論文標(biāo)題：淺談初中幾何中添加輔助線(xiàn)的技巧

1、-論文標(biāo)題：淺談初中幾何中添加輔助線(xiàn)的技巧 鄺淑瑩單位：三水中學(xué)附屬初中日期：2012-8-25聯(lián)系：淺談初中幾何中添加輔助線(xiàn)的技巧三水中學(xué)附屬初中數(shù)學(xué)科組 鄺淑瑩摘要：在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，平面幾何無(wú)疑占據(jù)著十分重要的地位，而且對(duì)于必須添置輔助線(xiàn)才能解決的題目,學(xué)生往往是無(wú)處下手,甚至是“胡思亂添,達(dá)不到解題的目的。因此,學(xué)生普遍對(duì)較為綜合的幾何問(wèn)題望而生畏。其實(shí)縱使幾何題千變?nèi)f化，添加輔助線(xiàn)的方法各有不同，外表看如何添加線(xiàn)無(wú)章無(wú)循、無(wú)法可依。其實(shí)并非如此，無(wú)論什么樣的幾何題必存有圖形和條件(包括隱含條件)這兩方面。因而我們可以據(jù)圖形的特殊性添加輔助線(xiàn)；據(jù)條件的特殊性添加輔助線(xiàn)；還可以?xún)烧呒骖?/p>

2、添加輔助線(xiàn)，本文通過(guò)以下幾種不同類(lèi)型的幾何題談?wù)勌砑虞o助線(xiàn)解證幾何題的一些技巧。關(guān)鍵詞：添加，輔助線(xiàn)，構(gòu)造，根本圖形在平面幾何證明題中，添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵，添加輔助線(xiàn)是溝通命題“條件和“結(jié)論的橋，輔助線(xiàn)的添置因題而異，變化萬(wàn)千，雖無(wú)一個(gè)通法可以遵循，但還是有一定的規(guī)律和常用的方法。只要我們知道添加輔助線(xiàn)其實(shí)就是為了“補(bǔ)圖，在不完整的圖中構(gòu)造出根本的幾何圖形如三角形、平行四邊形、圓、兩個(gè)全等三角形、兩個(gè)相似三角形等，就可以利用它們的性質(zhì)、定理創(chuàng)造出有利的條件，從而使題目得以證明。當(dāng)然，至于構(gòu)造哪種根本圖形，這就必須充分分析條件和所求證結(jié)論的關(guān)系了，要想方設(shè)法把它們放在同一個(gè)根本圖形之中。只有

3、具體怎樣添加輔助線(xiàn)，這由以下三方面決定：由決定：什么，作出什么，并為充分運(yùn)用條件提供的性質(zhì)定理添加輔助線(xiàn)。由所求決定：?jiǎn)柺裁?，先要作什么。由條件集中的需要決定：為補(bǔ)全或構(gòu)造幾何關(guān)系十清楚確的一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形、兩個(gè)相似三角形而添加輔助線(xiàn)。根據(jù)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，我通過(guò)以下幾種不同類(lèi)型的幾何題分別就這方面談?wù)勌砑虞o助線(xiàn)的技巧和規(guī)律。一、證明線(xiàn)段相等例1：如圖，在ABC中，ABAC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，BDCE，DE交BC于F ,試說(shuō)明DF=EF。分析：證明線(xiàn)段相等的根本思路是證明線(xiàn)段所在的三角形全等，假設(shè)不能在圖中直接找出來(lái)，那就應(yīng)該通過(guò)添加輔助

4、線(xiàn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形。證法1：過(guò)D作AE的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)NAB=ACABC=ACBDN/AEBND=ACB,NDF=FECBND=ACBBND=ABCBD=NDBD=CEND=CE在NDF與CEF中NDF=FEC,NFD=CFE,ND=CENDFCEFAASDF=EF證法2：過(guò)E作AB的平行線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，只要證明BDFMEF即可。技巧總結(jié)：證明線(xiàn)段相等是初中幾何中比較常見(jiàn)和重要的題型，而它的常用方法是證明這兩條線(xiàn)段所在的三角形全等，如果這樣的兩個(gè)三角形已經(jīng)出現(xiàn)在圖中，這種題目很多學(xué)生都掌握得不錯(cuò)。但此題中的DF與EF所在的BDF與CEF很明顯并不全等，則接下來(lái)如何證明呢.此時(shí)不

5、少學(xué)生就會(huì)束手無(wú)策，頭腦空白，其實(shí)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的分析之后，我們不難知道要添加輔助線(xiàn)才能解決，接下來(lái)我們要思考的應(yīng)該是如何添加輔助線(xiàn)。我們的最終的目的是證三角形全等，既然的圖中沒(méi)有一對(duì)全等的三角形，則我們?yōu)槭裁床豢梢酝ㄟ^(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等的三角形呢.如果要構(gòu)造全等三角形，前提就要構(gòu)造出相等的角或邊，再根據(jù)題意，這是一個(gè)等腰三角形，根據(jù)它的性質(zhì)，可以過(guò)一點(diǎn)作腰的平行線(xiàn)，從而得到一個(gè)新的等腰三角形，這樣自然就出現(xiàn)相等的角或邊了。由此可見(jiàn)，要想熟練掌握添加輔助線(xiàn)的技巧，必須對(duì)根本圖形的性質(zhì)十分熟悉，平時(shí)還要多總結(jié)規(guī)律：遇到等腰三角形，通?？梢宰餮钠叫芯€(xiàn)，這樣會(huì)創(chuàng)造出很多有用的條件的。二、證明線(xiàn)段和差之間

6、的等量關(guān)系例2：如圖，在ABC中，B=60°，AD、CE是ABC的角平分線(xiàn)，且交于點(diǎn)O,求證：AC=AE+CD分析：要證AC=AE+CD，在AC上截取AF=AE，再證CD=CF。根據(jù)ABC中，B=60°，所以BAC+BCA=120°。因?yàn)锳D平分BAC，CE平分ACB，可求出AOC=120°，AOE=60°，連接OF，易證AOEAOF，AOE=AOF=60°，可證CODCOF，則CD=CF，問(wèn)題得證。證明：在AC上截取AF=AE，連接OF。在ABC中，B=60°，BAC+BCA=180°-B=180°-6

7、0°=120°AD平分BAC，CE平分ACB，OAC=OAB=1/2BAC，OCD=OCA=1/2ACB，在OAC中，AOC=180°-OAC+OCA=180°-1/2BAC+ACB=180°-1/2×120°=120°AOE=180°-AOC=180°-120°=60°在AOE和AOF中，AE=AF，OAE=OAF，OA=OA，AOEAOFSAS，AOE=AOF，AOF=60°COF=AOC-AOF=120°-60°=60°又COD=

8、60°，COD=COF在COD和COF中，COD=COF，OC=OC，OCD=OCF，CODCOFASA，CD=CF又AF=AE，AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC技巧總結(jié)：證明線(xiàn)段和差之間的等量關(guān)系也是初中幾何中比較常見(jiàn)的題型，由于要證明的三條線(xiàn)段AC、AE、CD都不在同一直線(xiàn)上，不少學(xué)生對(duì)此都是摸不著頭腦的，根本不知道從何入手。導(dǎo)致這樣的原因，其實(shí)歸根到底就是很多學(xué)生平時(shí)做完習(xí)題后不善于總結(jié)解題的規(guī)律和方法。對(duì)于這種題型，我們應(yīng)該從要證明等量關(guān)系的這三條線(xiàn)段是否共線(xiàn)入手，如果是共線(xiàn)，那就非常簡(jiǎn)單，不用在這里多說(shuō)，但我們遇到的題目往往是不共線(xiàn)，那怎么辦呢.在這里常用的

9、方法是通過(guò)等量代換，將這三條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到同一直線(xiàn)上，采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法即可證明。結(jié)合例2，我們來(lái)看看是如何想到這樣添加輔助線(xiàn)的，這是最關(guān)鍵的一步。AC、AE、CD這三條線(xiàn)段中，AC最長(zhǎng)，AE、CD稍短，而題目要證明AC=AE+CD，這時(shí)我們很自然會(huì)想到將長(zhǎng)邊AC截成兩段較短的邊AF、CF，接著只要證明較短的兩邊分別與AE、CD相等即可。這時(shí)不妨先在AC上截取AF=AE，接著只需證明CD=CF即可，換句話(huà)來(lái)說(shuō)就是先設(shè)定好一對(duì)等量關(guān)系，再利用這對(duì)等量關(guān)系去推理創(chuàng)造出更多的有利條件，用以證明剩下的一對(duì)等量關(guān)系。如何證明CD=CF呢.證明線(xiàn)段相等，很自然想到用例1講到的方法：構(gòu)造全等三角形來(lái)證明，怎么

10、構(gòu)造呢.這時(shí)很容易會(huì)想到連接OF了。這種“截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法在這種類(lèi)型的證明題中是經(jīng)常用到的方法，我們平時(shí)應(yīng)該多總結(jié)和體會(huì)。三、證明線(xiàn)段成比例例3：如圖，過(guò)ABC的頂點(diǎn)C任作一條直線(xiàn)，與邊AB及中線(xiàn)AD分別交于點(diǎn)F和E。求證：AE：ED=2AF：FB。分析：要證明線(xiàn)段成比例，通常用到相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)，但結(jié)合題意并沒(méi)有出現(xiàn)相似的條件，故無(wú)法證明，這時(shí)容易想到通過(guò)添加輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造所需的條件，如何添加.我們不難會(huì)想到可以通過(guò)引平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形的根本圖形“A“*型。證法1：過(guò)D作DGCF，交AB于點(diǎn)G ，則AEFDDG,BDGBCFAE:ED=AF:FG,BG:BF=BD:BC點(diǎn)D是BC

11、的中點(diǎn) BD:BC=1:2BG:BF=BD:BC=1:2 FG= BF/2AE:ED=AF:BF/2AE:ED=2AF:FB證法2：過(guò)點(diǎn)B作BNCF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,則AEFANB,BDNCDE,AE:EN=AF:FB,BD:CD=ND:DE點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) BD:CD=1:1ND:DE=BD:CD=1:1EN=2EDAE:EN=AE:2ED=AF:FBAE:ED=2AF:FB證法3：過(guò)點(diǎn)B作BMAD交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,則AEFBMF“*型,CEDCMB“A型證明略證法4：過(guò)點(diǎn)D作DHAB交CF的于點(diǎn)M,則DHEAFE“*型,CHDCFB“A型證明略技巧總結(jié)：對(duì)于證明線(xiàn)段成比例這種類(lèi)型題

12、目，學(xué)生往往感覺(jué)比較迷惘，不知所措，原因是要證明成比例的線(xiàn)段往往不是的兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，或者它們只是兩個(gè)外表上完全沒(méi)有關(guān)系的三角形的邊，甚至它們不是三角形的邊，就像本例子：要證明的四條邊AE、ED、AF、FB不是兩個(gè)相似三角形的邊，如果只用此圖根本無(wú)法證明，所以我們應(yīng)該想到必須添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出相似三角形，又由于“A“*型是最根本和最常見(jiàn)的相似三角形的根本圖形，故容易想到引平行線(xiàn)構(gòu)造這兩種根本圖形。那如何引平行線(xiàn).過(guò)哪一點(diǎn)引.這也不是隨便引的，我們必須結(jié)合題意想清楚，題目中出現(xiàn)了一個(gè)重要條件：點(diǎn)D是BC的重點(diǎn)，這是一個(gè)特殊點(diǎn)，可以過(guò)這一點(diǎn)引平行線(xiàn)。也可以過(guò)或求證中線(xiàn)段的端點(diǎn)引平行線(xiàn)。另外，

13、我們需要時(shí)刻提醒自己最終要證明的是什么本例是AE、ED、AF、FB這四邊的關(guān)系，所以引平行線(xiàn)時(shí)應(yīng)盡量使這些求證的線(xiàn)段和線(xiàn)段成比例即把這些線(xiàn)段放在相似的三角形中，最好能夠放在一對(duì)相似三角形之中，如果不夠條件的話(huà)，可以放在有公共邊的兩對(duì)相似三角形之中，最后通過(guò)一些等量關(guān)系也可以得出答案。對(duì)于這些技巧和方法，我們可以在平時(shí)的練習(xí)中多加總結(jié)和歸納即可，只要掌握好這些技巧，不難會(huì)想出不止一種的證明方法。四、一般四邊形的求解問(wèn)題例4：如圖，四邊形ABCD中，BAD=120°，ABC=90°，AD=3，BC=3，BD=7。求：1CD的長(zhǎng) 2AB的長(zhǎng)。分析：對(duì)于一般的四邊形，它不具有特殊的

14、性質(zhì)，所以如果直接求解，當(dāng)然是無(wú)法解決的。但此時(shí)經(jīng)過(guò)對(duì)題目的分析，由于條件中出現(xiàn)了120°、90°角和一些線(xiàn)段的長(zhǎng)度，所以利用這些條件將原四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和特殊的三角形可使問(wèn)題得到解決。解：(1)過(guò)點(diǎn)D作DEAB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，作DFBC于F， ABC=90°四邊形EBFD為矩形ED=BF,EB=DFBAD=120°DAE=60°，ADE=30°AE=1/2AD=1.5，DE= AE=3 /2=BFFC=BC-BF=3 -3 /2=3 /2DF是BC的中垂線(xiàn)CD=BD=7(2)在RtBDF中，DF=13/2=6.5AB=BE-A

15、E=6.5-1.5=5技巧總結(jié)：此題是求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，如果這些線(xiàn)段在*些特殊的圖形中，如三角形、矩形、菱形等，則這比較容易求解，我們可以利用這些特殊圖形具有的一些特殊性質(zhì)來(lái)求。但對(duì)于此題，這只是一個(gè)一般的四邊形，它沒(méi)有特殊性質(zhì)，所以我們不難想到這必須通過(guò)添加輔助線(xiàn)，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形等一些特殊的圖形。如何轉(zhuǎn)化呢.這不是胡亂添加的，我們必須從題目的條件出發(fā)，思考如何才能用上條件求解。條件中出現(xiàn)了ABC=90°，不難想到過(guò)點(diǎn)D作DFBC，此時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)直角三角形FDC，但左邊的四邊形仍只是梯形而已，無(wú)法利用AD=3，BAD=120°這兩個(gè)條件求其它邊，所以還必須添加輔助線(xiàn)才能解決

16、。故我們會(huì)想到過(guò)點(diǎn)D作DEAB，構(gòu)造出矩形EBFD，而且AED還是直角三角形，這時(shí)就可以利用直角三角形的特殊性質(zhì)，求出其它的邊和角了。概括起來(lái)，解決一般四邊形問(wèn)題的思路應(yīng)該是將其轉(zhuǎn)化為特殊四邊形和三角形。五、從所需求證結(jié)論的形式入手思考如何添加輔助線(xiàn)例5：如圖，平行四邊形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b，兩對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為m、n。求證：m2+n2=2(a2+b2)。分析：僅從條件出發(fā)，很難想到如何添加輔助線(xiàn)來(lái)解決，這四條邊a、b、m、n好似沒(méi)有直接的關(guān)系,這時(shí)我們可以先考慮所求證的結(jié)論的形式，它與勾股定理a2+b2 =c2的形式有類(lèi)似的地方，故可以考慮用勾股定理解決，接著不難會(huì)想到應(yīng)該添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角

17、三角形來(lái)完成證明。證明：作DEAB,CFAB,E、F分別為垂足四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC,DAE=CBFDEA=CFB=90°DEACFBAE=BF在RtDAE中，DE2=b2-AE2=CF2在RtCAF中，m2=(AB+BF)2+CF2=(a+ BF)2 +b2-AE2同理，n2=(AB-AE)2+DE2=(a-AE)2 +b2-AE2將上面兩式相加，得m2 + n2 =(a+ BF)2 +b2-AE2 +(a-AE)2 +b2-AE2 =a2+2a*BF+BF2+2b2-2AE2+a2-2a*AE+AE2=2a2+2b2=2(a2+b2)即m2+n2=2(a2+b2)

18、技巧總結(jié)：這種證明題是不常見(jiàn)的，所以當(dāng)它出現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生普遍會(huì)感覺(jué)到束手無(wú)策。對(duì)于這種類(lèi)型題目就不能用前面所提及的方法即從條件出發(fā)，通過(guò)分析，從而推出結(jié)論來(lái)證明了。那是不是沒(méi)有方法了呢.既然不能從入手，我們可以從證明的結(jié)論入手，它的形式兩條線(xiàn)段平方和與勾股定理十分類(lèi)似，從而很容易想到添加高，構(gòu)成直角三角形，以便運(yùn)用勾股定理。這是執(zhí)果索因的分析方法。在推證過(guò)程中，必須及時(shí)與所需證明的結(jié)論比較，使條件和結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)這樣的“由因?qū)Ч啊皥?zhí)果索因，以溝通條件和結(jié)論。這種分析綜合的方法，在數(shù)學(xué)證明題中是比較重要的。綜上所述，幾何題千變?nèi)f化,添加輔助線(xiàn)的方法各有不同，外表看如何添加無(wú)章無(wú)循,其實(shí)并非如此。只要我們平時(shí)做練習(xí)時(shí)多作總結(jié)和歸納，便可有所領(lǐng)悟。其實(shí)解證幾何問(wèn)題的根本思路就是要利用條件和圖形去求所需求的關(guān)系。這往往需要將條件與所求條件集中到一個(gè)或兩個(gè)幾何關(guān)系十清楚確的根本圖形之中。如一個(gè)三角形特別是直角三角形、等腰三角形，一