中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)(含答案)及答案

1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系 培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)（含答案）及答案一、直角三角形的邊角關(guān)系DC F1.如圖，山坡上有一棵樹 AB,樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6J3米，山坡的坡角 為30°.小寧在山腳的平地 F處測量這棵機(jī)勺高，點(diǎn) C到測角儀EF的水平距離CF=1米, 從E處測得樹頂部 A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.（參考數(shù)值：sin20 ° 0,34:os20° =0.94tan20° =0.3.【答案】6.4米【解析】 解：二,底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6 3米，山坡的坡角為 30°. .

2、 DC=BC?cos30673 9 米,2,.CF=1 米, .DC=9+1=10 米， .GE=10 米， / AEG=45 ； .AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20 ° =10 X 0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：樹高約為6.4米DF的長，進(jìn)而求得 GF的長，然后在直首先在直角三角形 BDC中求得DC的長，然后求得 角三角形BGF中即可求得BG的長，從而求得樹高2 .小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為 120時(shí)，感覺最舒適（如圖 1）,側(cè)面示意圖為圖 2;使用時(shí)為了散熱，她在底板下面

3、墊入散熱 架ACO后，電腦轉(zhuǎn)到 AO，B/位置（如圖3）,側(cè)面示意圖為圖 4.已知OA=OB=24cm, 。/ C± OA 于點(diǎn) C, O/ C=12cm.（1）求/ CAO/的度數(shù).（2）顯示屏的頂部 B，比原來升高了多少？（3）如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏。/ B，與水平線的夾角仍保持 120。，則顯示屏。/ B，應(yīng)繞點(diǎn)。/按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度？Br【答案】(1) /CAO =30; (2) (36 - 1麗)cm； (3)顯示屏O'而繞點(diǎn)O'按順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)30°.【解析】試題分析：(1)通過解直角三角形即可得到結(jié)果；(2)過點(diǎn)B作BD，AO交

4、AO的延長線于 D,通過解直角三角形求得BD=OBsinZ BOD=24X =1273 ,由 C、O'、B'三點(diǎn)共線可得結(jié)果；2(3)顯示屏O'而繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°,求得/EO B'/=FO A=30；既是顯示屏O'應(yīng)繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°.試題解析：(1) 0，(1OA 于 C, OA=OB=24cm,O'C O'Csin / CAO -=0 aoa ./CAO' =30 °(2)過點(diǎn) B 作 BD, AO交 AO 的延長線于 D, 1. sinZ BOD=一

5、 , . BD=OBsin/ BOD,OS / AOB=120 ,° Z BOD=60 ； . BD=OBsinZ BOD=24 更=12后,O' LOA,2/CAO' =30 ° ./AO' C=6 0：/AO' B' =120 Z AO' 叱 AO' C=1& 0 °.O， B' +O3 D=24+12- 12月=36-12 招，顯示屏的頂部 B比原來升高了( 36- 1273 ) cm；(3)顯示屏O'而繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°,理由：二,顯示屏O

6、9;若水平線的夾角仍保持 120°, ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B' = 120 ° ./EO' ET FO' A=3 0 ° 顯示屏O'底繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30：考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).3 . （6分）某海域有 A, B兩個(gè)港口， B港口在A港口北偏西30°方向上，距 A港口 60海 里，有一艘船從 A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75。方向的C處，求該船與B港口

7、之間的距離即 CB的長（結(jié)果保留根號）.【解析】試題分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得到AD=BD=?° ,求出Z C=6CT ,根據(jù)正切的定義求出 CD的長，得到答案.試題解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD=°),/ BAC=Z BAE+/ CAE=75 ,° / ABC=45 ,°AD 30%?/ C=60 ；在 RtACD中，/ C=60 ； AD3°v2,則 tanC=” ,. CD= &#

8、39;戶=0*,，Bc"+ 2.故該船與B港口之間的距離 CB的長為3V+10F海里.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 -方向角問題.4 .如圖，在 4ABC中，/ABC=/ ACB,以AC為直徑的。0分別交 AB BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長線上,且 / CAB=2/ BCP（1）求證：直線CP是。的切線.(2)若 BC=2/ sin/BCP=5 ,求點(diǎn) B 至ijAC 的距離.（3）在第（2）的條件下，求 4ACP的周長.【答案】（1）證明見解析（2） 4 （3） 20【解析】試題分析：（1）利用直徑所對的圓周角為直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判斷出 /ACP

9、=90 即可；（2）利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可.試題解析：（1） - ZABC=Z ACB, .AB=AC,.AC為。0的直徑，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2/ BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；點(diǎn)D在。O上，直線CP是。的切線；(2)如圖，作BF,AC,. AB=AC, /ANC=90；111，cn，cbW,團(tuán). /BCP=Z CAN, sin/BCP=5 ,0sin / CAN= -1 , CN $.AC=5, .AB=AC=5,設(shè) AF=x

10、,則 CF=5 x,在 RtABF 中，BF?=ab2-AF2=25-x2,在 RtCBF中，BF2=BC2C聲=2O (5x) 2,.-25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,. BF2=25 - 32=16,BF=4,即點(diǎn)B到AC的距離為4.考點(diǎn)：切線的判定5.在 RtACB和 4AEF中，/ ACB= / AEF= 90°,若點(diǎn) P 是 BF 的中點(diǎn)，連接 PC, PE. 特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB, AC上，則結(jié)論：PC= PE成立(不要求證明). 問題探究：把圖1中的4AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立

11、？若成立，請給予證明；若 不成立，請說明理由；(2)如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成 立，請說明理由；AC(3)記一C=k,當(dāng)k為何值時(shí)，4CPE總是等邊三角形？(請直接寫出后的值，不必說)BC【答案】1 PC PE成立2 , PC PE成立3當(dāng)k為Y3時(shí)，VCPE總是等邊三3角形【解析】【分析】(1)過點(diǎn) P 作 PMLCE 于點(diǎn) M,由 EF± AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,從而有EM FP 一一口 一- ，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得 EM=MC,MC PB(2)過點(diǎn)F作FD±AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P

12、作PMLAC于點(diǎn) DAF0 EAF,即可得出 AD=AE;再證 DA彥 EAP,據(jù)此得到M,連接即可得出PC=PEPD,先證PD=PE最后根據(jù)FD± AC, BOX AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根據(jù)點(diǎn) P 是 BF 的中點(diǎn)，推得 PC=PD再根據(jù)pd=pe即可得到結(jié)論.可得 /CEP=60, /CAB=60;由 / ACB=90 ,求出(3)因?yàn)镃PE總是等邊三角形,/ CBA=30 ；。最后根據(jù) 處 k , BCAC =tan30 求出當(dāng)CPE總是等邊三角形時(shí)，k的值是BC多少即可.【詳解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：如圖 2,過點(diǎn) P 作 PMLCE

13、于點(diǎn) M ,EF± AE, BC± AC, . . EF/ MP / CB,EM FP 一 口-。 一 八 ,.點(diǎn) P是 BF的中點(diǎn)，. . EM=MC,又. PMLCE, . PC=PEMC PBH2(2) PC=PE立，理由如下：如圖3,過點(diǎn)F作FD, AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD, / Z DAF=Z EAF,/ FDA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, / DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF (AAS , .AD=AE,在 4DAP和 4EAP 中， . AD=AE, /DAP=/ EAP, A

14、P=AP, .DAPAEAP (SAS ,.PD=PE . FD± AC, BC± AC, PMXAC,.FD/ BC/ PM,.Dl£ FPMC PB '點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)， .DM=MC,又 PMXAC,PC=PD,又. PD=PE是等邊三角形,Z CEP=60, Z CAB=60 ;Z ACB=90 , Z CBA=90 -ACZ ACB=90 - 60 =30 ,AC k , =tan30 , BC BCk=tan306'=，3魚時(shí)，4CPE總是等邊三角形.3，當(dāng)k為【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題;

15、判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.5 .全等三角形的6 .問題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線I的同側(cè)，要在直線I上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn) B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B'連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用:如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30, B為弧AD的中點(diǎn)，P為 直徑CD上一動點(diǎn)，則 BP+AP的最小值為 .（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分線交BC于點(diǎn)D, E、F分別是 線段AD和AB上的動點(diǎn)，求 BE+EF的最小值，并寫出解答過程.【答案】解：（

16、1） 272 .（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB' =AB連接BB'. AD平分/ BAC 點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱.過點(diǎn)B作B' MAB,垂足為F,交AD于E,連接BE.則線段B'的長即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短）.在 RtA AFB/中，Z BAC=4更 aB ="AB=" 10 ,- - - 1.BE+EF的最/、值為5近【解析】試題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出/C' AE再根據(jù)勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最/J、值：如圖

17、作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)巳此時(shí)PA+PB最小，且等于 A.作直 徑AC,連接C' F根據(jù)垂徑定理得弧 BD=M DE.IW / ACD=30 ,°/ AOD=60 ； / DOE=30 ：/ AOE=90 ,°/ C AE=45 °又AC為圓的直徑，.1. / AEC =90°./C=/C' AE=4 5，C' E=AE=AC'2T2.AP+BP的最/、值是 272(2)首先在斜邊 AC上截取AB' =AB連接BB',再過點(diǎn)B作B' 1AB,垂足為F,交AD于 E,連接BE,則線

18、段B'的長即為所求.7.已知：如圖，AB為。的直徑，AC與。相切于點(diǎn)A,連接BC交圓于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作 OO的切線交AC于E.(1)求證：AE= CE(2)如圖，在弧 BD上任取一點(diǎn) F連接AF,弦GF與AB交于H,與BC交于M,求證： /FA諭/ FBM= / EDC.(3)如圖，在(2)的條件下，當(dāng) GH= FH, HM = MF 時(shí)，tanZ ABC= 3 , DE=竺 時(shí)，N44為圓上一點(diǎn)，連接 FN交AB于L,滿足/ NFH+Z CAF= / AHG,求LN的長.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3) NL13【解析】【分析】(1)由直徑所對的圓周角是直角，得ZADC=

19、 90。，由切線長定理得 EA= ED,再由等角的余角相等，得到/C=/EDC進(jìn)而得證結(jié)論.(2)由同角的余角相等，得到 /BAD=/C,再通過等量代換，角的加減進(jìn)而得證結(jié)論.(3)先由條件得到 AB=26,設(shè)HM = FM = a, GH= HF=2a, BH= 4 a 再由相交弦定理3得到GH?HF= BH?AH,從而求出FH, BH, AH,再由角的關(guān)系得到 HFOHAF,從而求LN的長.出HL, AL, BL, FL,再由相交弦定理得到 LN?LF= AL?BL,進(jìn)而求出【詳解】解：(1)證明：如圖1中，連接AD., AB是直徑，/ ADB= / ADC= 90 °, EA、

20、ED是。的切線，EA= ED, / EAD= / EDA Z C+Z EAD= 90 °, / EDO/ EDA= 90 °,. . / C= / EDC,.ED=EC,.AE= EC.(2)證明：如圖2中，連接AD.AC是切線，AB是直徑，/ BAC= / ADB= 90 ；3 / BAD+Z CAD= 90 °, / CAD+Z C= 90 °,4 / BAD= /C,5 / EDC= / C,/ BAD= / EDC6 / DBF= / DAF,7 / FBM+Z FAB= / FBM+Z DAF= / BAD,8 / FA9/ FBM= / ED

21、C(3)解：如圖3中，.AC=39,，,一 3. tan / ABC=一43932 ,4 AB.AB=26,ACAB. GH=FH, HM = FN,設(shè) HM = FM= a, GH=HF= 2a,4BH=-3a,.GH?HF= BH?AH, .4a2= 4a (26 4 a)33 a= 6,.FH= 12, BH= 8, AH=18, .GH= HF,ABXGF,/ AHG= 90 ； / NFH+Z CAF= Z AHG, / NFH+Z CAF= 90 ; / NFH+Z HLF= 90 °,/ HLF= / CAF, . AC/ FG,/ CAF= /AFH,/ HLF= /

22、 AFH, / FHL= / AHF, .HFLAHAF,.fh2=hl?ha,-.122=HL?18,HL2 =4而,.HL=8, .AL=10, BL= 16, FL= FH2 .LN?LF= AL?BL,. .4、13 ?LN= 10?16,40,13LN=-.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及到的知識有：切線的性質(zhì)；切線長定理；圓周角定理；相交弦定理；相似三角形性質(zhì)與判定等，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵8 .如圖，AB是。的直徑，E是。上一點(diǎn)，C在AB的延長線上，ADLCE交CE的延長 線于點(diǎn)D,且AE平分/ DAC.（1）求證：CD是。的切線;(2)若 AB= 6, ZABE=

23、60。，求 AD 的長.9【答案】（1）詳見解析；（2）-2【解析】【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)得到 / OAE= / DAE,再利用半徑相等得 / AEO= / OAE,等量代 換即可推出OE/AD,即可解題，（2）根據(jù)30°的三角函數(shù)值分別在 RtAABE中，AE= AB cos30 ；在 RtA ADE 中，AD=cos30 1 AE可解題.【詳解】證明：如圖，連接 OE, . AE 平分 / DAC,/ OAE= / DAE. .OA=OE,/ AEO= / OAE./ AEO= / DAE. .OE/ AD. .DCXAC, .OEXDC. .CD是。O的切線.(2)解

24、：.AB是直徑，/ AEB= 90 ； / ABE= 60 :/ EAB= 30 ；在 RtABE 中,AE=AB cos30°=6X在 RtA ADE 中，/ DAE= / BAE= 30°, ，AD=cos30 X° AE=3 X3J3 = -.22【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應(yīng)用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)表示 出所求線段是解題關(guān)鍵.9 .超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，如圖，觀測點(diǎn)設(shè)在到萬豐路（直線AO）的距離為120米的點(diǎn)P處.這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從 A處行

25、駛到B處所用的時(shí)間為5秒且/AP* 60°, / BPO= 45 :（1）求A、B之間的路程；（2）請判斷此車是否超過了萬豐路每小時(shí)65千米的限制速度？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：V2 1.414,73 1.73） .B O【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：（1） AB 100（ J3 1戶 73.2 （米）.6分73 2（2）此車制速度v二y= 二18.3米/秒10 .拋物線 y=ax2bx+4 (aQ 過點(diǎn) A(1, - 1), B(5, - 1),與 y 軸交于點(diǎn) C.(1)求拋物線表達(dá)式；(2)如圖1,連接CB,以CB為邊作？CBPQ若點(diǎn)P在直線BC下

26、方的拋物線上，Q為坐標(biāo) 平面內(nèi)的一點(diǎn)，且 ？CBPQ的面積為30,求點(diǎn)P坐標(biāo)； 過此二點(diǎn)的直線交y軸于F,此直線上一動點(diǎn) G,當(dāng)GB+1gF最小時(shí)，求點(diǎn)G坐標(biāo).2(3)如圖2,。01過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn) M為上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn) A, E重 合)，/MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于 N,求線段BN長度的最大值£21I【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)P(2, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3萬【解析】【分析】(1)把點(diǎn)A (1, -1) , B (5, -1)代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，連接P

27、C,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線 BC于R,可求彳#直線BC的解析式1 為：y=-x+4,設(shè)點(diǎn) P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因?yàn)?？CBPQ的面積為 30,所以 Sapbc=一2X (-t+4-t2+6t-4) 書 15,解得t的值，即可得出點(diǎn) P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為(2,-4)時(shí)，求 一 3得直線QP的解析式為：y=-x-2,得F (0, -2) , / GOR=45,因?yàn)镚B+2GF=GB+GR所以當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，即可得出點(diǎn) G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn) P為(3,- 5)時(shí)，同理可求；(3)先用面積法求出 sin/ACB=2近3, tan/ACB=2,在R9ABE

28、中，求得圓的直徑，133因?yàn)?MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因?yàn)?tanNuMB：2,所以 BN=- MB,當(dāng) MB 為 BN 32直徑時(shí)，BN的長度最大.【詳解】 解：(1)二.拋物線 y=ax2+bx+4 (aw。過點(diǎn) A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1，解得, cb= 61拋物線表達(dá)式為y=x2- 6x+4.BC于 R,（2）如圖，連接PC,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線1= 5k m k= 1,解得4= mm= 4直線BC的解析式為：y=-x+4, 設(shè)點(diǎn) P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), ?CB

29、PQ的面積為30, Sapbc=- X (-t+4-t2+6t-4) 與 15, 2解得t=2或t=3 ,當(dāng) t=2 時(shí)，y=-4當(dāng) t=3 時(shí)，y=-5, ，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,-4）或（3, -5）；當(dāng)點(diǎn)P為（2, -4）時(shí)， 直線 BC解析式為：y=-x+4, QP/ BC, 設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n,將點(diǎn)P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直線QP的解析式為：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+2GF=GB+GR2(0, -2),y=-x-2,當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此時(shí)點(diǎn) G的坐標(biāo)為 同理，當(dāng)點(diǎn)P為（3, -5）時(shí)，直線QP的解析式為

30、: 同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0, -2）,）A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）, AC=726 , BC=572 ,1ABX5,2c 1. Saabc= ACX BCsM ACB=2sin / ACB=23 , tan / ACB=2 ,133AE 為直徑，AB=4,/ ABE=90 ；13 AEsin / AEB=sinZ ACB=2/13 =AE=2.13 ,. MBXNB, /NMB=/EAB, / N=/AEB=/ ACB,tanN=MBBN .BN=3MB,2當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長度最大，為3a.【點(diǎn)睛】題考查用到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形性質(zhì).解決（3）問的關(guān)鍵是找到 BN與BM之間的數(shù)量關(guān)系.11.如圖，某次中俄 海上聯(lián)合”反潛演習(xí)中，我軍艦 A測得潛艇C的俯角為30°.位于軍 艦A正上方1000米的反潛直升機(jī) B側(cè)得