遼寧省高二數(shù)學(xué) 函數(shù)的單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)）教學(xué)案例

1、遼寧省東北育才學(xué)校高中部高二數(shù)學(xué) 函數(shù)的單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)）教學(xué)案例教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)目標(biāo)：讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的聯(lián)系，掌握利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本方法。培養(yǎng)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)的思想來認(rèn)識(shí)和解決問題。（2）能力目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的方法來判斷函數(shù)的單調(diào)性，能夠引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的方法解決單調(diào)性的問題。（3）情意目標(biāo)：能夠結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義來判斷函數(shù)的單調(diào)性，站在更高的層面來考察函數(shù)的基本性質(zhì)，體會(huì)高等數(shù)學(xué)的思想根源，逐步滲透分析學(xué)的方法和理念。教學(xué)過程提出問題師：今天我們來學(xué)習(xí)第六節(jié)函數(shù)的單調(diào)性。(板書：函數(shù)的單調(diào)性)師：首先，請(qǐng)同學(xué)們考慮這樣一個(gè)問題,看到這樣的一個(gè)課題之后你能

2、想到什么？(學(xué)生思考)生1：聯(lián)想到什么是函數(shù)的單調(diào)性生2：單調(diào)性與圖象有關(guān)師(趁勢(shì)提出問題)：那么誰能告訴我到底函數(shù)的單調(diào)性的定義是什么？生1：對(duì)于函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)變量，且,都有,則函數(shù)單調(diào)遞增，若,則函數(shù)單調(diào)遞減。生2：應(yīng)該補(bǔ)充說明是在定義域內(nèi)的某段區(qū)間內(nèi)，任取。教師總結(jié)，并肯定后來同學(xué)的補(bǔ)充。師(繼續(xù)引導(dǎo))：既然同學(xué)們聯(lián)系到了定義也聯(lián)想到了圖象，就請(qǐng)同學(xué)們利用定義或者圖象判斷一下函數(shù)和的單調(diào)區(qū)間。(在提出問題的同時(shí)，利用課件給出和的解析式和圖象。)師：誰能先說明一下的單調(diào)區(qū)間生：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。師：你是用什么方法判斷的？生：我是利用圖象。師：的情況呢？生：從，（）是單調(diào)遞增

3、的，在（）是單調(diào)遞減的。 師：強(qiáng)調(diào)一下k是屬于整數(shù)集合Z的。探索問題師（進(jìn)一步的指明）：這里的兩個(gè)問題同學(xué)們都是選用圖象法來解決的。顯然，圖象法在解決這個(gè)問題的過程中是很方便的。下面我們來一起觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象，思考一下這樣的問題，曲線切線的斜率與函數(shù)的單調(diào)性有什么樣的關(guān)系？（學(xué)生觀察，教師給出一些提示）生：曲線切線的斜率小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，曲線切線的斜率大于0，函數(shù)單調(diào)遞增。生：斜率為0時(shí)，出現(xiàn)在一個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)處。師：通過這兩個(gè)特殊的函數(shù)圖象的觀察，同學(xué)們得到了能夠通過曲線切線的斜率的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。那么對(duì)于一般的函數(shù)來說是不是也具有相同的特性呢？下面我們來看一個(gè)一般的函數(shù)圖象。（

4、通過投影給出一個(gè)一般的函數(shù)圖象，以及其切線的動(dòng)畫。并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察。）師：這是一個(gè)函數(shù)在某段區(qū)間上的函數(shù)圖象。隨著曲線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，我們看到，這個(gè)點(diǎn)有上升也有下降，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，在上升的曲線上，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，（稍停頓）怎么樣？任意點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角（師生同），此時(shí)斜率為正（師生同）。那么這段區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。同理，在下降的這段曲線上，任意點(diǎn)處的切線的傾斜角為鈍角，斜率為負(fù)，這段區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。于是通過上述的分析我們知道，能夠通過曲線切線的斜率來判斷函數(shù)的單調(diào)性。請(qǐng)同學(xué)們思考，通過我們得到的結(jié)論，結(jié)合我們這一段的學(xué)習(xí)，能否把這個(gè)結(jié)論換個(gè)說法來表述？生1：沒

5、想好生2：當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的值是大于0時(shí)，這個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)的切線的斜率就是大于0，所以，我們可以說，在函數(shù)的某一段區(qū)間上，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都是大于0的話，函數(shù)在這段區(qū)間上就是單調(diào)遞增的。師：好！能否告訴大家你是如何想到導(dǎo)數(shù)的？生：切線的斜率就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)師：這是什么？生：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。師：非常好！通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)，能夠通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，這就是我們本節(jié)課要研究的主要內(nèi)容。（板書：如果）師（強(qiáng)調(diào)）：我們既然已經(jīng)利用了導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，那么就得強(qiáng)調(diào)它的大前提（師生同并板書）函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)。我們提到了大于0和小于0，那么我們就要考慮若在某段區(qū)間內(nèi)恒有導(dǎo)數(shù)等于0，此時(shí)怎

6、么樣？（生補(bǔ)充，師板書）常函數(shù)。（這里板書概念，同時(shí)與學(xué)生不斷的補(bǔ)充，處理好書寫和口述的過程）師：下面，我們就結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性來解決一個(gè)問題。板書并讀題目：例1 判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（學(xué)生動(dòng)手計(jì)算。教師觀察學(xué)生計(jì)算的過程）學(xué)生回答，教師板書并引導(dǎo)學(xué)生，給出一個(gè)規(guī)范的解題過程。解：的定義域?yàn)镽，且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。 令，解得,因此，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；再令，解得,因此，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)。教師簡單的總結(jié)，并強(qiáng)調(diào)利用導(dǎo)數(shù)法來判斷函數(shù)的單調(diào)性的具體實(shí)施步驟是： (1)確定的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)；（3）在定義域內(nèi)解不等式。并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。師：在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們?cè)倏匆粋€(gè)例題。生（打

7、斷教師，提問）：老師，我們剛才的結(jié)果寫成閉區(qū)間是否合適？因?yàn)橐郧爸v函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候，就是寫成閉區(qū)間。生（教師欲回答，又一學(xué)生主動(dòng)回答）：我認(rèn)為可以不寫，因?yàn)榘凑涨懊娼o出的利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來判斷單調(diào)性的法則中并沒有給出，另外對(duì)于單調(diào)區(qū)間，區(qū)間端點(diǎn)并沒有影響。教師此時(shí)給出充分的肯定。并給出明確的答復(fù)。應(yīng)用新知教師繼續(xù)給出例題：判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2 （1） （2）（請(qǐng)兩位學(xué)生到黑板板演，教師觀察學(xué)生計(jì)算，并適時(shí)給出提示）和學(xué)生一起分析板演同學(xué)的問題。討論兩個(gè)問題中的單調(diào)性的區(qū)域性。尤其強(qiáng)調(diào)書寫。解：（1）的定義域?yàn)?令，解得,因此，在為增函數(shù)； 令，解得,因此，在為減函數(shù)。 （2）的定義域?yàn)?/p>

8、 令，解得,因此，在為增函數(shù)； 令，解得,因此，在為減函數(shù)；請(qǐng)學(xué)生談這種方法的體會(huì)。生1：用導(dǎo)數(shù)的方法比較簡單，不必畫出圖象或者用定義驗(yàn)證。生2：第一個(gè)問題用以前的方法利用圖像或者定義可以解決，而第二個(gè)函數(shù)是一個(gè)三次的函數(shù)，不是很清楚它的圖像，也不好用定義。師：大家都提到了導(dǎo)數(shù)法，定義法和圖像法的比較，我們不妨對(duì)比一下這兩個(gè)問題的定義法。用屏幕給出兩題的定義解法，其中題目二無法用定義法解出，只給出過程的一半，同時(shí)給出函數(shù)的圖像。師：對(duì)于這個(gè)函數(shù)，大家不是很陌生，但是，我們繪出這個(gè)函數(shù)的圖像，并不是很容易的，是要經(jīng)歷分析，列表，描點(diǎn)，連線等過程的。而用定義，我們要把問題分成和兩個(gè)區(qū)域來分別討論，

9、記得同學(xué)們剛開始做的時(shí)候，會(huì)很奇怪為什么能夠有先見之明，在應(yīng)用定義之前，就找到了單調(diào)區(qū)間。事實(shí)上，我們?cè)诜治鰰r(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)因式，于是，通過猜想得到的兩個(gè)不同的區(qū)間來討論單調(diào)性，也就是說，原來的方法是一種驗(yàn)證式的證明，而不是發(fā)現(xiàn)式的證明。師：我們?cè)賮砜匆幌逻@個(gè)題目，我們發(fā)現(xiàn)，通過計(jì)算機(jī)畫出的函數(shù)圖象是很復(fù)雜的。而在運(yùn)用定義來處理的時(shí)候，也涉及到一些麻煩的式子（指屏幕具體位置），到最后一步，我們用現(xiàn)在的方法無法判斷其符號(hào)，所以不能處理。師：我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用很容易地幫助我們解決一些以前不好解決甚至不能解決的判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題。師：下面我們來進(jìn)一步研究與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題，板

10、書例3 當(dāng)時(shí)，求證：不等式（學(xué)生思考，教師巡視）生：我們比較熟悉這兩個(gè)函數(shù)，可以通過畫圖象來驗(yàn)證，而今天我們學(xué)習(xí)了用導(dǎo)數(shù)來解決，我們可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)師：什么樣的函數(shù)？生：，并且能證明這個(gè)函數(shù)在-1到正無窮是單調(diào)遞增的，并且在0這一點(diǎn)的函數(shù)值為0，于是就可以判斷在(0,)上是大于0的教師引導(dǎo)學(xué)生寫下具體的過程，并板演。簡單總結(jié)并指出：大家已經(jīng)能夠掌握利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題，接下來我們來看一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的問題。師（故意放慢語速）：學(xué)生還在等待老師的敘述。教師借此情景說：題目就是這樣，學(xué)生低聲議論，教師會(huì)意，指出：同學(xué)們覺得很簡單，甚至有些不屑，這道題怎么算復(fù)雜，復(fù)雜在哪里？同學(xué)們不妨先算一

11、下。學(xué)生懷著疑惑進(jìn)行嘗試。教師要求學(xué)生回答。生：用我們今天的方法，的導(dǎo)數(shù)為，而讓的話，x不等于0，那么函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是和師：但是實(shí)際上呢？生：的單調(diào)區(qū)間就是，就是整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。師：的確如此，我現(xiàn)在同時(shí)給出導(dǎo)數(shù)法和定義法來解決的單調(diào)性問題。教師分別進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)各有道理，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞增的。那么對(duì)比這兩種解法，你是否發(fā)現(xiàn)了什么呢？（學(xué)生沉默）師：那么發(fā)現(xiàn)了結(jié)果不一樣，并且肯定了定義法的準(zhǔn)確性，那么是否是導(dǎo)數(shù)法對(duì)于解決這個(gè)問題不適合呢？（學(xué)生討論）生：我們應(yīng)該完善這種方法，把兩個(gè)區(qū)間聯(lián)系起來生：這樣討論的單調(diào)區(qū)間是分段的，我們這種方法是沒有考慮端點(diǎn)

12、的，是不是可以加進(jìn)來。教師進(jìn)一步引導(dǎo)，對(duì)于這個(gè)端點(diǎn)，也就是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)應(yīng)該如何處理？生：前面我們說若在端點(diǎn)有定義，則區(qū)間的端點(diǎn)是可取舍的。師：說明了什么？（教師進(jìn)一步啟發(fā)）師生同：導(dǎo)數(shù)的方法是充分條件而不是必要條件。師：其實(shí)，這個(gè)問題就很能說明它的非必要性。為了更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這個(gè)問題，我們看下面這個(gè)例子，用投影給出和學(xué)生一起觀察圖像，并找出其導(dǎo)函數(shù)，特別關(guān)注函數(shù)圖象上的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（通過動(dòng)畫演示），說明它們并不影響函數(shù)的單調(diào)性并得出結(jié)論：如果導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)只是離散的，而在其它點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)恒為正或負(fù)，則這些導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)就不影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，回過頭來分析剛才的題目，補(bǔ)充說明。課堂小結(jié)師：這節(jié)課通過觀察圖象，了解了通過導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，要求掌握判斷單調(diào)性的三個(gè)步驟和應(yīng)用過程中需要注意的兩個(gè)問題，（1）導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性是充分不必要條件；（2）在單調(diào)區(qū)間內(nèi)的離散的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響單調(diào)性。布置作業(yè)，宣布下課。課后反思：仔細(xì)地回顧了本節(jié)課的講授過程，對(duì)課堂上和學(xué)生的交流有很深刻的印象，在授課的過程中適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，讓學(xué)生自主地完成探索，對(duì)于學(xué)生而言是一種成功，對(duì)教師而言，則是真正找到和發(fā)揮了自身的作用。而與學(xué)生的交流中，充分地尊重學(xué)生，順應(yīng)學(xué)生的思維方式來組織教學(xué)