2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題5-1平面向量的概念及其線性運(yùn)算

1、專題5. 1平面向量的概念及其線性運(yùn)算【考情分析】L 了解向量的實(shí)際背景；2 .理解平而向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；3 .理解向量的幾何表示；4 .掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；5 .掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；6 .了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.【重點(diǎn)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量：向量的大 小叫做向量的長(zhǎng)度（或稱模）平而向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0,其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為端平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫 做共線向量）0與任一向量平行或

2、共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大 小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和 的運(yùn)算21/h a三角形法則a平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b + a：(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+ c)減法求a與b的相反 向量一b的和的 運(yùn)算叫做a與b 的差a三角形法則a-b=a+(-b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)2與向量 a的積的運(yùn)算|同=囚同，當(dāng)2>0時(shí)，瓶的方 向與a的方向相同；當(dāng)iVO時(shí)， 2a的方向與a的方向相反：當(dāng)7 =0 時(shí)，Aa=Oz(/za)=(ZjM)a ； (2+

3、)a =za+a； 2(a+b)=za4-zb知識(shí)點(diǎn)三共線向量定理向量a(aM)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人 使得b=/a,向量概念的4點(diǎn)注意(1)注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=。(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的模相等，但方向不一定相同.(3)零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時(shí)要注意 它們的特殊性.比如：命題“若ab, bc,則2/是假命題，因?yàn)楫?dāng)b為零向量時(shí)，a, c可為任意向量，兩者不一 定平行.(4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上.【特別提醒】向量線性運(yùn)算的3點(diǎn)提醒(1)兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.(2)利

4、用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn).(3)當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用.【拓展提升】共線向量定理的深解讀定理中限定了 aM，這是因?yàn)槿绻鸻 = 0,則2a=0,(1)當(dāng)bM時(shí)，定理中的九不存在：(2)當(dāng)b=0時(shí)，定理中的尤不唯一.因此限定aM的目的是保證實(shí)數(shù)2的存在性和唯一性.知識(shí)點(diǎn)四必備結(jié)論1 . 一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量， 即工X+疝;+工S+特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.2 .在A43C中，.10, BE, CF分別為三角形三邊上的中線

5、，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為5c 的重心，則有如下結(jié)論：(1) GA + GB + GC =0：(2) (方+/)；(3) GD =（GB +GC）=（AB + JC ）.3 .若畝=351+"碇（2, 4為常數(shù)），貝IJM, B, C三點(diǎn)共線的充要條件是2+=L4 .對(duì)于任意兩個(gè)向量 a, b,都有：®|a|-|b|<|aib|<|a|+|b|； ®|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）.當(dāng) a, b 不共線時(shí)：的幾何意義是三角形中的任意一邊的長(zhǎng)小于其他兩邊長(zhǎng)的和且大于其他兩邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值: 的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長(zhǎng)

6、與兩對(duì)角線的長(zhǎng)之間的關(guān)系.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念【例1】（2020 河北正定中學(xué)模擬）設(shè)。為單位向量，下列命題中：若。為平而內(nèi)的某個(gè)向量，則 a=a ao：若。與的平行，則。=hlao：若g與no平行且bl= 1,則。=的.假命題的個(gè)數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，。與mm。的模相同，但方向不一定相同,故是假命題：若。 與的平行，則與的的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)。=一同。0,故也是假命題.綜 上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3,故選D.【歸納總結(jié)】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)（1）向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.（2）非零共

7、線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制.（3）相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等.（4）單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.（5）零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.【變式探究】（2020 湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量：瓶=0（2為實(shí)數(shù)），則2必為零：心為實(shí)數(shù)，若加=b,則a與b共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）A. 0B.1C. 2D. 3【答案】D【解析】錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).錯(cuò)誤，當(dāng)a=0時(shí)，不論i為何值，命 =0.錯(cuò)誤，當(dāng)4="=0時(shí)，而=b=0,此時(shí)，a與b可以是任意向量.故錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，

8、故選D.高頻考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算【例2】(2018全國(guó)卷【)在.45。中，.10為3c邊上的中線，E為,的中點(diǎn)，貝IJE3=( )- 3-4 A1 -41 -43-4CAB【答案】 A1x|( AB + JC )+1( AB J?)【解析】作出示意圖如圖所示.£5 =訪+市=AD=乙乙【方法技巧】向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形 法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形 中求解.【變式探究】(2020.皖

9、南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形A8CZ)中，AB=2AD=2DC, E為BC邊上一點(diǎn)，BC=3EC,尸為AE的中點(diǎn)，則后1=()122 1 A.B.一科3+£。1 2-)> 1- C.D.【答案】B 1 1 -【解析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則得 乙乙BE=|ic, BC=AC AB.->>>1 ->因?yàn)閦lC=zLD+Z)C, DCflB,> 1 - 9 - 1 -ID+ylB-AB）=故選 B.高頻考點(diǎn)三根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例3】（2020 湖北武漢中模擬）在A48。中，.15 = 2, BC=3,乙15C=60。，乂。為8C邊上的高,。為.10

10、的中點(diǎn)，若芯=2而+限打，其中2, WR,則等于（）A. 1B,5clD -C 33【答案】D【解析】由題意易得芯=方+詬=下*+：就，> > 1 > 1 1>則2 a。= <3+彳8。，即乂0=5工5+工3。 5Z O珀 1.12【方法技巧】解決此類問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較 求參數(shù)的值.-1 -> 2【變式探究】（2020,山西師大附中模擬）在"BC中，AN=NC, P是直線5N上一點(diǎn)，若AC,則實(shí)數(shù)6的值為（）A. -4 B. -1 C. 1 D. 4【答案】B【解析】9：AN=NC. ：.AC=5A

11、N. ?>乂AP=jbAB+亍/C,：.AP=?nAB+2AN,由3, P, N三點(diǎn)共線可知，m+ 2 = 1,=高頻考點(diǎn)四 共線向量定理的應(yīng)用【例4】（2020 哈爾濱六中模擬）設(shè)兩個(gè)非零向量g與力不共線，（1）若益=+6,記=2+汕，CD=3（a-b）,求證：乂，B,。三點(diǎn)共線:（2）試確定實(shí)數(shù)k,使癡+。和。+協(xié)共線.【解析】（1）證明：9：AB=a+b, BC=2a+Sb, 8=3（。-6）,：.BD=BC+CD=2a-3b+3(a b)= 2+86+3,-3b = 5(，+6) = 5HA：.AB,訪共線，又它們有公共點(diǎn)反.4 B,。三點(diǎn)共線.(2)%+b和+汕共線，工存在實(shí)數(shù)

12、九使垢+6=，。+»)，即加+。=幼+北瓦 ，(左一力=(及一 1)6.I, 6是兩個(gè)不共線的非零向量，左一 一 1 = 0,，好一 1=0, ：.k=±.【方法技巧】利用共線向量定理解題的方法(l)ab=a=jb(b,0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩 向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.即,4, B, C三點(diǎn)共線/共線.(3)若a與b不共線且2a=b,則2=0.(4)07=1OB +/OC (A, 為實(shí)數(shù))，若,4, B, C 三點(diǎn)共線，則 2+=