全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國(guó)一等獎(jiǎng)?wù)撐馁Y料設(shè)計(jì)

1、2012高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則 .我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)

2、置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名廣日期：年月日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2012高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）甲型H1N1流感的預(yù)測(cè)、控制和影響模型摘要甲型H1N1流感是全國(guó)乃至全球人們最受關(guān)注的傳染病，它的傳播速度快，對(duì)人們 的身體健康危害極大。本文根據(jù)香港甲流疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)其傳播的預(yù)測(cè)與控制進(jìn)

3、 行研究并建出模型，并提出模型建立的關(guān)鍵和困難以及對(duì)衛(wèi)生部門(mén)所采取的預(yù)防措施作 出評(píng)定估計(jì)。針對(duì)問(wèn)題一，為了了解甲流的傳播情況，先作出已確診的病例散點(diǎn)圖。根據(jù)散點(diǎn)圖的情況，分別建立了馬爾薩斯模型：xt1107.8e0.0175t ,阻滯增長(zhǎng)模型:1,SIS模型:1- 1 e ti0di dti i (1 -) , SIR 模型:ds dtdidtSiNi案P s（?。ゞ-sSi ,以及SIR模型的改進(jìn)模型：工 qidtdti 0ioS 0S0di dt d dt(g ) qiP s()g從SIR模型的改進(jìn)模型中，可以得出控制傳染源、切斷傳播途徑、保護(hù)易感人群、隔離 等措施進(jìn)行預(yù)防和控制H1N1

4、甲流的傳播。針對(duì)問(wèn)題二，考慮H1N1對(duì)旅游經(jīng)濟(jì)的影響，對(duì)近幾年香港接待海外游客的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出2009年后三個(gè)月的游客數(shù)目y1 25.5199,y2 26.7907 , y3 18.1984 ,進(jìn)dx 1而建立灰色預(yù)測(cè)模型：dtx k 1-1-0.0124X250.7669,并對(duì)其模型(x(0)(1) b)ea b 20468e 0.0124 20468 a a進(jìn)行了殘差檢驗(yàn)和關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn),從而較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)出2010的旅客人數(shù)為274.9568萬(wàn)【關(guān)鍵詞】H1N1流感馬爾薩斯模型Logistic 模型SIR模型灰色預(yù)測(cè)法、問(wèn)題重述2009年3月底至4月中旬，由墨西哥、美國(guó)等地相繼發(fā)生甲型H

5、1N1流感（A/H1N1influenza）疫情逐步迅速地蔓延到世界各地。甲型 H1N1流感（簡(jiǎn)稱(chēng)甲流）是一種新型 甲型流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。去年爆發(fā)期間全球數(shù)千萬(wàn)人染病，死亡人數(shù)超 過(guò)16000人。截至去年12月21日，我國(guó)內(nèi)地確診110590例，死亡442人。由于甲流 的傳播速度快，對(duì)人們的身體健康危害大，因此得到世界衛(wèi)生組織的重視和人們廣泛的 關(guān)注。附件1是香港流感疫情的模擬數(shù)據(jù)；附件 2是香港接待海外旅游人數(shù)的模擬數(shù)據(jù)。 收集和閱讀有關(guān)甲流的相關(guān)數(shù)據(jù)及文章，建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：對(duì)甲流的傳播數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，特別地說(shuō)明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠 預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和

6、控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？同時(shí)， 對(duì)于衛(wèi)生部門(mén)所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)（附件 1提供的數(shù)據(jù)可供參考）。問(wèn)題二：收集甲流對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)（附 件2提供的數(shù)據(jù)可供參考）。、問(wèn)題分析根據(jù)附件1香港疫情數(shù)據(jù)分析，我們初步觀察到在對(duì) 65天甲流傳播情況包含了對(duì) 已確診病例、疑似病例、死亡人數(shù)累計(jì)量以及治愈出院人數(shù)累計(jì)量。依據(jù)這些數(shù)據(jù)，首 先我們對(duì)香港疫情中的已確診病例情況做出定量分析，運(yùn)用Mtlab7.1編程得出了甲流傳播速度情況的散點(diǎn)圖。針對(duì)傳染病的傳播過(guò)程，首先，我們用x

7、t表示時(shí)刻t的病人人數(shù)，用 表示每天每個(gè)病人有效接觸的人數(shù)，考慮t至ht時(shí)刻病人人數(shù)的增加，建dx_,立微分萬(wàn)程 x , x 0 x0 ,通過(guò)馬爾薩斯模型求解得：xt xgeto接著在病人的有效接觸人群中只有病人方可被傳染為病人，因此要區(qū)分健康人和病 人。那么我們?cè)俅螌?duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，用常數(shù) 表示日接觸率；st表示健康者；it表示病人；用Ni t表示病人數(shù)。那么由此可知每天共有Nst i t個(gè)健康者被感染。建dt立模型Nd1 Nsi, st i t 1 ,通過(guò)阻滯增長(zhǎng)模型求解得：it 1/ 1 - 1 e t接著我們考慮當(dāng)治愈后的健康者還可被感染變成病人的情況，我們用 表示日治愈率，1表示平

8、均傳染期，建立模型N di-Nsi Ni。dt對(duì)于問(wèn)題二，首先我們利用 2003年至2008年后7至9月份各個(gè)月份的平均值與 2009年做差值，利用其差值進(jìn)行擬合，利用 Mtlab7.1求得2003年至2008年與2009 年后三個(gè)月的差值為2.4468,-2.2407 , 0.6516,從而得到2009年后三個(gè)月香港海外旅 游人數(shù)。接著同樣運(yùn)用 Mtlab7.1編程對(duì)2003年到2009年香港海外旅游總?cè)藬?shù)進(jìn)行了 處理并假設(shè) X 0 k 229.2,217.3,250,292.7,297,326.1,196.69 ,再對(duì)其作一次性累加生成運(yùn)算得到新的生成數(shù)列 X 1 k 229.2 ,446

9、.5,696.5,989.2 ,1286.2,1612.3 ,1809，緊接著對(duì)X 1 k作緊鄰均值生成得出數(shù)據(jù)陣B和數(shù)據(jù)向量Yn,再對(duì)參數(shù)列a,bT進(jìn)行最小二乘估計(jì)最后建立出了灰色模型 (GM(1,1)模型)。我們又經(jīng)過(guò)對(duì)GM(1,1)模型的殘差 檢驗(yàn)和關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，最終得出了預(yù)測(cè)結(jié)果。三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)含 義單位備注日接觸率人常量日治愈率人常量N疾病傳播內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)人常量整個(gè)傳染病期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)人常量M易感人群總數(shù)人g隔離人數(shù)比例常量w未隔離人數(shù)比例常量P接觸后沒(méi)后及時(shí)隔離治療的人數(shù)人Z新增病人數(shù)人病人仍患病的概率四、模型假設(shè)1、假設(shè)已確診人數(shù)作為主要的預(yù)測(cè)模型的指標(biāo)，

10、對(duì)于甲流感病情的預(yù)測(cè)沒(méi)有影響。2、假設(shè)所有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)真實(shí)，沒(méi)有遺漏現(xiàn)象。3、假設(shè)與患者有效接觸的易感染者（即未患過(guò)該病的健康者）均會(huì)被傳染。4、假設(shè)所考查人群的總數(shù)恒定，沒(méi)有其他病源的輸入和輸出，不考慮總?cè)丝诘某錾?和自然死亡率。五、模型的建立與求解5.1 對(duì)問(wèn)題一建立模型與求解5.1.1 已確診病例散點(diǎn)圖根據(jù)問(wèn)題一，由附件1 （香港疫情數(shù)據(jù)）中的已確診病例數(shù)據(jù)，用Mtlab7.1作出如 下散點(diǎn)圖（程序參見(jiàn)附件3）:圖1散點(diǎn)圖從圖1可看出，前25天（即5月20日至6月15日）,甲流的傳播速度增長(zhǎng)幅度較 大，而后四十天，甲流的傳播速度持續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度趨于平緩。5.1.2 馬爾薩斯模型（Ma

11、lthusian 模型）甲流傳播預(yù)測(cè) 模型類(lèi) 似于人口增長(zhǎng) 的預(yù)測(cè) 模型，故首先 采用馬 爾薩斯模型（Malthusian模型）進(jìn)行建模。設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)xt是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效接觸（足以使人致病的接觸）的人數(shù)為常數(shù)，考察t到t+ t病人人數(shù)的增加，則有再設(shè)t 0時(shí)有x0個(gè)病人，即得微分方程dx x dt x 0 X0解之可得：x t x0e t其中，xo，為常數(shù)。根據(jù)香港疫情數(shù)據(jù)中的已確診的病例數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖（圖1）,考慮利用馬爾薩斯模型xtx0e t來(lái)預(yù)測(cè)甲流的傳播情況。用 matlab7.1求得x0 1107.80.0175。即得馬爾薩斯模型如下（程序參見(jiàn)附件 4）: 0

12、.0175tx t 1107.8e模型 ifile Edit Ifi av ItJE4rl Tods Qasktoi口齒。昌玲，鼻踮 Me 丹口圖2馬爾薩斯擬合及預(yù)測(cè)圖形結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)xt無(wú)限增長(zhǎng)。即馬爾薩斯擬合及預(yù)測(cè)圖線與香港疫情中的已確診病例數(shù)據(jù)圖線擬合程度較差，且對(duì)未來(lái)預(yù)測(cè)情況跟實(shí)際顯然是不太相符合的，因此暫不考慮用該模型進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。對(duì)模型I的結(jié)果分析：馬爾薩斯模型是關(guān)于人口或種群增長(zhǎng)的模型，它發(fā)現(xiàn)人口或 種群成指數(shù)增長(zhǎng)。即在模型I中可引意為，患病人數(shù)隨著時(shí)間得增長(zhǎng)呈指數(shù)增長(zhǎng)變化。 但現(xiàn)實(shí)生活中，由于病人在有效接觸的人群中，包含健康人和病人，而其中只有健康人 才可以被

13、傳染為病人，因此在改進(jìn)的模型中必須避免將健康人和病人混為一體這種情 況，即要區(qū)別病人和健康人進(jìn)行建模。5.1.3 阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic 模型）在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群 分為易感染者和已感染者兩類(lèi)，以下簡(jiǎn)稱(chēng)健康者和病人。時(shí)刻t這兩類(lèi)人在總?cè)藬?shù)中占得比例分別記作st和i t。假設(shè)病人每天的有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，成為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?。根?jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使st個(gè)健康者變?yōu)椴∪?，因?yàn)椴∪藬?shù)為 Ni t ,所以每天共有Nst i t個(gè)健康者被感染，于是 Nsi就是病人數(shù)Ni的增加率，即有N di

14、 Nsi dt 又因?yàn)閟 t i t 1再記初始時(shí)刻t 0病人的比例為i0 ,則di dti 0i 1 iio用Mtlab7.1作出i tt和包i的圖形如下 dt圖3 Logistic 模型i t t曲線（程序參見(jiàn)附件5）:模型II結(jié)果分析：由圖4可知，當(dāng)i0.5時(shí)更達(dá)到最大值 dt生,這個(gè)時(shí)刻為出m解之得:11- 1 eio圖4 Logistic 模型電i曲線dt,11dtm ln 1io此時(shí)病人數(shù)增加得最快，預(yù)示著傳染病的高潮的到來(lái)。tm與 成反比，由于日接觸率 反應(yīng)了該地區(qū)的衛(wèi)生水平，越小衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以延緩傳染病高潮的到來(lái)。而當(dāng)t時(shí)i 1,即所有人終究將

15、被傳染，全變?yōu)椴∪?，這顯然與實(shí)際情況不符相。其中的原因是模型中沒(méi)有考慮到病人是可以治愈的，人 群中的健康者只能變成病人，而病人不會(huì)再變成健康者。下面模型中將討論病人可以治 愈的情況。5.1.4 SIS 模型由于病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，那么由此得到需增加的條件為：每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)，稱(chēng)為日治愈率。病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然-是這種傳染病的平均傳染期。N 電 Nsi Ni dts i(t) 1記初始時(shí)刻t 0病人的比例為八，則dt i(1 i)ii(0) i0設(shè) 一，則 可表示整個(gè)傳染病期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)。利

16、用，可得如下模型：史 i i (1 -)模型田dt根據(jù)模型田，利用Mtlab7.1作出一 i的圖形，如下(程序參見(jiàn)附件6)： dt圖5 SIS模型的曳一曲圖6 SIS模型的it曲dt1是一個(gè)閾值。由圖5可知道，隨著病人模型田結(jié)果分析：不難看出，接觸數(shù)所占的人數(shù)越多，那么在時(shí)間t內(nèi)病人的增長(zhǎng)率就越大。當(dāng) 1時(shí)it的增減性取決于io1的大小（見(jiàn)圖6）,單具極限值i 1 ,隨著 的增加而增加；當(dāng)1時(shí)病人比例it越來(lái)越小，最終趨于0,這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有接觸從而使健康者變成的病人數(shù)不超過(guò) 原來(lái)病人數(shù)的緣故。5.1.5 SIR 模型由于病人在治愈后有一定的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非

17、病人（已感染者），他們己經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。人群分為健康者、病人、病愈與免疫的移出者三類(lèi)，即SIR模型。這三類(lèi)人在總?cè)藬?shù) N中占得比例分別記作s（t）,i和r（t）。s（t） i（t） r（t） 1NdNidt記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是So So 0和io io 0 （設(shè)移出者的初始值di dt dsdt i o soro 。），則可得SIR模型:SiNi模型IVSiioSo由于模型IV無(wú)法直接求出S和i（t）的值，故先作數(shù)值運(yùn)算。設(shè) 2,o.5,i（o） o.o2,S（o） o.96,用Mtlab7.1求解可得如下i（o）,S（t）圖形和s i圖形（程序參見(jiàn)附件7）:圖 7 i(o),

18、s(t)圖形圖8 si圖形（相軌圖）模型IV結(jié)果分析：is平面稱(chēng)為相平面，相軌線在相平面上的定義域?yàn)閟,is 0,i Qs消去dt可得:dids1,s S0i0利用積分特性可解得：isoio1 s 1.-ln,在定義域D內(nèi)，該式表小的曲線即為相so軌線，如圖9所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s和i(t)的變化趨向.圖9 SIR模型的相軌線根據(jù)圖9,可分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況如下:1 .不論初始條件s0,i。如何，病人消失將消失，即：i 02 .最終未被感染的健康者的比例是s .3 .若s0 1/ ，則i(t)先增加，后減小.4 .若s0 1/ ，則i(t)單調(diào)減小至0.5

19、.1.6 模型IV (SIR模型)的改進(jìn)模型由于在H1N1流行的過(guò)程中，各個(gè)地方(包括香港)都采取了一定的措施，一般是 采取了隔離的制度，所以在模型模型IV ( SIR模型)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)?？紤]到隔離人 數(shù)比例g和未隔離人人數(shù)比例w ,以及接觸后沒(méi)有及時(shí)隔離治療的人數(shù) p,從而建立如 下改進(jìn)模型:dsdtdg gtdrdtqi模型Vdidt (g ) qid dtP s(由于該模型的分析過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，所以該模型在這里將不多做討論。但從該模型中, 可以看出為預(yù)防和控制提供可靠的信息，比如：控制傳染源、切斷傳播途徑、保護(hù)易感 人群、隔離等。5.1.7 建立模型的關(guān)鍵和困難建立模型的關(guān)鍵在于對(duì)模型

20、進(jìn)行動(dòng)態(tài)的分析，當(dāng)傳染病發(fā)展到一定階段時(shí)，在醫(yī)療 水平提高、人員流動(dòng)、出生率和死亡率以及以及采取防御傳播措施等方面的影響促使傳 染率下降。此時(shí)仍用之前模型的誤差會(huì)很大。在建立模型過(guò)程中有以下幾個(gè)方面的困難： 對(duì)不同地區(qū)H1NI的衛(wèi)生知識(shí)的宣傳程度，K值取值不同；對(duì)某一地區(qū)的不同地方的 強(qiáng)化管理也不一樣，K值也就不一樣；防護(hù)措施不同、衛(wèi)生條件不一等，都會(huì)影響到 K的取值。另外，本文模型大多假設(shè)種群總數(shù)為常數(shù)，且考慮的影響因素較少，但在實(shí) 際問(wèn)題中，由于疾病的復(fù)雜性往往涉及變動(dòng)人口、年齡結(jié)構(gòu)、隔離等多種因素的影響， 致使模型的建立錯(cuò)綜復(fù)雜。5.1.8 對(duì)衛(wèi)生部門(mén)采取的措施評(píng)價(jià)經(jīng)上網(wǎng)查詢(xún)得知醫(yī)學(xué)研究

21、表明，從正式發(fā)病到治愈一般需一至兩周，假定平均治愈 時(shí)間為10天。假設(shè)新患者出現(xiàn)的數(shù)量與現(xiàn)有患者的數(shù)量成正比，也與現(xiàn)有易感者的數(shù) 量成正比，即發(fā)病率是患者人數(shù)和易感者人數(shù)的雙線性函數(shù)。則有：M (t 1) M(t) Z(t 1) tZ(t 1) M(t) Z(t ) ( ) t 0對(duì)其進(jìn)行整理可得:M (tM(t)1)t(1 Z(t ) ( )模型VI其中，M為t時(shí)刻易感人群總數(shù)，Z（t）為t時(shí)刻新增病人數(shù)，（）為病人從患病起經(jīng)過(guò) 時(shí)間仍為病人的概率（圖中用p表示）。假設(shè)病人開(kāi)始,患病記為第1天，最遲到第10天病愈。那么病人從患病起經(jīng)過(guò)時(shí)間仍為病人呈逐步遞減的概率參數(shù)，如下圖：圖10 概率一時(shí)

22、間圖由圖10可看出，如果病人發(fā)病后5天才開(kāi)始隔離的話，病人仍患病的概率相當(dāng)大(圖10陰影區(qū)域D),即病人在社會(huì)上與易感人群的接觸率也相對(duì)較大。由模型V可得：M(t 1)(1' Z(t ) ( ) 1M即M(t 1) M(t),說(shuō)明易感人群總數(shù)將會(huì)以較大的數(shù)值遞減，給疫情的控制帶來(lái)更大的困難。所以，如果在病人發(fā)病前提前 5天隔離的話，新增病人數(shù)將變得很小。5.2 問(wèn)題二的模型的建立與求解問(wèn)題二要我們收集甲流對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行 預(yù)測(cè)，針對(duì)該問(wèn)題二，我們充分利用附件二，建立甲流對(duì)旅游帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)影響，而旅游 經(jīng)濟(jì)與游客數(shù)目成正比例關(guān)系，故建立預(yù)測(cè)游客數(shù)目模型來(lái)預(yù)

23、測(cè)旅游經(jīng)濟(jì)。5.2.1 香港接待海外旅游人數(shù)折線圖根據(jù)附件2,利用Excel2003作出2003年至2009年各個(gè)月份香港接待海外旅游人 數(shù)的折線圖，如下：碧港揍得海外旅游人數(shù)(屋位萬(wàn)人) 國(guó)關(guān)區(qū)I圖11香港接待海外旅游人數(shù)折線圖從圖11可看出，2003至2008年各整年的海外游客人數(shù)的增長(zhǎng)率相對(duì)穩(wěn)定，2009年前三月份海外游客人數(shù)穩(wěn)定，從四月份至六月份是因受到H1N1影響而急促下降，從七月份至九月份海外游客又逐步的上升，十月份至十二月份就是要預(yù)測(cè)的。5.2.2 2009 年后三個(gè)月預(yù)測(cè)為了預(yù)測(cè)2009年后3個(gè)月的海外旅游人數(shù)，根據(jù)圖11折線變化，利用2003年至 2008年后7至9月份各個(gè)月

24、份的平均值與 2009做差值，利用其差值進(jìn)行擬合，利用 Mtlab7.1求得2003年至2008年與2009年后三個(gè)月的差值為 2.4468 ,-2.2407 ,0.6516.i7891011126(ai)/6i 122.466727.466727.150027.966724.550018.8500Y (2009年)2.618.816.2y1y2y36(ai)/6 Yi 119.856718.666710.950027.9667-y124.5500-y218.8500-y3即 27.9667-y1 2.4468, 24.5500-y2 2.2407, 18.8500- y3 0.6516.所以

25、 2009 年后三個(gè)月香港接待海外旅游人數(shù)分別為：y1 25.5199 ,y2 26.7907 , y3 18.1984 (單位：萬(wàn)人).5.2.3 灰色預(yù)測(cè)模型為了預(yù)測(cè)2010年香港接待海外旅游總?cè)藬?shù)，先分別計(jì)算出 2003至2009年每年的 總?cè)藬?shù)，得出如下表(單位：萬(wàn)人)：年份2003200420052006200720082009旅客人數(shù)229.2217.3250292.7297326.1196.69假設(shè)設(shè) X0 k 229.2,217.3,250,292. 7,297,326.1,196.695.2.3.1 GM(1,1) 模型的建立為了使其成為有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，對(duì)其作一次累加生

26、成運(yùn)算，即令tX(1)(t) X(0)(k) (t,k 1,2 7) n 1從而得到新 的生成數(shù)列 X1 k 229.2 ,446.5,696.5,989.2,1286.2 ,1612.3 ,1809 .對(duì)X1 k做緊鄰均值生成.則數(shù)據(jù)陣B和數(shù)據(jù)向量Yn為121 x21 x31-337.8510 x02217.3113141-571.501x3250xx-842.8510292.72Ynx04114151-1137.71x5297xx2-1449.31x06326.111 x51 x61-1710.71x07196.691212211 x1 x1 x1對(duì)參數(shù)列a, bT進(jìn)行最小乘估計(jì)，可得BT

27、B1BT0.00050.0003 0.0001-0.0001 -0.0003 -0.00050.65930.4876 0.28820.0716 -0.1574 -0.3494T 1 tBTBBTYn-0.0124250.7669(其中，a為發(fā)展系數(shù)，反映X的發(fā)展趨勢(shì);b為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系.)從而可得出GM(1,1)模型：dx 1一 0.0124x1250.7669出模型即(0)0 、b、a b0.0124xk 1 (x )e 20468e20468a a其中，x k 1 (x(0)(1) b)ea b 20468e 0.0124 20468 為時(shí)間響應(yīng)函數(shù)形式。 a a5.2.

28、3.2 GM(1,1)模型的殘差檢驗(yàn)殘差大小檢驗(yàn)，即對(duì)模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn).1(1)根據(jù)預(yù)測(cè)公式，計(jì)算X k ,得1X k 229.2,446.5,696.5,989.2,1286.2,1612.3,1809 k 0,1, 6 0(2)累減生成X k序列，k 1,2 7 0X k 229.2 ,255.1972 ,258.389,261.6207,264.8928,268.2059,271.5603原始序列：X 0 k 229.2,217.3,250,292.7,297,326.1,196.69(3)計(jì)算絕對(duì)殘差和相對(duì)殘差序列絕對(duì)殘差序列：0,0.1744 ,0.0336,0.10

29、62,0.1081,0.1775,0.3807相對(duì)殘差：0,0.080258%,0.013440%,0.036283%,0.036397%,0.054431%,0.19%GM(1,1)模型的殘差檢驗(yàn)結(jié)果：相對(duì)殘差不超過(guò)0.19%,精確度高。5.2.3.3GM(1,1)模型關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)關(guān)聯(lián)度是用來(lái)定量描述各變化過(guò)程之間的差別.關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，說(shuō)明預(yù)測(cè)值和實(shí)際 值越接近.0(1)計(jì)算序列X0與X 的絕對(duì)殘差序列 0 k00,0.1744 ,0.0336,0. 1062,0.108 1,0.1775,0 .3807min 0 k min 0,0.1744 ,0.0336,0.1062,0.1081,0.

30、1775,0.38070max 0 k max 0,0.1744 ,0.0336,0.1062,0.1081,0.1775,0.38070.3807(2)計(jì)算關(guān)聯(lián)度(k)min 0 (k) P max 0 (k)0 (k) P max 0 (k)(k 1,.,7,P 0.5)1 nrii(k) 0.9547n k 1精度檢驗(yàn)等級(jí)如下表:好（1級(jí)）0.90合格（2級(jí)）0.80勉強(qiáng)（3級(jí)）0.70不合格（4級(jí)）0.70年份20032004200520062007200820092010實(shí)際旅客229.2217.3250292.7297326.1196.69預(yù)測(cè)旅客229.2255.197258.3

31、89261.621264.893268.206271.560274.957GM（1,1）模型關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)2果：關(guān)聯(lián)度為0.9547 0.90,精確度高。5.2.3.4GM（1,1）模型求解利用Mtlab7.1進(jìn)行預(yù)測(cè)（程序參見(jiàn)附件8）,得到實(shí)際值與預(yù)測(cè)值如下表（單位：萬(wàn)人）：即2010年香港接待海外旅游總?cè)藬?shù)為274.957萬(wàn)人六、模型評(píng)價(jià)與推廣模型評(píng)價(jià)：在建模前期，全面分析影響甲流疫情的各種因素，找出各因素之間的關(guān)系以及作用 的時(shí)間段和范圍，收集比較完整而準(zhǔn)確的前期數(shù)據(jù)。在模型建立中我們采用了各種軟件 （如Mtlab, Excel等）進(jìn)行求解，制圖精確，計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。但在預(yù)測(cè)模型中，時(shí) 間

32、序列數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔不是穩(wěn)定的，這對(duì)模型的求解結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定的影響。本文 所建立的控制模型忽略了人口流動(dòng)、變化給該地區(qū)甲型H1N1流感帶來(lái)的影響，從而模型預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)與實(shí)際情況有一定差距。模型推廣：通過(guò)模型的分析可知，如果全社會(huì)的努力和投入的程度繼續(xù)增加，即隔離措施的提 早進(jìn)行、隔離率增大、防疫藥品的早日研發(fā)、公眾的防御意識(shí)提高，可使得疫情周期縮 短、患者人數(shù)逐步減少。實(shí)時(shí)監(jiān)控甲流疫情走勢(shì)，采集更多的數(shù)據(jù)以驗(yàn)證模型和改進(jìn)模 型，若有預(yù)料之外的干擾因素出現(xiàn)，應(yīng)及時(shí)修正模型，重新預(yù)測(cè)其后期走勢(shì)。七、參考文獻(xiàn)1姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學(xué)模型M,北京：高等教育出版社，2003 （第三版）.2劉國(guó)衛(wèi)MATL

33、AE®序設(shè)計(jì)與應(yīng)用M,北京：高等教育出版社,2011.3 SARSt播的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用， 151K2008-4-14.4馬知恩周義倉(cāng)王穩(wěn)地等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究M.北京，科學(xué)出版 社，2004.2.八、附錄附件1:香港疫情的數(shù)據(jù)日期已確診病例累計(jì)現(xiàn)有疑似病例死計(jì)治愈出院累計(jì)5月20日33940218335月21日48261025435月22日58866628465月23日69378235555月24日77486339645月25日87795442735月26日988109348765月27日1114125556785月28日1199127559785月29日13471358

34、66835月30日1440140875905月31日15531415821006月01日16361468911096月02日17411493961156月03日180315371001186月04日189715101031216月05日196015231071346月06日204915141101416月07日213614861121526月08日217714251141686月09日222713971161756月10日226514111201866月11日230413781292086月12日234713381342446月13日237013081392526月14日23881317140

35、2576月15日240512651412736月16日242012501453076月17日243412501473326月18日243712491503496月19日244412251543956月20日244412211564476月21日245612051585286月22日246511791605826月23日249011341636676月24日249911051677046月25日250410691687476月26日251210051728286月27日25149411758666月28日25178031769286月29日252076017710066月30日252174718

36、110877月01日252273918111247月02日252273418111577月03日252272418111897月04日252271818112637月05日252271618113217月06日252271318314037月07日252366818314467月08日252255018415437月09日252245118416537月10日252235118617477月11日252325718618217月12日252315518718767月13日25227118719447月14日2522418919947月15日2522318920157月16日2521319020

37、537月17日2521519021207月18日2521419121547月19日2521319121717月20日2521319121897月21日2521219122317月22日2521219122577月23日252121912277附件2:香港接待海外旅游人數(shù)（單位：萬(wàn)人）年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月20039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4200418.620059.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1200615.9

38、200710.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6200816.5200911.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.818.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.220.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.222.915.4 17.1 23.5 29.2 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2注：以上數(shù)據(jù)為模擬數(shù)據(jù)。部

39、分參考文獻(xiàn)：100432420 515523.html附件3:x1=1:65;y1=339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1553 1636 1741 1803 1897 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 2388 2405 2420 2434 2437 2444 2444 2456 2465 2490 2499 2504 2512 2514 2517 2520 2521 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2523 2522 2522 2522 2523

40、2523 2522 2522 2522 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521;plot(x1,y1, '-*')附件4:x1=1:65;y1=339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1553 1636 1741 1803 1897 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 2388 2405 2420 2434 2437 2444 2444 2456 2465 2490 2499 2504 2512 2514 2517 2520 25

41、21 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2523 2522 2522 2522 2523 2523 2522 2522 2522 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521;log_y1=log(y1);p=polyfit(x1,log_y1,1)x= exp(7.0101)x1=1:65;y1=339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1553 1636 1741 1803 1897 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 23

42、88 2405 2420 2434 2437 2444 2444 2456 2465 2490 2499 2504 2512 2514 2517 2520 2521 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2523 2522 2522 2522 2523 2523 2522 2522 2522 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521;y2=1107.8*exp(0.0175*x1);plot(x1,y1, ':o' ,x1,y2, '-*');附件5:t=0:0.01:13;i=1./(1+(1./0.

43、1-1).*exp(-1.*t);plot(t,i)title ('SI模型的it曲線');xlabel( 't');ylabel( 'i');axis(0 13 0 1.1);x=0:0.01:1;y=x-x.*x;plot(x,y)title ('SI模型的di/dti曲線');xlabel( 'i');ylabel( 'di/dt');axis(0 1 0 0.3);附件6:x=0:0.01:1;y=0.7.*x-x.A2;piot(x,y);title ('SIS 模型的 di/dti 曲線')；xlabel( 'i'); ylabel( 'di/dt');function y=aini(t,x)a=2;b=0.5;y=a*x(1)*x(2