指標符號),(n21i

2、xi下標符號下標符號 i 稱為稱為指標指標，n 為維數(shù)為維數(shù)指標指標 i 可以是下標，如可以是下標，如 xi 也可以是上標，如也可以是上標，如 xi nxxx,21記作記作指標的取值范圍如不作說明，均表示從指標的取值范圍如不作說明，均表示從13通過指標輪換，用通過指標輪換，用1項表示很多項，簡潔！項表示很多項，簡潔！第5頁/共59頁第六頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。采用指標表示的符號系統(tǒng)稱為采用指標表示的符號系統(tǒng)稱為指標符號指標符號，一般，一般采用下標采用下標 xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxy

3、zyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(第6頁/共59頁第七頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。一若干約定一若干約定 啞標和自由標啞標和自由標 1. Einstein求和約定求和約定 凡在某一項內(nèi)，凡在某一項內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的指的指標，表示對該指標在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這標，表示對該指標在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標為樣的指標為啞指標啞指標或或啞標啞標。如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii第7頁/共59頁第八頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。

4、重復(fù)不止一次的指標，求和約定失敗重復(fù)不止一次的指標，求和約定失敗 求和約定僅對字母指標有效，如求和約定僅對字母指標有效，如 同一項內(nèi)二對啞標應(yīng)使用不同指標，如同一項內(nèi)二對啞標應(yīng)使用不同指標，如 3131ijjiijjiijxxaxxaz331234啞標可以換用不同的字母指標啞標可以換用不同的字母指標第8頁/共59頁第九頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。2.2.求導(dǎo)求導(dǎo)記號的縮寫約定記號的縮寫約定 22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k二維問題二維問題 平衡微分方程的指標表示平衡微分方程的指標表示第9頁/共59頁第十頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。3.3.自由指標自由

5、指標 定義：凡在同一項內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標。如定義：凡在同一項內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標。如 jijibxaj 為自由指標為自由指標 j=1 1313212111bxaxaxaj=1 1313212111bxaxaxaj=1 2323222121bxaxaxaj=2 3333232131bxaxaxaj=3 j=1 1313212111bxaxaxaj=1 第10頁/共59頁第十一頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。同一個方程中各項的自由指標必須相同同一個方程中各項的自由指標必須相同 不能單獨改變某一項的自由指標，但可不能單獨改變某一項的自由指標，但可以同時改變所有項的自由指標以同時改變所有項的自由指標

6、12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：第11頁/共59頁第十二頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。二二克羅內(nèi)克（克羅內(nèi)克（Kronecker-）符號）符號 定義定義： jijiij當當01由定義由定義 1ijijI333231232221131211100010001特殊的指標符號特殊的指標符號第12頁/共59頁第十三頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA當克羅內(nèi)克符與其它項連乘時，可作指標替當克羅內(nèi)克符與其它項連乘時，可作指標替換換第13頁/共5

7、9頁第十四頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。性質(zhì)：性質(zhì)： ijjijiilkljkijikjkijikjkijjjiiijijiiijijxxxAAAAAAAA,3322113322113第14頁/共59頁第十五頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。三三Ricci 符號符號 kjie定義：定義： 共共27個分量，亦稱為排列符號或個分量，亦稱為排列符號或置換符號置換符號 有兩個或三個相同時當?shù)钠娲沃脫Q，形成當?shù)呐即沃脫Q，形成當kjikjikjieijk,0321,1-321,1即：即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee特殊的指標符號特殊的指標符號第15

8、頁/共59頁第十六頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。ki ji jkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 321321322311332112312213kjikjikjikjiaaaeaaaeaaaaaaaaa矩陣的行列式可表示為: 第16頁/共59頁第十七頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。 A A2 張量的定義和張量的定義和 代數(shù)運算代數(shù)運算 ia分量矢量 a標方向的單位矢量） ( 個坐基矢量3 e e e321 33221iiaaaaeeeea1說明說明任意矢量可以表示為基矢

9、量的線性組合任意矢量可以表示為基矢量的線性組合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1. 矢量的基本運算矢量的基本運算第17頁/共59頁第十八頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。(1)(1)點積點積 基矢量點積基矢量點積 )22( A ijjiee 任意兩矢量的點積任意兩矢量的點積 3)2( A babababajjiiijjijijieeba12投影投影第18頁/共59頁第十九頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。1(2) 叉積叉積 基矢量的叉積基矢量的叉積 ekjikjieee第19頁/共59頁第二十頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。由于由于 kjkieeeekjki ktt321jie

10、eeeeeeekjitjisjr itsrjjjiiieee321321特別地：特別地： 33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比較：（比較：）第20頁/共59頁第二十一頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。 兩個任意矢量的叉積兩個任意矢量的叉積 cbaeebababakjikjikjijijiji ceeeeeeebakkkjiji2jiijkkbaec 第21頁/共59頁第二十二頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。(3) 混合混合積積 基矢量混合積基矢量混合積 )(kjikrr jir jieeekrkjiee

11、eee故也有定義故也有定義 )()(kjikjieeeeeekjie1置換符號就是基矢量的混合積置換符號就是基矢量的混合積第22頁/共59頁第二十三頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。 矢量混合積矢量混合積 表示的是以表示的是以 為邊長的平行六面體的體積。為邊長的平行六面體的體積。 cb,a,2第23頁/共59頁第二十四頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。(4) (4) 并矢（并乘）并矢（并乘） 定義：定義： jijieeeeabjijibaba展開共展開共9項，項， 可視為并矢的基可視為并矢的基 ije ejiba為并矢的分解系數(shù)或分量為并矢的分解系數(shù)或分量 第24頁/共59頁第二十五頁，編

12、輯于星期日：十九點 五十四分。2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e2. 平面笛卡兒坐標系的旋轉(zhuǎn)變換平面笛卡兒坐標系的旋轉(zhuǎn)變換1ee2第25頁/共59頁第二十六頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。2x2x1x1x2x1x1x2x)2 , 1,( )(jicosj ijie ,e令：cossinsincosj i)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e則：1e2ee21ecossinsincosj i互為逆矩陣互為逆矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣第26頁/共59頁第二十七頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。)( 21212212211121xxxx

13、xxj i于是： 21212212211121xxxxxxTj i同樣：21121 xxxxj i）式得由（1 :j iTj i比較ji為正交矩陣為正交矩陣第27頁/共59頁第二十八頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。引用指標符號：引用指標符號：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 互為逆矩陣互為逆矩陣第28頁/共59頁第二十九頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。說明說明 1jijieeeej ij i2矢量的分量也具有與坐標分量相同的變換矢量的分量也具有與坐標分量相同的變換規(guī)律規(guī)律jj iijj iivvvv基矢量具有與坐標分量相同的變換規(guī)律基矢

14、量具有與坐標分量相同的變換規(guī)律第29頁/共59頁第三十頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。3. 三維情況三維情況 (三維坐標系旋轉(zhuǎn)三維坐標系旋轉(zhuǎn))j iij jijieeee 考慮一位置矢量考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxii jjjxxx )(cosije ,ejjiixx第30頁/共59頁第三十一頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。同理同理jj iixx同二維問題，可得同二維問題，可得ikkjj i（正交性）（正交性）可試證：可試證：kik jj i第31頁/共59頁第三十二頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。4. 張量定義張量定義 定義：在坐標變換時，滿足如下變

15、換關(guān)系的定義：在坐標變換時，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量量稱為張量 lkjil lkkj ji iijklijklkkjjiilkji自由指標數(shù)目自由指標數(shù)目n稱為張量的階數(shù)，對于三維空間稱為張量的階數(shù)，對于三維空間，張量分量的個數(shù)為，張量分量的個數(shù)為3n個，變換式也有個，變換式也有3n個。個。第32頁/共59頁第三十三頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。采用并矢記號（不變性記法或抽象記法）采用并矢記號（不變性記法或抽象記法） ()ijklijkle e e e可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）基矢量的坐標變換符合前述要求基矢量的坐標變換符合前述要求標

16、量：零階張量標量：零階張量矢量：一階張量矢量：一階張量張量：二階張量張量：二階張量第33頁/共59頁第三十四頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。討論討論 ijk lTTijklTe ee e12上述表達式具有不變性特征；上述表達式具有不變性特征；張量分量張量分量 與坐標系有關(guān)；與坐標系有關(guān)；ijT3 在坐標變換時遵循相同的變換規(guī)律在坐標變換時遵循相同的變換規(guī)律ijT第34頁/共59頁第三十五頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。自然法則與坐標無關(guān)（直角坐標與極坐標下的平自然法則與坐標無關(guān)（直角坐標與極坐標下的平衡方程）衡方程）坐標系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物理本坐標系的引入方便了問題的

17、分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)，并且相關(guān)表達式冗長質(zhì)，并且相關(guān)表達式冗長 引入張量方法引入張量方法 第35頁/共59頁第三十六頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。1. 張量的數(shù)乘張量的數(shù)乘張量代數(shù)張量代數(shù)jiijjiijSTeeSeeTijijST則，若ST2. 張量的加法張量的加法jiijjiijSTeeSeeTijijST ijBSTB第36頁/共59頁第三十七頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。3. 矢量與二階張量的點積矢量與二階張量的點積 ijiTaijiTe eae12左點乘：左點乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右點乘右點乘 :kiikjieeeeee

18、aTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i時相等只有一般jiijTT, aTTa張量代數(shù)張量代數(shù)1左點乘：左點乘：第37頁/共59頁第三十八頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。3. 矢量與二階張量的點積矢量與二階張量的點積張量代數(shù)張量代數(shù) 點積相當于指標縮并，導(dǎo)致張量階數(shù)降低點積相當于指標縮并，導(dǎo)致張量階數(shù)降低jijiaTb aTb 二階張量相當于一個線性變換，或空間轉(zhuǎn)移二階張量相當于一個線性變換，或空間轉(zhuǎn)移第38頁/共59頁第三十九頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)4. 矢量與二階張量的叉積矢量與二階張量的叉積 ijiTaijiTe eaeAeeeeeTak

19、rkjiijrjkijkieTaTaBeeeeeaTrjikjkirijkijkeaTaT1左叉乘：左叉乘：2右叉乘右叉乘 :第39頁/共59頁第四十頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)4. 兩個張量的點積兩個張量的點積srjieeBeeArsijBA,sisisrjieeeeeeeeBAjsijjrrsijrsijBABABA第40頁/共59頁第四十一頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)5. 兩個張量的雙點積兩個張量的雙點積srjieeBeeArsijBA,ijijjsirrsijrsijBABABAsrjieeeeBA:tititsrkjieeeeeeeee

20、eBAjktijkksjrrstijkrstijkBABABA:第41頁/共59頁第四十二頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)6. 張量的縮并張量的縮并jieeAijAAeeAjitrAAAiiijijij第42頁/共59頁第四十三頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)7. 張量的轉(zhuǎn)置張量的轉(zhuǎn)置jiijjiijSTeeSeeTT STSST記互為轉(zhuǎn)置與則稱若jiijT TTTABBABA則為二階張量，與若為對稱張量若TTT T為反對稱張量若TTT -T對于對稱張量，一定可以找到三個互相正交的主方向?qū)τ趯ΨQ張量，一定可以找到三個互相正交的主方向應(yīng)力張量與應(yīng)變張量均為

21、對稱的二階張量應(yīng)力張量與應(yīng)變張量均為對稱的二階張量第43頁/共59頁第四十四頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)7. 張量的轉(zhuǎn)置張量的轉(zhuǎn)置之和和反對稱張量均可分解為對稱張量任一二階張量NTTTTT21TT21NNTDPN和偏張量又可分解為球張量對稱張量IPDPNkkN31第44頁/共59頁第四十五頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。幾種常用的幾種常用的二階張量二階張量1. 單位張量單位張量jiijeeI2. 置換張量置換張量kjiijkeeeee 以置換符號為分量的三階張量以置換符號為分量的三階張量3. 逆張量逆張量ITT1并非所有張量都可逆，有逆存在的張量稱為可逆張量并非所有

22、張量都可逆，有逆存在的張量稱為可逆張量 -1-1-1ABBABA則為可逆張量，與若第45頁/共59頁第四十六頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。幾種常用的幾種常用的二階張量二階張量4. 正交張量正交張量IRRRRTT1 RRT bRaRbaabbaaRb且可以證明則為矢量和其中若, ,正交張量對應(yīng)的線性變換保持矢量長度和內(nèi)積不變正交張量對應(yīng)的線性變換保持矢量長度和內(nèi)積不變正交張量對應(yīng)的線性變換代表一個轉(zhuǎn)動正交張量對應(yīng)的線性變換代表一個轉(zhuǎn)動IRRRRTT1 RRT第46頁/共59頁第四十七頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。A A3 張量分析張量分析梯度梯度標量場的梯度是一個向量場，標量場中某一

23、點上的梯度指向標量場增長最快的方向。對單變量實值函數(shù)，梯度只是導(dǎo)數(shù)，如應(yīng)變。圖中標量場是黑白的，黑色代表大的數(shù)值，藍色箭頭代表梯度方向。第47頁/共59頁第四十八頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。散度、旋度散度、旋度散度是將向量空間上的一個向量場（矢量場）對應(yīng)到一個標量場上，描述的是向量場里一個點是匯聚點還是發(fā)源點。旋度表示三維向量場對某一點附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度，這個向量提供了向量場在這一點的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。第48頁/共59頁第四十九頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。力學中：力學中：幾何方程與位移場的幾何方程與位移場的梯度梯度有關(guān)有關(guān)轉(zhuǎn)動量與位移場的轉(zhuǎn)動量與位移場的旋度旋度有關(guān)有關(guān)平衡方程與

24、應(yīng)力場的平衡方程與應(yīng)力場的散度散度有關(guān)有關(guān)第49頁/共59頁第五十頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。1、哈密頓、哈密頓(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表示為可以表示為:iixiiee 可以證明可以證明, Hamilton算子具有張量的屬性算子具有張量的屬性,相當相當于一階張量。于一階張量。啞標啞標第50頁/共59頁第五十一頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。2、梯度、梯度 1標量場標量場 ieigradxxx,321),(為一階張量矢量為一階張量矢量 第51頁/共59頁第五十二頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。2張量場張量場 kjjkAeeA（1）左梯度）左梯度kjikjieeeeeeijkjkiAA,A（2）右梯度）右梯度高一階的張量場 A,ikjikjeeeeeeijkjkiAA AA 一般并乘并乘第52頁/共59頁第五十三頁，編輯于星期日：十九點 五十四分。3、散、散度度 1矢量場矢量場 ueeuujitruujjji,d