(完整word版)高中數(shù)學導數(shù)及應用

1、高中數(shù)學導數(shù)及其應用、知識網(wǎng)絡二、高考考點1、導數(shù)定義的認知與應用；2、求導公式與運算法則的運用；3、導數(shù)的幾何意義；4、導數(shù)在研究函數(shù)單調性上的應用；5、導數(shù)在尋求函數(shù)的極值或最值的應用;6、導數(shù)在解決實際問題中的應用。三、知識要點(一)導數(shù)1、導數(shù)的概念(1)導數(shù)的定義（I）設函數(shù)V=/（力在點力及其附近有定義，當自變量 x在。處有增量4 x （Ax可 正可負），則函數(shù)y相應地有增量 坳代工。十出）一汽勒）,這兩個增量的比/（jr0 +心放，叫做函數(shù)（用在點工o到。斗. 這間的平均變化率。如果的限T 口時，岫有極限，則說函數(shù) 丫 = fl* 在點。處可導，并把這個極限叫做了（幻在點 功處的

2、導數(shù)（或變化率），記作/巴或Hi ,即八題"11m空=所二人+.）一,區(qū)） 工 mAxAx。（n）如果函數(shù) M處 在開區(qū)間（且5 ）內每一點都可導，則說 了 在開區(qū)間 S ） 內可導，此時，對于開區(qū)間（區(qū)8 ）內每一個確定的值 工口 ，都對應著一個確定的導數(shù),工工。）, 這樣在開區(qū)間（口，）內構成一個新的函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做 , 在開區(qū)間（區(qū)2） 內的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），記作 或，即了 =/（工）=Im -= lira 川+航卜二） Ax 此to Axo認知：（I）函數(shù)/' 的導數(shù)70 是以x為自變量的函數(shù)，而函數(shù) 了（月 在點。處的導數(shù) 八%）是一個數(shù)值；F在點”處的

3、導數(shù)尸（r。）是?。ɑ玫膶Ш瘮?shù), 當工=飛時 的函數(shù)值。（n）求函數(shù)/（處 在點。處的導數(shù)的三部曲：求函數(shù)的增量8+加）-/8）.Ay共配十所）-/5）求平均變化率MM;lim = r （/）求極限'"_1L上述三部曲可簡記為一差、二比、三極限。（2）導數(shù)的幾何意義：函數(shù)了（為在點q處的導數(shù)了（。），是曲線F = /（力在點雙/，/（工0）處的切線的斜（3）函數(shù)的可導與連續(xù)的關系函數(shù)的可導與連續(xù)既有聯(lián)系又有區(qū)別：（I）若函數(shù)/在點。處可導，則/在點。處連續(xù)；若函數(shù)/（幻 在開區(qū)間（髭5）內可導，則/W 在開區(qū)間（2b）內連續(xù)（可導一定連通十幽）-&）打區(qū)工吧7=）事實

4、上，若函數(shù) 外刃 在點工口處可導，則有 時義收此時,lim/（jb +/兀）=+ZU）-/®）+I/（%） no=時31"二芻2.4十/（而） Ar-+oAx/（a0+2x）-/（z0）=limlim Zx + Itm J（o）5防八 口十/8）-fM心+ Ax 工以找瓜）Xn記工u +,則有/玷即八引在點4處連續(xù)。（n）若函數(shù), 在點/ 處連續(xù)，但, 在點。處不一定可導（連續(xù)不一定可導）。NAr反例：三工在點"口處連續(xù)，但在點“口處無導數(shù)。行由 h=咒口 - /（口）= | 回, J =事實上，八寫在點均處的增量4工Ay 1， Ay 1=1Lun = I當&qu

5、ot;,口時，壇，；31al=1lirxi =當樂口時，近，1。*機dm包由此可知，J口/工不存在，故/(h)= H在點k = U處不可導。2、求導公式與求導運算法則(1)基本函數(shù)的導數(shù)(求導公式)公式1常數(shù)的導數(shù)：=口 (c為常數(shù))，即常數(shù)的導數(shù)等于0。公式2募函數(shù)的導數(shù)：(/)=注/-1伊20)。公式3正弦函數(shù)的導數(shù)：(sinr),= cosx。公式4余弦函數(shù)的導數(shù)：I。，*)' =一虱11工公式5對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：Qn X)* = -!-(D工；(n)公式6指數(shù)函數(shù)的導數(shù):(I)(n)(2)可導函數(shù)四則運算的求導法則 設% V為可導函數(shù)，則有法則i (n-好7 * ,；法則2斯）二

6、口、+裁3；N't wV-Uv' m二一Q伊工口）法則3 廿 3o3、復合函數(shù)的導數(shù)（1）復合函數(shù)的求導法則設丫7）尸.炳 復合成以x為自變量的函數(shù)y-fl城琦，則復合函數(shù)/1城3對自變量x的導數(shù)F；，等于已知函數(shù)對中間變量儀幻 的導數(shù)了；，乘以中間變量u對自變量x的導數(shù)4,即匕=。引申：設y-f ,八妖 復合成函數(shù)產兒奴鼠幻）,則有咒=7； M "；（2）認知（I ）認知復合函數(shù)的復合關系循著“由表及里”的順序，即從外向內分析： 首先由最外層的主體函數(shù)結構設出 "'（"），由第一層中間變量狀”1（工）的函數(shù)結構設出，由第二層中間變量艮,式

7、工）的函數(shù)結構設出”式冷，由此一層一層分析，一直到最里層的中間變量迎為自變量x的簡單函數(shù)'名關）為止。于是所給函數(shù)便“分解”為若干相互聯(lián)系 的簡單函數(shù)的鏈條：沙囚侯U），丸=虱分；（n）運用上述法則求復合函數(shù)導數(shù)的解題思路分解：分析所給函數(shù)的復合關系，適當選定中間變量， 將所給函數(shù)“分解”為相互聯(lián)系的若干簡單函數(shù)；求導：明確每一步是哪一變量對哪一變量求導之后，運用上述求導法則和基本公式求；并作以適當化簡或整理。還原：將上述求導后所得結果中的中間變量還原為自變量的函數(shù),二、導數(shù)的應用1、函數(shù)的單調性（1）導數(shù)的符號與函數(shù)的單調性：一般地，設函數(shù)力在某個區(qū)間內可導，則若 尸（工）嗎3為增函

8、數(shù)；若/忸工）為減函數(shù)；若在某個區(qū)間內恒有尸口，則在這-區(qū)間上為常函數(shù)。（2）利用導數(shù)求函數(shù)單調性的步驟（I ）確定函數(shù)，的定義域；（n）求導數(shù)尸；（田）令/工）匚° ,解出相應的x的范圍當1r（工）二口時，/w在相應區(qū)間上為增函數(shù)；當廣口時廣 在相應區(qū)間上為減 函數(shù)。（3）強調與認知（I）利用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D,并且解決問題的過程中始終立足于定義域 D。若由不等式（工）口確定的x的取值集合為 A,由,二確定的x 的取值范圍為B,則應用A匚Q電口 .（n）在某一區(qū)間內丁二口（或“工）二口）是函數(shù)了 在這一區(qū)間上為增（或減） 函數(shù)的充分（不必要）條件。因此

9、方程= °的根不一定是增、減區(qū)間的分界點，并且在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時， 除去確定了= °的根之外，還要注意在定義域內的不連續(xù)點和不可導 點，它們也可能是增、減區(qū)間的分界點。舉例：（1）/（力=/是R上的可導函數(shù)，也是R上的單調函數(shù)，但是當x=0時，*工）=口。（2），（力=忖 在點x=0處連續(xù)，點x=0處不可導，但/ 在（-8, 0）內遞減，在（0, +00）內遞增2、函數(shù)的極值（1）函數(shù)的極值的定義設函數(shù)7（力 在點/ 附近有定義，如果對 仆 附近的所有點，都有 /W,則說*?。┦呛瘮?shù)/的一個極大值，記作V冕知！二4修）；如果對工口附近的所有點，都有勒），則說工Q是函數(shù)f

10、 （幻的一個極小值，記作y殿小g=o極大值與極小值統(tǒng)稱極值認知：由函數(shù)的極值定義可知：（I）函數(shù)的極值點 左是區(qū)間房叫內部的點，并且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內的連續(xù)點處取得；（n）極值是一個局部性概念；一個函數(shù)在其定義域內可以有多個極大值和極小值，并且在 某一點的極小值有可能大于另一點處的極大值；（田）當函數(shù)，（見 在區(qū)間代內 上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)才 在出叫 內的極大值點，極小值點交替出現(xiàn)。（2）函數(shù)的極值的判定設函數(shù)?（幻 可導，且在點。處連續(xù)，判定,（修）是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵↖）如果在點 打 附近的左側 /（工）口 ，右側-口，則（麗）為極大值；（n）如果在點 工口附近的左側/.

11、，右側5 口，則g為極小值；注意：導數(shù)為0的不一定是極值點，我們不難從函數(shù)戶"）=' 的導數(shù)研究中悟出這一點。（3）探求函數(shù)極值的步驟：a）求導數(shù)/（幻；（n）求方程（工）"口的實根及“G 不存在的點；考察丁 口）在上述方程的根以及 以幻 不存在的點左右兩側的符號：若左正右負，則丁在這一點取得極大值，若左負右正，則'在這一點取得極小值。3、函數(shù)的最大值與最小值（1）定理若函數(shù)了（方 在閉區(qū)間上連續(xù)，則f 在見句 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間（風可內連續(xù)的函數(shù)f（加 不一定有最大值與最小值。認知：（I）函數(shù)的最值（最大值與最小值）是函數(shù)的整體性概念：最大值是

12、函數(shù)在整個定義區(qū)間 上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（n）函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的（具有相對性），極值只能 在區(qū)間內點取得；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的（具有絕對性）最大（小）值可能是某個極大（?。┲?，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值。（m）若?。ɑ?在開區(qū)間 9% 內可導，且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲怠＃?）探求步驟：設函數(shù)在冏叫上連續(xù)，在（星與內可導，則探求函數(shù)才 在陽明上的最大值與最小值的步驟如下：（I ）求丁在（療內的極值；（II ）求人用在定義區(qū)間端點處的函數(shù)值/，他

13、；（iii ）將丁 的各極值與,比較，其中最大者為所求最大值，最小者為 所求最小值。引申：若函數(shù)（加 在】區(qū)羯 上連續(xù)，則丁 的極值或最值也可能在不可導的點處取得。對此，如果僅僅是求函數(shù)的最值，則可將上述步驟簡化：（I ）求出丁（幻 的導數(shù)為0的點及導數(shù)不存在的點（這兩種點稱為可疑點）；（II ）計算并比較了（見 在上述可疑點處的函數(shù)值與區(qū)間端點處的函數(shù)值,從中獲得所求最大值與最小值。（3）最值理論的應用解決有關函數(shù)最值的實際問題，導數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：（I ）認知、立式：分析、認知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當?shù)?函數(shù)關系；（II ）探求最值：立足函數(shù)的定

14、義域，探求函數(shù)的最值；（III ）檢驗、作答：利用實際意義檢查（2）的結果，并回答所提出的問題，特殊地，如果所得函數(shù)在區(qū)間內只有一個點。滿足'（"）'口，并且廣（幻在點。處有極大（小）值,而所給實際問題又必有最大（?。┲?，那么上述極大（小）值便是最大（小）值。四、經(jīng)典例題例1、設函數(shù)/（幻在點工口處可導，且尸（工”月，試求汽礴山卜）（1）時9k；5汽，+ &）-，（與山） 11 (3)出 fQx一%）-$旦一行14%工一豌° ；11nl 一十厘加）一f由一及（4）- 1口（區(qū)8為常數(shù)）/*(x0) - llffl解：注意到“%)=lim)一外)當Jl

15、ltll(1)，JAt=limJS-rU/+（一力力-丁 （丹）-Ax(2)為-/(與-加)/Uo + - /(a0) +/(x0) - /(x0 - Ax)lim= limJiQ也工晶Ax=hm+ limAxnn -Ax=A+A=2A(3)令工一。="，則當時人一口，/(2jf-j)-/(2A0 -JT) 八/十2例-/(%)十八%)-/(/一加lim= htn"% +歷)一人而)義。-衲-只兩=iini - mm a-jOhAt0k51-于8 + 羽-/()j 11m f 8-檢-fW*t。2 h*to h=叮3)+ 八o)= K(4)=14十出聞-f兩一方&(

16、4)- '口f(鳳 + 心)7Go) -=imi 血sAx打 Me十厚/)-/5。)方 lim FOo(的) 或 m n-+ 口 inn 站t口aAxmtZ - bAx打Me十的)一 /(%) C Mm式兩-如A只/) 立 urn-+ p inn站TO £lArTm 0- iAr 鏟國+D - g+協(xié)產(飛) g+冷月=一4通十一二汽初點評：注意"TO內的本質，在這一定義中，自變量 X在“ 處的增量 M 的形式是多種多樣的，但是，不論 1 選擇哪一種形式，相應的 3 也必須選擇相 應的形式，這種步調的一致是求值成功的保障。若自變量X在q處的增量為一用也，則相應的8=

17、*7 -陽口-3。)，于是有一戰(zhàn)品 -mAx-“4” lim /國一-.）若令r = % 心，則又有i 再-西例2、2£-VW（1）已知儂=?"7求理一；1 /fsinj）- 2ta y已知/=工廠（1）= ?,求七C0S工解：（1）令工一3 = Ax ，則元=）+3 ，且當久-3時，ZkT 口注意到這里' ''/;一 I43)-/" 了-=_ = _1Ax2x-3/(j)_1 +2&- 3丁0+&Q.-.；- ' 二一包*二2-3上&而fO Ak親0團工=2 - 3/*(3) = E. .1 1 :(sm

18、力 一2 /(sin x)-J(l)向2= litti-jf± c<s 工-(sin 汗一 1)(由力 Hfl)玉 r/fsm)-/(i) -i sin 元- 11 + sin口八g)T4-1-hm： lim：j_t±sin j -1 4q二 1 + Bin 五22篦一.X T O SUI X > 1注意到 2,劉一/5WT1 “門 了一111HL：, 什巴 sin t - 1由已知得2.由、得 I例3、求下列函數(shù)的導數(shù)(1)+ 4馬。+2/)；(3)y=(4)(5)pL十"瓜1 +石,（6）產中解:(1)=（蠟）'+1/ 2£乃&#

19、39;一（7工）二色,十2工匕口工一 / sifiX-7(2)y= (1+ 4#)。+ 2xa) = 1 4 2xq 4 4x3 + 履_1 1y-(l-m)(1 +7=)- -一-(3),(4)(1+«)+1-瓜)2(5), 一、.1 II A： 一 八匕)Iy- xx= < K(6) I MS. .當心口時，八；當 / "時，K =f2x>0-2孔齊< 0.點評：為避免直接運用求導法則帶來的不必要的繁雜運算，首先對函數(shù)式進行化簡或化整為零，而后再實施求導運算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉化為方募的形式時，“先變后求”的手法顯然更為

20、靈巧。例4、在曲線C： X=i - 6/ -戈48上，求斜率最小的切線所對應的切點，并證明曲線 C關于該點對稱。解：.當工=2時，/取得最小值-13又當 x=2 時，-2+百= -12斜率最小的切線對應的切點為A(2, -12);(2)證明：設為曲線C上任意一點，則點P關于點A的對稱點Q的坐標為（4 - %. - 24 . J。）且有用 需- 6需一%;電.將*"一4代入-收-h + 白的解析式得（4-/）匚 6（-4）+6- - X； + 用+% - 30需- Jo + 6）-24-24 - J。 ,.點加）坐標為方程”7一耐-工卜后的解.一,注意到P, Q的任意性，由此斷定曲線C

21、關于點A成中心對稱。,且均為可導函數(shù),例5、已知曲線尸=穴gy=/皿頁（津工口），其中八© > 口求證：兩曲線在公共點處相切。證明：注意到兩曲線在公共點處相切當且僅當它們在公共點處的切線重合, 設上述兩曲線的公共點為 工。山），則有凡汽。)/a- f(xa)sinax0， ，.":-lsin = 11 ,口% = 2無需 + （比 gZ）二x0 = L（2 丘-p g£） 二于是，對于八7（工）有八八工）；對于以=/（工）皿G ,有*二八力£由口工一次力33由得由得居17 "兩5由宿+*期） c網(wǎng)白電=/（勒）皿2七r十y ）十屯1面）c

22、os（2jt +-產乜）.M#2 f ,即兩曲線在公共點處的切線斜率相等,兩曲線在公共點處的切線重合兩曲線在公共點處相切。例6、六不）=/# - - x5 -Jcj? + 2x+ （1）是否存在這樣的 k值，使函數(shù) 32 在區(qū)間（1,2）上遞減，在（2, +8）上遞增，若存在，求出這樣的 k值；（2）若/幻"也7 :工恰有三個單調區(qū)間，試確定 o的取值范圍，并求出這三個單調區(qū) 間。解：（1）1 ：由題意，當天二QZ時?。?，當xC（2,+ 8）時，K）.由函數(shù)/（工）的連續(xù)性可知丁口，即工一-整理得一-解得 2或 看驗證：當 7 時，/二/一2工二"2 = （"g

23、-g-2）.若1匯2 ,則廣二口 ；若工2，則/'口，符合題意;(n)當 yM = x3 - 2 xa -i- - j; 4- 28 Ht,43 , 7-=(工-169顯然不合題意。于是綜上可知，存在2使/1力 在（1 , 2）上遞減，在（2, +8）上遞增。： ，則此，此時廣只有一個增區(qū)間（一乜*的，與題設矛盾;若二=-，則尸。）=1 ,此時?。χ挥幸粋€增區(qū)間（-也中，與題設矛盾;/（工）-%“丁十?。? 3a（x+,乂工產=）,則允4-3覆7-勿一 C ：或冗 并且當 ，r綜合可知，當口時，丁（工）恰有三個單調區(qū)間:(-T -=1 ( J-+0?)(i= -7=)減區(qū)間止為4-

24、3口；增區(qū)間V-紀止必點評：對于（1）,由已知條件得 廣 0 ,并由此獲得k的可能取值，進而再利用已知條件對所得k值逐一驗證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。例7、已知函數(shù)/=/+1 ,當且僅當"-l1"1時，取得極值,并且極大值比極小值大4.（1）求常數(shù)&&的值;的極值。解:（1） /，5工魚八”令尸口得方程5工次，” =口.八月在工n-LXnI處取得極值.=-1或K = 1為上述方程的根，（一1） 4 %（1+4= 0故有一".5 + 3口十由=口 ,即 3 = -3 口一 5=5, - 1）4 33（丁-1）=（x+ 1）（累T）

25、（5f + 3"- 5）又僅當匯=±i時取得極值，.方程（口的根只有工=-1或工=1 ,.方程5/十?$ + 5 = 口無實根，二心-4 乂 5 y.加+ 5k口即加十六口5白> 2而當 3時，5廣+3口 + 5> 口恒成立，,的正負情況只取決于（工*1）（工-1）的取值情況當x變化時， ”工）與共幻 的變化情況如下表：X（一明 T）1(TD 二1(1 , +°0)XW+0一0+/W/極大值、極小值. .?（如在工=一 1處取得極大值f（l），在工=1處取得極小值fo由題意得二整理得"h = -3于是將，聯(lián)立，解得 , 一 一，"&

26、#39;由（1）知，（琦=/-7-"+1*工）肥大舊=7（T） = T /招也=FO）= T點評：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設條件與口】的關系，立足研究/'（工）.口的根的情況，乃是解決此類含參問題的一般方法，這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類討論的數(shù)學方法， 突出了 “導數(shù)尸（。）口 ”與“ ?。υ诠た谔幦〉脴O值”的必要關系。例8、（1）已知/="一+雙一1，工刁的最大值為3,最小值為-29 ,求工的值；2/（工）=工三-W3X3 + 陽（-IgxMl）（2）設3，函數(shù)1的最大值為1,最小值為_ 7S2,求常數(shù)黑，我的值。解：（1）這里口于口 ，不然,?！芭c題設矛盾

27、/一/ - lZsx=必雙女 4）令/'（工）=口，解得“口或x=4 （舍去）（I）若。二口，則當 *（7口）時，,（工）二'口，在（7口）內遞增；當工瘧）時，*gv口，在（UZ內遞減又？（如連續(xù)，故當工=口時，丁 取得最大值由已知得,1:'.此時F的最小值為.由2）,-29得1陽十？=四=口 =工（n）若«<0 ,則運用類似的方法可得當口時廣（幻有最小值，故有阿=-293"9 .又11":當工=2時，汽用 有最大值，由已知得= ' -= -=-：于是綜合（I） （n）得所求或"力79令尸口得雙工-戰(zhàn)）01=0,/=

28、掰（一嗯a< 1）解得當工在-I上變化時， 工）與立幻 的變化情況如下表:X-1(-1,0)08押）m(帆D1+0一0+/極大值網(wǎng)極小值力-+制2/加當r 時，取得極大值口 ；當二昭 時，/ 取得極小值 2由上述表格中展示的 的單調性知-/：./（幻最大值在f與之中，的最小值在?。═）和了之中，3?/Q)-,/(0)-/(I)>0考察差式即八0）網(wǎng)）,故幻的最大值為/） 由此得，1 ' , 1/(-I)-/(ot) = -2-2) = (r?i-2)(阿 + 1) 考察差式'-V(-O-/(rn)<o；lp/(-ixyw?。ɑ玫淖钚≈禐?quot;一D3訪#砒

29、=- 間=由此得 ？2 ,解得 3網(wǎng)=a = 1于是綜合以上所述得到所求二五、高考真題（一）選擇題兒二疝口m八（二）九公二工.九7；”舒1 以，則力。時.（）。A、迎 KR 一知天C、Cd、H分析：由題意得'''-：'A（r）=一加工入= -cosrAtr）寺總才工（工）1=兒（工）.人（工）*立川）具有周期性，且周期為4,.人/0=<。）=.學工，應選C。2、函數(shù)/ 0）"打/4 ' + 1有極值的充要條件為（）A 口3口B、口之口C、UU口d、1三口分析：'r.當公口時，尸>0且丁（加口 .當口口時，令/3=口得3/+1

30、=口有解，因此久才有極值，故應選 G3、設,（工），虱用 分別是定義在 R上的奇導數(shù)和偶導數(shù)，當口時，“Gm十景口且烈-3”。則不等式，綱eti的解集是（A （ -3 , 0） U （ 3, +8）B、 （ -3 , 0） U （ 0, 3）C （-巴-3 ） U （ 3, +8）D、 （ -8, -3 ） U （ 0, 3）分析：為便于描述，設尸M#）颯，則鵬用為奇導數(shù)，當1 口時，尸（工”口且用”口 根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性知，尸（月亡口的解集為（-8, -3） U （ 0, 3）,應選D。二、填空題1過原點作曲線y* 的切線，則切點坐標為 ,切線的斜率為 O分析：設切點為M&，”）

31、，則以M為切點的切線方程為 尸一戰(zhàn)（工一餐） 由曲線過原點得J-0 短e-=i , 切點為色白），切線斜率為e 。點評：設出目標（之一）迂回作戰(zhàn)，則從切線過原點切入，解題思路反而簡明得多。2曲線尸工工3在點（禺/）父口）處的切線與x軸，直線I三2所圍成的三角形面積為6，貝1J 口 =。分析：y=3ia曲線v=#在點g/W"）處的切線方程為y-加 = s"A。）即j咚切線與x軸交點 3,又直線工二口與切線交點縱坐標為,上述三角形面積2 j6 由此解得同=1即.=±1y = 2 j= 23曲線 2 與“可在交點處的切線夾角是 （以弧度數(shù)作答）分析：設兩切線的夾角為 日

32、，將兩曲線方程聯(lián)立，解得交點坐標為G，。）即兩曲線在點處的切線斜率分別為-2, 3I - 3 x if- 2)（三）解答題1已知金£火，討論導數(shù)+ 1）的極值點的個數(shù)。解析：先將求導，尸即3gM"M+i。當屋口時，/C力=口有兩根，于是人力有兩極值點。當"W口時，1G之口 ，/W為增函數(shù)，?。üぃ]極值點。本題考查導數(shù)的應用以及二次方程根、“ A ”等知識。解答- '1 ' -1=+ g + 2）工 ¥+ 明令尸口，得即i。1、當'）'1'' 一 IT即屋口或厘4時，方程廣口有兩個不同的實根勺、叼不防設冗1

33、 H心，于是，,從而有下表：XS（門,叼）叼（心,+8）打工）+0一0+丁/，（工1）為極大值?。ㄉ祝闃O小值/即此時也有兩個極值點;2、當八=口即&=減淳=4時，方程12）X4 （2口+有兩個相同的實根勺=1口 ,于是以吊工蠟故當工 工1時，尸口 ；當一七時，八。口 ，因此六工）無極值；3、當AM口即口加C時，/+俗+門"2"1）口而門:力三叫一 + g一）*22» 口，故人心 為增函數(shù)。此時（工）無極值；.當白4或& 0時，1A工）有兩個極值點；當0a4時，1A幻無極值點。式.，-62已知函數(shù)工。匕的圖象在點MTf（T）處的切線方程為-口。（I

34、）求函數(shù)尸=/（力的解析式；（n）求函數(shù)尸=/00的單調區(qū)間。解析：（1）由M7/L1）在切線上，求得八7，再由M-1J（T）在函數(shù)圖象上和“-1）= -：白上得兩個關于占的方程。令”工）口，求出極值點，尸口求增區(qū)間，尸口求減區(qū)間。此題考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間。解答（I）由函數(shù)代）的圖象在點'式"1-“）處的切線方程為+“*5=口知：-1+2"T"5口，即點-1）-2 ,武/+3)-爾皿-6) ,/ w (?w1+A口 +4=-22a = 2b-4q(l + 5)-20+6) _ _ 1,if 2解得1 '' 

35、9;一,二'所以所求函數(shù)解析式2-6工、3(n)rw-廳+3)令-?”4121+6=口解得近二?一工,巧二九23當 K3-2后或Q 3Mg 時，/Xx) <0當3-2萬MXC+2石叱/>口，八 2天. 6所以1 -在51同fg邛收）內是減函數(shù)，在（一后一向內是增函數(shù)3已知"1是函數(shù)的一個極值點，其中然尾氏/口（I）求箱與R的關系表達式；（n）求以另的單調區(qū)間；（田）當"-U時，函數(shù)（處的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍。解析：（1）本小題主要考查了導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)單調性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想，第 2小題要根據(jù)火

36、工）的符號，分類討論，的單調區(qū)間；第 3小題是二次三項式在一個區(qū)間上恒成立的問題，用區(qū)間端點處函數(shù)值的符號來表示二次三項式在一個區(qū)間上的符號，體現(xiàn)出將一般性問題特殊化的數(shù)學思想。解答:(I)=/=3加-6牌+ 1”+盟工=1是函數(shù)/（打的一個極值點(1)=加一6(溶+ )+& = Q,(n)"物/ /冽4 l)z+«-3 -+ 1)工+ 翻 + / Xx-1)(mx-«-2)_12令尸.口，得“L3；戶內 與丁 的變化如下表:(一巴 1 + )和2（1） 鬼1(L6/W一0+0一/« 1單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減因此，廣的單調遞減區(qū)間是

37、/和口0）； /（才的單調遞增區(qū)間是2。/D 她/甲、由5、/（& - 3度/-仃07）了” = 3施-60+"4?成小心3叫"£一1）（出）田（u）即*'':'''一令一行.：'一，或正港力口”-1且冏口，g(-l)=版-2炭 4 4。14"一- <m <0g(l) 謂- 2解>0.34-加C0即m的取值范圍是 §已知函數(shù)2 一工”口1(I)求的單調區(qū)間和值域;(n)設函數(shù)式工）=7-獷工-2”0,1,若對于任意,使得式工）*/61）成立，求口的取值范圍。解析：本題考查

38、導數(shù)的綜合運用，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題能力,力以及運算能力，本題入手點容易，（I）中對分式函數(shù)定區(qū)間內單調性與值域問題，往往以導數(shù)為工具，考查思維及推理能（n）是三次函數(shù)問題，因而導數(shù)法也是首選，若烈工1）成立,則二次函數(shù)值域必滿足 *工）匚自（燈 關系，從而達到求解目的o解:(I)由-4尹 + 1©工一7(2 Y-1x =得 _7X =或 -x=2 (舍去),變化情況表為:X0吟UI1康）1一0+_724/-3因而當工時fl為 為減函數(shù)；當X 叱）時fl8 為增函數(shù)；當工eOJ時，武力的值域為f T ；（n） 二、口因此1,當乂穴卬）時?（加：3。-/）£。因此當&

39、quot;（U）時以力為減函數(shù)，從而當工史時有虱工間就，鼠叨又式”>加T吐即當X，叫時有爪©wl-2-而句任給勺名【叫，/區(qū)）名TT ,存在工口 餐 "使得虱而" /則一工:I * ，.1_1 2d! 3M £-4（1）""-Za2-3）53a<-aS由（1）得s型或 3 ,由（2）得 £又y故3的取值范圍為2 OU 口/m a > 0 N將 / （x） - （ - 2事工）中'5已知比一"，函數(shù)八'''（1）當其為何值時， 取得最小值？證明你的結論；設?。üぃ┰贚

40、U上是單調函數(shù)，求用的取值范圍。解析：本題考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法及推理和運算能力，本題（I）常規(guī)題型，方法求 /七° ，解'3工）二口的根，列表，確定單調性，并判斷極值點，對（n）由（I） 八'在'1 口,上單倜，而1,因此只要即滿足題設條件，從中解出 叮 的范圍解答：（I）'=x2 + 2(1 -曰)”冽令/=口則爐+ 2"咖-20產二口從而 小'1公="1 一/十厘二三二”1十"1 +，其中。5當工變化時，,（月的變化情況如下表K9勺）£2 1 J1 + 金，,套一 1十+0

41、f'B+0一0+J*/極大值極小值/.?。ɑ迷谏滋幦〉脴O大值，叼處取得極小值當口之口時/O1 ,與之Q ，且1（劣在（/，孫）為減函數(shù)，在 0十8）為增函數(shù)而當工。時不孫，當"口時,=口.當工=值1十川十競時*工）取最小值；（n）當值之口時了在一1內上為單調函數(shù)的充要條件是L -即盅一 1 +JbH?2 1 ,解得 4綜上，/（幻 在一I”上為單調函數(shù)的充要條件為4 ,）即出的取值范圍為）4。i c 千 R/(<)= I3 X - d6.已知境三狀,函數(shù)八/(I)當= 1時，求使工成立的工成立的X的集合;(n)求函數(shù)V=/X力在區(qū)間1月上的最小值。答案：(I) 0, 1

42、, 1 + 6此立，當洋父1時；0, 當1“ M2時； 7附= 14(*-2),當2口仁三時；戊- L 當 > N(n)13解答：(I)由題意，MX尸”，一 ,當工<2時/幻= /Q一工)=x ,解得k = u或不=,當k之2時=其“工- 2)=工，解得mi + Ji綜上，所求解集為 0,1,1+ F口 (n)設此最小值為 m時，在區(qū)間1,2上，/=#一' ,yf(r) = 3M - 2d工=3xxa)(1,2因為3),則,(外是區(qū)間1,2上的增函數(shù)，所以1 M日三2時，在區(qū)間1, 2,一" 由f0”口知然壯”口當值，2時，在區(qū)間1, 2上，f-ax/=2s -

43、3j? = 3x4-x")如果用”在區(qū)間（1, 2）內，/了口從而（對在區(qū)間1, 2上為增函數(shù)，由此得 溶- 1 ；21<-a<2如果2 m3則 3 o當 天3"時，/'外>° ，從而/（力為區(qū)間1,3口 上的增函數(shù)；22當3時，:。，從而f （幻 為區(qū)間3,2上的減函數(shù)因此，當2 f 3時，牌或她，40-2）。<7當 ，時，4g故4（"4）;7 z當時-1<恤-2>故陰二口-1 .綜上所述，所求函數(shù)的最小值i-當值月時;0, 當工2時：7用二產似一 2）,當24*£三時， - L當 >-L37

44、、（I）設函數(shù)八幻="嗎工+。-工）1噸式1-旗0 C G,求/的最小值；（n）設正數(shù)冷卻也滿足以+出“/+% =，證明AloSi Pi 十尸J。曲必十PC。 A +, +中丁 1%/丁o解析：本題考查數(shù)學歸納法及導數(shù)應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。（I）已知函數(shù)為超越函數(shù)，若求其最小值，則采用導數(shù)法，求出“用=1%工-匕則心,解I1141、/二口得2，再判斷2與2時八打的符號，確定2為極小值點，也是函數(shù)的最小值，對(n)直接利用數(shù)學歸納法證明，但由、=直到網(wǎng)=在十1過渡是難點解答：(I)函數(shù)f (x)的定義域為(0,1)f Xx) = (x 1 og31)'

45、+ (1 - x) log2 (1 - x)1In 2 In 2/'W = 0得了令一-0(0,-)當2時，f'(x)<0, f(x)在區(qū)間 2 是減函數(shù)；一x u 1(J)當2時，f'(x)>o,f(x)在區(qū)間 £是增函數(shù)/(-) = -1.f (x)在 2時取得最小值且最小值為-(n)用數(shù)學歸納法證明(i)當n=1時，由(I)知命題成立；(ii)假定當n=k時命題成立，即若正數(shù) 戶1，&=/如滿足為十2+小=】，則卬加小十引嗎%+十2 1唱衣”一江當“=卜+1時，若正數(shù)巧產,，巧小滿足三十區(qū)+十小小=1_ A _ %_ 勺令；為一 .二

46、 , c 一二一二,' 一一則%，北.，如為正數(shù)，且處+的十十%"二1由歸納假定知/ 'L '二一一二Pi 1。助 Pi + Pi 咤之 Pz + *',十戶x kga P學二叫先十的I ”，十獷嗎每十也1)之年幻+打叫X 同理，由可得PhJog?巴3 + , + %* log）外融 >（1 - x）（ -k）+（1 x）log 2（1 x）.綜合、兩式A1。83 Pl + Pa 1。目？尸Q +'.+P升招> x+（1 x）（ k）+xlog 2x+（1 x）log 2（1 x）>-（k+1）.即當n=k+1時命題也成立。根

47、據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù) n命題成立。8函數(shù)尸=/（工）在區(qū)間口*）內可導，導函數(shù)/ 是減函數(shù)，且 “工” 口 ，設 工巾巨（口盧8）,”小溫是曲線？ = 1/（另在點（/.凝）處的切線方程，并設函數(shù) 虱沖-kx+ JR（I）用工口、?。üっ睿?、廣?？冢┍硎緈（n）證明：當S時，鼠為”；3 W蠟41之廿工之一鏟:（田）若關于x的不等式2 在上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系。解答：（I ）止于在點（工0，/（/）處的切線方程為卜一人2=八%）（工-由即-1-1-因而加=/（）- %廣（工0）；（n）證明：令 WRT（幻，貝/'=/（*-/ k（%）

48、=0因為廣遞減，所以段琦遞增，因此，當天>飛時，A,CP>0 ；當工燈工。時， "<0所以工是城工）唯一的極值點，且是極小值點，可知風工）的最小值為0因此g論0即自”(n)解法一：口WBMLg口是不等式成立的必要條件，以下設此條件成立好+ IXox + b ,即1一收4。一分立0對任意工亡【°，長°）成立的充要條件是1a <2（1-3 -，=一爐門飛另一方面，由于2滿足前述題設中關于y=Jw 的條件，2 23 -3 -"工43之一工3七、V -X3利用（n）的結果可知，2的充要條件是：過點 U寸與曲線 2 相切的直線的斜率不大于厘

49、，該切線的方程為：心做尸克”，.3 11CiK+b工鏟門2于是 2 的充要條件是"I回/+ 1 b> _/rn 綜上，不等式2 對任意工w LU.十00,成立的充要條件是（助大大"3ji顯然，存在口，6使式成立的充要條件是：不等式 泗,工”）。2-應一.2+近有解，解不等式得44因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)0與白所滿足的關系（田）解法二：口WBWL厘口是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立。三摳”，即/-"+（"助對對任意丑Q成立的充要條件是1戶2 23 -3 -0（x）= ax+ b - -x3工f SA 短卬、令1 ，于是2 對任

50、意 了 正成立的充要條件是0（幻之口1由0（工""工'口得"小.當口（工小時，0 口）v 口 ；當工“0時，0r>口，所以，當T二一時,修取最小值。因此0之口成立的充要條件是0（個之口X3 + 1 > l>+X3E 、綜上，不等式成立的充要條件是顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式（砌工 對任意叱叱切解 不 等 式 得3）因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)a與b所滿足的關系點評：本題考查導數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運用數(shù)形結合的思想判斷函數(shù)之間的關系，考查考生的學習能力，抽象思維能力，以及綜合運用數(shù)學基本關系解決問題的能力。對（I）,曲線",在點&處切線斜率為上*。），切線方