2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量

1、平面向量復(fù)習(xí)二、本講主要內(nèi)容1、 向量的概念；2、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；3、向量運(yùn)算的運(yùn)用三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1-向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法一一有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì) 解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過(guò)程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀 解釋，有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積 的幾何意義一一共線；定比分點(diǎn)基本圖形一一起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。2、 向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩

2、 者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。 每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式： 圖 形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn)算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法3匚依OA + OB = OCOB - OA = AB記 oa =(xi,yi),ob =(x i ,y2)則oa + ob =(x i +x 2,yi +y 2)OB-OA=(X2-xi,y2-y 1)OA + AB = OB實(shí)數(shù)與向量的乘積A五BAB =入 a入6R記 a =(x,y)貝U 入 a =( N, N)兩個(gè)向量的數(shù)量積二a b =| a | b |COS記a=(xi,yi),b =(X2,y2)貝U a b =x iX

3、2+y iy23、 運(yùn)算律力口法：a+b=b+a, （a+b）+c=a+（b+c）實(shí)數(shù)與向量的乘積：入（a + b ）= Xa +入b ；（葉。a = Xa + pa ,入（pa尸（入）i a兩個(gè)向量的數(shù)量積：a b = b a；（入a）b=a （入b）=A（a b）, （a + b） c = a c+b c說(shuō)明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法一一，一，一一一c22則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如（a 士b）2=a 2a b b4、 重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果ei+ e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平 面內(nèi)任一

4、i向量a ,有且只有一*對(duì)數(shù)數(shù)入1 ,加，滿足a =入1 ei+ % e2,稱入1 ei入 +%e2為ei , e2 的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量a與有序數(shù)對(duì)(入 1,尬) 對(duì)應(yīng)，稱(入 1,切為a在基底 ei, e2下的坐標(biāo)，當(dāng)取ei, ez為單位正交基底 i , j 時(shí)定義(入1,苞為向量a的平面直 角坐標(biāo)。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x , y),則oa= (x,y);當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量 ab坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即 若 A (xi,yi), B(X2,y2),貝U ab =(x2-xi,y2-yi)(2)兩個(gè)向

5、量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：若a / b , a #0 ,則a = Xb坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè) a= (xi,yi), b=(X2,y2),則 a /b(xi,yi)= 乂X2,y2),即 x1 x2 ,或yi y2X1y2-X2y1=0在這里，實(shí)數(shù)入是唯一存在的，當(dāng)a與b同向時(shí)，入0 ；當(dāng)a與b異向時(shí)，入0。|可二回，入的大小由a及b的大小確定。因此，當(dāng)a, b確定時(shí)，入的符號(hào)與大小就確定了。 |b|這就是實(shí)數(shù)乘向量中入的幾何意義。(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：a X b a b =0坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè) a=(xi,yi), b=(x2,y2),則 a，b xix2+yiy2=0(4)線段定比分點(diǎn)公

6、式如圖，設(shè)PiP PP2則定比分點(diǎn)向量式： OP iOPi 1-OP2定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè) P (x,y), Pi (xi,yi), P2 (x2,y2)Xi X2Iyi y2 1特例：當(dāng)入=1時(shí)，就得到中點(diǎn)公式:OP l(OPiOP2), XiyiXi X22yi y22op=u oPi+v op2, u+v=i實(shí)際上，對(duì)于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量 OP, 0Pi, OP2 (O與PiP2不共線)，總有,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為iX X h(X , y )，則 y y k(5)平移公式: 點(diǎn)平移公式，如果點(diǎn)P (x, y)按2= (h, k)平移至P分別稱(

7、X, y),(X， y)為舊、新坐標(biāo)，a為平移法則在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中，已知兩組坐標(biāo)，一定可以求第三組坐標(biāo)圖形平移：設(shè)曲線C： y=f(x)按2= (h, k)平移，則平移后曲線C對(duì)應(yīng)的解析式為 y-k=f(X-h)當(dāng)h, k中有一個(gè)為零時(shí)，就是前面已經(jīng)研究過(guò)的左右及上下移利用平移變換可以化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)(6)正弦定理，余弦定理正弦定理：2R sin A sin B sin C余弦定理：a2=b 2+c2-2cbcosAb2=c 2+a 2-2cacosB c2=a 2+b 2-2abcosc222222222定理變形：cosA= b, cosB= a

8、, cosC= Ha正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過(guò)閱讀課本，理解用向 量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問(wèn)題的“程序性”特點(diǎn)。四、典型例題例1、如圖，OA , OB為單位向量，OA與OB夾角為1200,OC 與OA 的夾角為 450, |OC|=5 , 用OA , OB表示OC。D *7或解題思路分析： 0 A以O(shè)A, OB為鄰邊，OC為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形把向量OC在OA , OB方向上進(jìn)行分解，如圖，設(shè) OE =入OA , OD =

9、 B ,入0 ,吐0貝(jOC=入 OA+ pOB|OA | = | OB | = 1居| OE |,月 OD|/E=60 0-OCE=75,由黑-LOCI事得:sin 60 sin 45Ioei LOCL#sin 6005(3,2,6)6|OC|sin 450| CE |0sin 605.635(3.2.6)5.63.5(3.2.6)5.6 i.OC L OA OB63說(shuō)明：用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量,是向量中的基本而又重要的問(wèn)題，通常通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)處理例 2、已知BC 中，A (2, -1 ), B (3, 2), C (-3, -1 ), BC 邊上的高為 AD,求點(diǎn)D和向

10、量AD坐標(biāo)。解題思路分析:用解方程組思想設(shè) D (x,y),貝U ad = (x-2 , y+1 )bc = (-6 , -3),AD BC =0 -6(x-2)-3(y+1)=0,即 2x+y-3=0. bd =(x-3 , y-2),BC / BD -6(y-2)=-3(x-3),即 x-2y+1=0由得：. D (1 , 1), ad= (-1 , 2)例3、求與向量a = 3 , -1 )和b = ( 1 , 33 )夾角相等，且模為 行的向量c的坐標(biāo)解題思路分析:用解方程組思想法一：設(shè) c = (x,y),貝U a c= 3x-y , b c=x+ J3y=|a|c| |b|c|3x

11、 y x 3y即 x (23)y又| c |= 2x2+y 2=2x由得3 1,3 1(舍)y.3 1-2,3 1 2法二：從分析形的特征著手|a| = | b|二2a b =0 AAOB為等腰直角三角形，如圖. |oc|= V2, /AOC= /BOC. C為AB中點(diǎn)說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算。例 4、在4 AB 的邊 OA、OB 上分別取點(diǎn) M、N,使 |om | ： |oa|=1 ： 3 , |on | ： | ob |二14,設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P,記OA = a , OB = b，用a , b表示向量OP。解題思路分析： B、P、M共線記

12、 BP =S PM/. OP OB -s-OM -OB -s-OAb sa1 s 1 s 1 s 3(1 s) 1 s 3(1 s)同理，記AP tPN/. OP = -a t b 1 t 4(1 t)a,b不共線1 s9L s / rs -由得1 J 3(1 5解之得：21tt 8Vs 4(1 t)3.82 OP a b 1111說(shuō)明：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進(jìn)而引入?yún)?shù)(如 S, t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于S, t的方程。例5、已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=3 , BC=2 , E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)(1) 利用向量知識(shí)判定點(diǎn)

13、P在什么位置時(shí)，/ PED=45 0;(2) 若/PED=45 0,求證：P、D、C、E四點(diǎn)共圓。解題思路分析：利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系則 C (2, 0), D (2, 3), E (1 , 0)設(shè) P (0, y)ED = (1 , 3) , EP= (-1 , y)|ED | .10, | EP | ,y2 1ed EP =3y-1代入 cos45 0= ED EP| ED | EP|解之得y 2 (舍)，或y=2點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處(3)當(dāng)/PED=45。時(shí)，由(1)知 P (0, 2)PD = (2 , 1 ) , EP = (-1 , 2).EP

14、PD=0. /DPE=90 0又/DCE=90 0 D、P、E、C四點(diǎn)共圓說(shuō)明：利用向量處理幾何問(wèn)題一步要驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；得到結(jié)論。五、同步練習(xí)(一)選擇題1、 平面內(nèi)三點(diǎn) A (0, -3), B (3, 3), C (x, -1 ),若 ab /bc ,則 x 的值為：A、-5B、-1C、1D、52、平面上 A (-2 , 1), B (1 , 4), D (4, -3), C 點(diǎn)滿足 ac cb ,連 DC 并延長(zhǎng)至E,使|ce|二4|ed|,則點(diǎn)E坐標(biāo)為：A、(-8, 5)B、( 8,衛(wèi))C、(0, 1)D、(0,1)或

15、(2,33 3A、B、C、D、6、gBC 中，若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),則/C度數(shù)是：A、600B、450 或 1350C、1200D、3007、Z1OAB 中，OA=a, OB=b, OP=p，若 p = t(-a 上)，t 6 R,則點(diǎn) P 在|a| |b|A、/AOB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上8、正方形PQRS對(duì)角線交點(diǎn)為M,坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且op= (0,3), os =(4, 0),貝U RM 二A、( 7, -)B、(7,1)C、(7, 4)D、(-,-)222 22 2(二)填空題9、已知 e1，e21是

16、平面上一個(gè)基底，若a = ei+入e 2, b =-2入e1 - e2,若a , b共線，貝！J入=10、已知| a|= 6m，|b | = 1 , a b=-9 ,則a與b的夾角是11、設(shè)e% e2是兩個(gè)單位向量，它們夾角為 60,貝!J(2 e1 - e2)(-3 e1 +2 e2)=12、把函數(shù)y=cosx圖象沿b (2k- , 1) (k Z)平移，得到函數(shù) 的圖象。(三)解答題13、設(shè) OA = (3 , 1 ) , OB = (-1 , 2) , OC OB , BC /OA ,試求滿足 OD + OA = OC 的 OD的坐標(biāo)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)14、若 a+b= (2,-8), a- b= (-8, 16),求 a、b 及 a 與 b 夾角 0 的余弦值15、已知|a|二四，|b|=3 , a和b夾角為450,求當(dāng)向量a+入b與入a + b夾角為銳角時(shí), 入的取值范圍。參考答案（一）1、（二）9、（三）131415C 2、B3、 D 4、 B5、D 6、B 7、A 8、T10、611、12、y=sinx+1(11, 6)a= (-3 , 4) , b= (5, -12 ),6365入匚竺，或入上上且入力 662、 點(diǎn)(2, -1)沿向量a平移到(-2,1),