數(shù)學(xué)和文學(xué)比較

1、數(shù)學(xué)和中國(guó)文學(xué)的比較很多人會(huì)覺(jué)得我今日的講題有些奇怪，中國(guó)文學(xué)與數(shù)學(xué)好象是風(fēng)馬牛不相及，但我卻討論它。其實(shí)這關(guān)乎個(gè)人的感受和愛(ài)好，不見(jiàn)得其它數(shù)學(xué)家有同樣的感覺(jué)，“如人飲水，冷暖自知”。每個(gè)人的成長(zhǎng)和風(fēng)格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關(guān)系。我幼受庭訓(xùn)，影響我至深的是中國(guó)文學(xué)，而我最大的興趣是數(shù)學(xué)，所以將他們做一個(gè)比較，對(duì)我來(lái)說(shuō)是相當(dāng)有意義的事。中國(guó)古代文學(xué)記載最早的是詩(shī)三百篇，有風(fēng)雅頌，既有民間抒情之歌，朝廷禮儀之作，也有歌頌或諷刺當(dāng)政者之曲。至孔子時(shí)，文學(xué)為君子立德和陶冶民風(fēng)而服務(wù)。戰(zhàn)國(guó)時(shí)，諸子百家都有著述，在文學(xué)上有重要的貢獻(xiàn)，但是諸子如韓非卻輕視文學(xué)之士。屈原開(kāi)千古辭賦之先河，畢生之志卻

2、在楚國(guó)的復(fù)興。文學(xué)本身在古代社會(huì)沒(méi)有占據(jù)到重要的地位。司馬遷甚至說(shuō)：“文史、星歷，近乎卜祝之間，固主上所戲弄，倡優(yōu)畜之，流俗之所輕也?！币恢钡讲茇Р湃婵隙ㄎ膶W(xué)本身的重要性：“蓋文章，經(jīng)國(guó)之大業(yè)，不朽之盛事?！奔词谷绱?，曹丕的弟弟曹植卻不以為文學(xué)能與治國(guó)的重要性相比。他寫(xiě)信給他的朋友楊修說(shuō)：“吾雖德薄，位為蕃侯，猶幾戮力上國(guó)，流惠下民，建永世之業(yè)，留金石之功。豈徒以翰墨為勛績(jī)，辭賦為君子哉?！敝劣跀?shù)學(xué)，中國(guó)儒家將它放在六藝之末，是一個(gè)輔助性的學(xué)問(wèn)。當(dāng)政者更視之為雕蟲(chóng)小技，與文學(xué)比較，連歌頌朝廷的能力都沒(méi)有，政府對(duì)數(shù)學(xué)的尊重要到近年來(lái)才有極大的改進(jìn)。西方則不然，希臘哲人以數(shù)學(xué)為萬(wàn)學(xué)之基。帕拉圖以

3、通幾何為入其門(mén)檻之先決條件，所以數(shù)學(xué)家得到崇高地位，在西方蓬勃發(fā)展了兩千多年。一、數(shù)學(xué)之基本意義數(shù)學(xué)之為學(xué)，有其獨(dú)特之處，它本身是尋求自然界真相的一門(mén)科學(xué)，但數(shù)學(xué)家也如文學(xué)家般天馬行空，憑愛(ài)好而創(chuàng)作，故此數(shù)學(xué)可說(shuō)是人文科學(xué)和自然科學(xué)的橋梁。數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)出來(lái)。這里所說(shuō)的大自然比一般人所了解的來(lái)得廣泛，我們認(rèn)為數(shù)字、幾何圖形和各種有意義的規(guī)律都是自然界的一部份，我們希望用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將這些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)是一門(mén)公理化的科學(xué)，所有命題必需由三段論證的邏輯方法推導(dǎo)出來(lái)，但這只是數(shù)學(xué)的形式，而不是數(shù)學(xué)的精髓。大部份數(shù)學(xué)著作枯燥乏味，

4、而有些卻令人嘆為觀止，其中的分別在那里？大略言之，數(shù)學(xué)家以其對(duì)大自然感受的深刻膚淺，來(lái)決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個(gè)人的氣質(zhì)，氣質(zhì)與文化修養(yǎng)有關(guān)，無(wú)論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性的作用。文化修養(yǎng)是以數(shù)學(xué)的功夫?yàn)榛A(chǔ)，自然科學(xué)為副，但是深厚的人文知識(shí)也極為要緊，因?yàn)槿宋闹R(shí)也致力于描述心靈對(duì)大自然的感受，所以司馬遷寫(xiě)史記除了“通古今之變”外，也要“究天人之際”。劉勰在文心雕龍.原道篇說(shuō)文章之道在于：“寫(xiě)天地之輝光，曉生民之耳目?！眲③囊詾槲恼轮少F，在尚自然，在貴文采。他又說(shuō)：“人與天地相參，乃性靈所集聚，是以謂之三才，為五行之

5、秀氣，實(shí)天地之靈氣。靈心既生，于是語(yǔ)言以立。語(yǔ)言既立，于是文章著明，此亦原于自然之道也?！蔽男牡颀?風(fēng)骨：“詩(shī)總六義，風(fēng)冠其首，斯乃化感之本源，志氣之符契也?！睔v代的大數(shù)學(xué)家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見(jiàn)物象而思數(shù)學(xué)之所出，即有微積分的創(chuàng)作。費(fèi)爾瑪和尤拉對(duì)變分法的開(kāi)創(chuàng)性發(fā)明也是由于探索自然界的現(xiàn)象而引起的。近代幾何學(xué)的創(chuàng)始人高斯認(rèn)為幾何和物理不可分，他說(shuō)：“我越來(lái)越確信幾何的必然性無(wú)法被驗(yàn)證，至少現(xiàn)在無(wú)法被人類(lèi)或?yàn)榱巳祟?lèi)而驗(yàn)證，我們或許能在未來(lái)領(lǐng)悟到那無(wú)法知曉的空間的本質(zhì)。我們無(wú)法把幾何和純粹是先驗(yàn)的算術(shù)歸為一類(lèi)，幾何和力學(xué)卻不可分割?！倍兰o(jì)幾何學(xué)的發(fā)展，則因物理學(xué)上重要的突破而屢次改

6、變其航道。當(dāng)?shù)依税血M義相對(duì)論用到量子化的電子運(yùn)動(dòng)理論時(shí)，發(fā)現(xiàn)了狄拉克方程，以后的發(fā)展連狄拉克本人也嘆為觀止，認(rèn)為他的方程比他的想象來(lái)得美妙，這個(gè)方程在近代幾何的發(fā)展起著關(guān)鍵性的貢獻(xiàn)，我們對(duì)旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺(jué)，但它出于自然，自然界賦予幾何的威力可說(shuō)是無(wú)微不至。廣義相對(duì)論提出了場(chǎng)方程，它的幾何結(jié)構(gòu)成為幾何學(xué)家夢(mèng)寐以求的對(duì)象，因?yàn)樗苜x予空間一個(gè)調(diào)和而完美的結(jié)構(gòu)。我研究這種幾何結(jié)構(gòu)垂三十年，時(shí)而迷惘，時(shí)而興奮，自覺(jué)同詩(shī)經(jīng)、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。捕捉大自然的真和美，實(shí)遠(yuǎn)勝于一切人為的造作，正如文心雕龍說(shuō)的：“云霞雕色，有逾畫(huà)工之妙。草木菁華，無(wú)待錦匠之

7、奇，夫豈外飾，蓋自然耳?！痹诳臻g上是否存在滿足引力場(chǎng)方程的幾何結(jié)構(gòu)是一個(gè)極為重要的物理問(wèn)題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問(wèn)題。盡管其它幾何學(xué)家都不相信它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說(shuō)：“亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔。”我花了五年工夫，終于找到了具有超對(duì)稱的引力場(chǎng)結(jié)構(gòu)，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)上的重要工具。當(dāng)時(shí)的心境，可以用以下兩句來(lái)描述：“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛?！币院蟠笈南依碚搶W(xué)家參與研究這個(gè)結(jié)構(gòu)，得出很多深入的結(jié)果。剛開(kāi)始時(shí)，我的朋友們都對(duì)這類(lèi)問(wèn)題敬而遠(yuǎn)之，不愿意與物理學(xué)家打交道。但我深信造化不致弄人，回顧十多年來(lái)在這方面的研究尚算滿意，現(xiàn)在卡拉比一丘空間的理論已經(jīng)成為數(shù)學(xué)

8、的一支主流。二、數(shù)學(xué)的文采數(shù)學(xué)的文采，表現(xiàn)于簡(jiǎn)潔，寥寥數(shù)語(yǔ)，便能道出不同現(xiàn)象的法則，甚至在自然界中發(fā)揮作用，這是數(shù)學(xué)優(yōu)雅美麗的地方。我的老師陳省身先生創(chuàng)作的陳氏類(lèi)，就文采斐然，令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡(jiǎn)潔的不變量，在現(xiàn)象界中成為物理學(xué)界求量子化的主要工具，可說(shuō)是描述大自然美麗的詩(shī)篇，直如陶淵明“采菊東籬下，悠然見(jiàn)南山”的意境。從歐氏幾何的公理化、到笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，到牛頓、萊布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)幾何，一直到與物理學(xué)水乳相融的近代幾何，都以簡(jiǎn)潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色于任何一件文學(xué)創(chuàng)作，它們初生的時(shí)代與文藝興起的時(shí)代相同，絕對(duì)不是巧合。數(shù)學(xué)家在開(kāi)創(chuàng)新的數(shù)學(xué)想法的

9、時(shí)候，可以看到高雅的文采和嶄新的風(fēng)格，例如歐幾里得證明存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，開(kāi)創(chuàng)反證法的先河。高斯研究十七邊形的對(duì)稱群，使伽羅華群成為數(shù)論的骨干。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩(shī)的始祖蘇（武）李（陵）唱和詩(shī)和詞的始祖李太白的憶秦娥。三、數(shù)學(xué)中的賦比興中國(guó)詩(shī)詞都講究比興，鐘堞在“詩(shī)品”中說(shuō)：“文已盡而意有余，興也。因物喻志，比也?！眲③脑谖男牡颀堉姓f(shuō)：“故比者，附也。興者，起也。附理者切類(lèi)以指事，起情者依微以擬議。起情故興體以立，附理故比例以生?！卑拙右祝骸班?，風(fēng)雪花草之物三百篇中豈含之乎？顧所用何如耳，設(shè)如北風(fēng)其涼，假風(fēng)以刺威虐也，雨雪霏霏，因雪以愍征役也“比興發(fā)于此而義歸于彼。”他批評(píng)

10、謝胱詩(shī)“余霞散成綺，澄江凈如練。麗則麗矣，吾不知其所諷焉，故仆所謂嘲風(fēng)雪，弄花草而已，文意盡去矣?！庇猩疃鹊奈膶W(xué)作品必需要有“義”、有“諷”、有“比興”。數(shù)學(xué)亦如是。我們?cè)趯で笳嬷獣r(shí)，往往只能憑已有的經(jīng)驗(yàn)，因循研究的大方向，憑我們對(duì)大自然的感覺(jué)而向前邁進(jìn)，這種感覺(jué)是相當(dāng)主觀的，因個(gè)人的文化修養(yǎng)而定。文學(xué)家為了達(dá)到最佳意境的描述，不見(jiàn)得忠實(shí)地描寫(xiě)現(xiàn)象界，例如賈島只追究“僧推月下門(mén)”或是“僧敲月下門(mén)”的意境，而不在乎所說(shuō)的是不同的事實(shí)。數(shù)學(xué)家為了創(chuàng)造美好的理論，也不必依隨大自然的規(guī)律，只要邏輯推導(dǎo)沒(méi)有問(wèn)題，就可以盡情的發(fā)揮想象力，然而文章終究有高下之分。大致來(lái)說(shuō)，好的文章“比興”的手法總會(huì)比較豐富

11、。中國(guó)古詩(shī)十九首，作者年代不詳，但大家都認(rèn)為是漢代的作品。劉勰說(shuō)：“比采而推，兩漢之作乎?！边@是從詩(shī)的結(jié)構(gòu)和風(fēng)格進(jìn)行推敲而得出的結(jié)論。在數(shù)學(xué)的研究過(guò)程中，我們亦利用比的方法去尋找真理。我們創(chuàng)造新的方向時(shí)，不必憑實(shí)驗(yàn)，而是憑數(shù)學(xué)的文化涵養(yǎng)去猜測(cè)去求證。舉例而言，三十年前我提出一個(gè)猜測(cè)，斷言三維球面里的光滑極小曲面，其第一特征值等于二。當(dāng)時(shí)這些曲面例子不多，只是憑直覺(jué)，利用相關(guān)情況模擬而得出的猜測(cè)，最近有數(shù)學(xué)家寫(xiě)了一篇文章證明這個(gè)猜想。其實(shí)我的看法與文學(xué)上的比興很相似。我們看洛神賦：“翩若驚鴻，婉若游龍。榮曜秋菊，華茂春松。仿佛兮若輕云之蔽月，飄飄兮若流風(fēng)之回雪?！庇杀扔鱽?lái)刻劃女神的體態(tài)，又看詩(shī)經(jīng)

12、：“高山仰止，景行行止。四牡嘛嘛，六轡如琴，靚爾新婚，以慰我心。”也是用比的方法來(lái)描寫(xiě)新婚的心情。我一方面想象三維球的極小子曲面應(yīng)當(dāng)是如何的勻稱，一方面想象第一譜函數(shù)能夠同空間的線性函數(shù)比較該有多妙，通過(guò)原點(diǎn)的平面將曲面最多切成兩塊，于是猜想這兩個(gè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)相等，同時(shí)第一特征值等于二。當(dāng)時(shí)我與卡拉比教授討論這個(gè)問(wèn)題，他也相信這個(gè)猜測(cè)是對(duì)的。旁邊我的一位研究生問(wèn)為甚么會(huì)做這樣的猜測(cè)，不待我回答，卡教授便微笑說(shuō)這就是洞察力了。數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的對(duì)比方法乃是低維空間和高維空間現(xiàn)象的對(duì)比。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現(xiàn)象，并由此來(lái)推測(cè)高維的變化。我在做研究生時(shí)企圖將二維空間的單值化原理

13、推廣到高維空間，得到一些漂亮的猜測(cè)，我認(rèn)為曲率的正或負(fù)可以作為復(fù)結(jié)構(gòu)的指向，這個(gè)看法影響至今，可以溯源到十九世紀(jì)和二十世紀(jì)初期曲率和保角映像關(guān)系的研究。另外一個(gè)對(duì)比的方法乃是數(shù)學(xué)不同分枝的比較，記得我從前用愛(ài)氏結(jié)構(gòu)證明代數(shù)幾何中一個(gè)重要不等式時(shí)，日本數(shù)學(xué)家Miyaoka利用俄國(guó)數(shù)學(xué)家Bogomolov的代數(shù)穩(wěn)定性理論也給出這個(gè)不等式的不同證明，因此我深信愛(ài)氏結(jié)構(gòu)和流形的代數(shù)穩(wěn)定有密切的關(guān)系，這三十年來(lái)的發(fā)展也確是朝這個(gè)方向蓬勃地進(jìn)行。事實(shí)上，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論也是對(duì)比各種不同的學(xué)問(wèn)而創(chuàng)造成功的，它是科學(xué)史上最偉大的構(gòu)思，可以說(shuō)是驚天地而泣鬼神的工作。它統(tǒng)一了古典的引力理論和狹義相對(duì)論。愛(ài)氏花

14、了十年功夫，基于等價(jià)原理，比較了各種描述引力場(chǎng)的方法，巧妙地用幾何張量來(lái)表達(dá)了引力場(chǎng)，將時(shí)空觀念全盤(pán)翻新。愛(ài)氏所用的工具是黎曼幾何，乃是黎曼比他早五十年前發(fā)展出來(lái)的，當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)家唯一的工具是對(duì)比，在古典微積分、雙曲幾何和流形理論的模擬后得出來(lái)的漂亮理論。反過(guò)來(lái)說(shuō)，廣義相對(duì)論給黎曼幾何注入了新的生命。二十世紀(jì)數(shù)論的一個(gè)大突破乃是算術(shù)幾何的產(chǎn)生，利用群表示理論為橋梁，將古典的代“天之?dāng)?shù)幾何、拓樸學(xué)和代數(shù)數(shù)論比較，有如瑰麗的歌曲，它的發(fā)展，勢(shì)不可擋，氣勢(shì)如虹,所開(kāi)，不可當(dāng)也”。Weil研究代數(shù)曲線在有限域上解的問(wèn)題后，得出高維代數(shù)流形有限域解的猜測(cè)，推廣了代數(shù)流形的基本意義，直接影響了近代數(shù)學(xué)的發(fā)

15、展?；I學(xué)所問(wèn)，無(wú)過(guò)于此矣。偉大的數(shù)學(xué)家遠(yuǎn)矚高瞻，看出整個(gè)學(xué)問(wèn)的大流，有很多合作者和跟隨者將支架建立起來(lái)，解決很多重要的問(wèn)題。正如曹雪芹創(chuàng)造紅樓夢(mèng)時(shí)，也是一樣，全書(shū)既有真實(shí)，亦有虛構(gòu)。既有前人小說(shuō)如西廂記、金瓶梅、牡丹亭等的蹤跡，亦有作者家族雕零、愛(ài)情悲劇的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)各種不同人物的話語(yǔ)和生命歷程，道出了封建社會(huì)大家族的腐敗和破落。紅樓夢(mèng)的寫(xiě)作影響了清代小說(shuō)垂二百年。西廂記和牡丹亭的每一段寫(xiě)作和描述男女主角的手法都極為上乘，但是全書(shū)的結(jié)構(gòu)則是一般的佳人才子寫(xiě)法，由金瓶梅進(jìn)步到紅樓夢(mèng)則小處和大局俱佳。這點(diǎn)與數(shù)學(xué)的發(fā)展極為相似，從局部的結(jié)構(gòu)發(fā)展到大范圍的結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)過(guò)程。往往通過(guò)比興的手法

16、來(lái)處理。幾何學(xué)和數(shù)論都有這一段歷史，代數(shù)幾何學(xué)家在研究奇異點(diǎn)時(shí)通過(guò)爆炸的手段，有如將整個(gè)世界濃縮在一點(diǎn)。微分幾何和廣義相對(duì)論所見(jiàn)到的奇異點(diǎn)比代數(shù)流形復(fù)雜，但是也希望從局部開(kāi)始，逐漸了解整體結(jié)構(gòu)。數(shù)論專家研究局部結(jié)構(gòu)時(shí)則通過(guò)素?cái)?shù)的模方法，將算術(shù)流形變成有限域上的幾何，然后和大范圍的算術(shù)幾何對(duì)比，得出豐富的結(jié)果。數(shù)論學(xué)家在研究Langlands理論時(shí)也多從局部理論開(kāi)始。好的作品需要賦比興并用。鐘堞詩(shī)品：“直書(shū)其事，寓言寫(xiě)物，賦也。宏斯三義，酌而用之，干之以風(fēng)力，潤(rùn)之以丹采，使味之者無(wú)極，聞之者動(dòng)心，是詩(shī)之至也。若專用比興，則患在意深，意深則詞蹶。若但用賦體，則患在意浮，意浮則文散?！痹跀?shù)學(xué)上，對(duì)非

17、線性微分方程和流體方程的深入了解，很多時(shí)需要靠計(jì)算器來(lái)驗(yàn)算。很多數(shù)學(xué)家有能力做大量的計(jì)算，卻不從大處著想，沒(méi)有將計(jì)算的內(nèi)容與數(shù)學(xué)其它分枝比較，沒(méi)有辦法得到深入的看法，反過(guò)來(lái)說(shuō)只講觀念比較，不作大量計(jì)算，最終也無(wú)法深入創(chuàng)新。有些工作卻包含賦比興三種不同的精義。近五十年來(lái)數(shù)論上一個(gè)偉大的突破是由英國(guó)人Birch和Swinneton-Dyer提出的一個(gè)猜測(cè)，開(kāi)始時(shí)用計(jì)算器大量計(jì)算，找出L函數(shù)和橢圓曲線的整數(shù)解的連系，與數(shù)論上各個(gè)不同的分枝比較接合，妙不可言，這是賦比興都有的傳世之作。四、數(shù)學(xué)家對(duì)事物的看法的多面性由于文學(xué)家對(duì)事物有不同的感受，同一事或同一物可以產(chǎn)生不同的吟詠。例如對(duì)楊柳的描述：溫庭筠

18、：“柳絲長(zhǎng)，春雨細(xì)，”吳文英：“一絲柳，一寸柔情，料峭春寒中酒，”李白：“年年柳色，潘陵傷別。“風(fēng)吹柳花滿座香，吳姬壓酒勸客嘗。周邦彥：“柳陰直，煙里絲絲弄碧，隋堤上，曾見(jiàn)幾番，拂水飄綿送行色,長(zhǎng)亭路，年去歲來(lái)，應(yīng)折柔條過(guò)千尺?！标處椎溃骸拔璧蜅盍鴺切脑?，歌盡桃花扇底風(fēng)?！绷热皇侨釛l，又有春天時(shí)的嫩綠，因此可以代表柔情，女性體態(tài)的柔軟（柳腰、柳眉都是用柳條來(lái)描寫(xiě)女性），又可以描寫(xiě)離別感情和青春的感覺(jué)。對(duì)事物有不同的感受后，往往通過(guò)比興的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原九章“結(jié)微情以陳詞兮，矯以遺夫美人?！币部梢灾钙返旅篮玫娜耍涸?shī)經(jīng)鄴風(fēng)：“云誰(shuí)之思

19、，西方美人?！碧K軾赤壁賦“望美人兮天一方”。數(shù)學(xué)家對(duì)某些重要的定理，也會(huì)提出很多不同的證明。例如勾股定理的不同證明有十個(gè)以上，等周不等式亦有五、六個(gè)證明，高斯則給出數(shù)論對(duì)偶定律六個(gè)不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個(gè)事實(shí)，往往引導(dǎo)出數(shù)學(xué)上不同的發(fā)展。記得三十年前我利用分析的方法來(lái)證明完備而非緊致的正曲率空間有無(wú)窮大體積后，幾何學(xué)家Gromov開(kāi)始時(shí)不相信這個(gè)證明，以后他找出我證明方法的幾何直觀意義后，發(fā)展出他的幾何理論，這兩個(gè)不同觀念都有它們的重要性。小平邦彥有一個(gè)極為重要的貢獻(xiàn)叫做消滅定理，是用曲率的方法來(lái)得到的，它在代數(shù)幾何學(xué)上有奠基性的貢獻(xiàn)，代數(shù)幾何學(xué)家卻不斷的企圖找尋一

20、個(gè)純代數(shù)的證明，希望對(duì)算術(shù)幾何有比較深入的了解。對(duì)空間中的曲面，微分幾何學(xué)家會(huì)問(wèn)它的曲率如何，有些分析學(xué)家希望沿著曲率方向來(lái)推動(dòng)它一下看看有甚么變化，代數(shù)幾何學(xué)家可以考慮它可否用多項(xiàng)式來(lái)表示，數(shù)論學(xué)家會(huì)問(wèn)上面有沒(méi)有整數(shù)格點(diǎn)。這種種主觀的感受由我們的修養(yǎng)來(lái)主導(dǎo)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，文學(xué)家對(duì)同一事物亦有不同的歌詠，但在創(chuàng)作的工具上，卻有比較統(tǒng)一的對(duì)仗韻律的講究，可以應(yīng)用到各種不同的文體。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，對(duì)仗韻律是一種對(duì)稱，而對(duì)稱的觀念在數(shù)學(xué)發(fā)展至為緊要，是所有數(shù)學(xué)分枝的共同工具。另外，數(shù)學(xué)家又喜歡用代數(shù)的方法來(lái)表達(dá)空間的結(jié)構(gòu)，同調(diào)群乃是重要的例子，由拓樸學(xué)出發(fā)而應(yīng)用到群論、代數(shù)、數(shù)論和微分方程學(xué)上去。五、

21、數(shù)學(xué)的意境王國(guó)維在人間詞話說(shuō)：“詞以境界為最上。有境界則自成高格,有造境，有寫(xiě)境，此理想與寫(xiě)實(shí)二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩(shī)人所造之境必合乎自然，所寫(xiě)之境亦必鄰于理想故也。有有我之境，有無(wú)我之境。淚眼問(wèn)花花不語(yǔ)，亂紅飛過(guò)秋千去。，有我之境也。采菊東籬下，悠然見(jiàn)南山。，無(wú)我之境也。有我之境，以我觀物，故物皆著我之色彩。無(wú)我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物,無(wú)我之境，人唯乎靜中得之。有我之境，于由動(dòng)人靜時(shí)得之，故一優(yōu)美，一宏壯也。自然之物互相關(guān)系，互相限制。然其寫(xiě)之于文學(xué)及美術(shù)中也，必有其關(guān)系限制之處。故雖寫(xiě)實(shí)家亦理想家也。又雖如何虛構(gòu)之境，其材料必求之于自然，而其構(gòu)造亦必從自然之法

22、律。故雖理想家亦寫(xiě)實(shí)家也?！睌?shù)學(xué)研究當(dāng)然也有境界的概念，在某種程度上也可談?dòng)形抑?、無(wú)我之境，當(dāng)年尤拉開(kāi)創(chuàng)變分法和推導(dǎo)流體方程，由自然現(xiàn)象引導(dǎo)，可謂無(wú)我之境，他又憑自己的想象力研究發(fā)散級(jí)數(shù)，而得到zeta函數(shù)的種種重要結(jié)果，開(kāi)三百年數(shù)論之先河，可謂有我之境矣。另外一個(gè)例子是法國(guó)數(shù)學(xué)家Grothendick,他著述極豐，以個(gè)人的哲學(xué)觀點(diǎn)和美感出發(fā)，竟然不用實(shí)例，建立了近代代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，真可謂有我之境矣。在幾何的研究中，我們發(fā)現(xiàn)狄拉克在物理上發(fā)現(xiàn)的旋子在幾何結(jié)構(gòu)中有魔術(shù)性的能力，我們不知道它的內(nèi)在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結(jié)構(gòu)中的精髓，在應(yīng)用旋子理論時(shí)，我們常用的手段是通過(guò)所謂消滅定理而完成

23、的，這是一個(gè)很微妙的事情，我們制造了曲率而讓曲率自動(dòng)發(fā)酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無(wú)我之境矣。以前我提出用Einstein結(jié)構(gòu)來(lái)證明代數(shù)幾何的問(wèn)題和用調(diào)和映像來(lái)看研究幾何結(jié)構(gòu)的剛性問(wèn)題也可作如是觀。不少偉大的數(shù)學(xué)家，以文學(xué)、音樂(lè)來(lái)培養(yǎng)自己的氣質(zhì)，與古人神交，直追數(shù)學(xué)的本源，來(lái)達(dá)到高超的意境。文心雕龍.神思：“文之思也，其神遠(yuǎn)矣。故寂然凝慮，思接千載；悄然動(dòng)容，視通萬(wàn)里。吟詠之間，吐納珠玉之聲，眉睫之前，卷舒風(fēng)云之色，其思理之致乎?！绷?、數(shù)學(xué)的品評(píng)好的工作應(yīng)當(dāng)是文已盡而意有余，大部份數(shù)學(xué)文章質(zhì)木無(wú)文，流俗所好，不過(guò)兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時(shí)所好，往往十?dāng)?shù)年后始見(jiàn)其功。我曾經(jīng)用一個(gè)嶄

24、新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，以后和幾個(gè)朋友一同改進(jìn)了這個(gè)方法，成為熱方程的一個(gè)重要工具。開(kāi)始時(shí)沒(méi)有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領(lǐng)會(huì)到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺(jué)得意猶未盡。我的老師陳省身先生在他的文集中引杜甫詩(shī)“文章千古事，得失寸心知?！倍鸥驮u(píng)初唐四杰的作品“王楊盧駱當(dāng)時(shí)體，輕薄為文哂未休，爾曹身與命俱滅，不廢江河萬(wàn)古流。時(shí)俗所好的作品，不必為作者本人所認(rèn)同。舉個(gè)例子，白居易留傳至今的詩(shī)甚多，最出名之一是長(zhǎng)恨歌，但他給元微之的信中卻說(shuō)：“及再來(lái)長(zhǎng)安，又聞?dòng)熊娛褂赋?，伎大夸日：我誦得白學(xué)士長(zhǎng)恨歌，豈同他伎哉。，偌伎見(jiàn)仆來(lái)，指而相顧日：此是秦中吟、長(zhǎng)恨歌主耳。自長(zhǎng)安抵江

25、西，三四千里,每每有詠仆詩(shī)者，此誠(chéng)雕蟲(chóng)之技，不足為多，然今時(shí)俗所重，正在此耳。”白居易說(shuō)謝眺的詩(shī)麗而無(wú)諷。其實(shí)建安以后，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鐘堞評(píng)謝眺詩(shī)為中品，以后六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未臻上乘，卻有賞心悅目之句。數(shù)學(xué)華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學(xué)問(wèn)中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來(lái)說(shuō)，從函數(shù)空間抽象出來(lái)的一個(gè)重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學(xué)有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學(xué)家為了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問(wèn)題，確是漂亮，但在數(shù)學(xué)大流上卻未有激起任何波瀾。在七十年代，高維拓樸

26、的研究已成強(qiáng)弩之末，作品雖然不少，但真正有價(jià)值的不多，有如“野云孤飛，去留無(wú)跡?！蔽臍庖驯M，再無(wú)新的比興了。當(dāng)時(shí)有拓樸學(xué)者做群作用于流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了八零年代，值得懷念的工作只有Bott的局部化定理。能經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)的工作寥寥無(wú)幾，政府評(píng)審人材應(yīng)當(dāng)以此為首選。歷年來(lái)以文章篇數(shù)和被引用多寡來(lái)做指針，使得國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)工作者水平大不如人，不單與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。七、數(shù)學(xué)的演化王國(guó)維說(shuō)：“四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，五言敝而有七言，古詩(shī)敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習(xí)套。豪杰之士亦難于其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始

27、盛中衰者，皆由于此，故謂文體后不如前，余未敢言。但就一體論，則此說(shuō)固無(wú)以易也?！睌?shù)學(xué)的演化和文學(xué)有極為類(lèi)似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進(jìn)，另一方面是對(duì)自然界有進(jìn)一步的了解，將原來(lái)所認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的美發(fā)揮盡至后，需要進(jìn)入新的境界。江山代有人才，能夠帶領(lǐng)我們進(jìn)入新的境界的都是好的數(shù)學(xué)。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數(shù)學(xué)物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高翔。我在香港念數(shù)學(xué)時(shí)，讀到蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Gelfand的看法，用函數(shù)來(lái)描述空間的幾何性質(zhì)，使我感觸良深，以后在研究院時(shí)才知道。代數(shù)幾何學(xué)家也用有理函數(shù)來(lái)定義代數(shù)空間，于是我猜想一般的黎曼流形應(yīng)當(dāng)也可以

28、用函數(shù)來(lái)描述空間的結(jié)構(gòu)。但是為了深入了解流形的幾何性質(zhì)，我們需要的函數(shù)必需由幾何引出的微分方程來(lái)定義?？墒且话銕缀螌W(xué)家厭惡微分方程，我對(duì)它卻情有獨(dú)鐘，與幾個(gè)朋友合作將非線性方程帶入幾何學(xué)，開(kāi)創(chuàng)了幾何分析這門(mén)學(xué)問(wèn)，解決了拓樸學(xué)和廣義相對(duì)論一些重要問(wèn)題。在一九八一年時(shí)我建議我的朋友Hamilton用他創(chuàng)造的方程去解決三維拓樸的基本結(jié)構(gòu)問(wèn)題，二十多年來(lái)他引進(jìn)了不少重要的工具，運(yùn)用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地了解奇異點(diǎn)的產(chǎn)生。兩年前俄國(guó)數(shù)學(xué)家Perelman更進(jìn)步地推廣了這個(gè)理論，很可能完成了我的愿望，將幾何和三維拓樸帶進(jìn)了新紀(jì)元。八年前我訪問(wèn)北京，提出全國(guó)向Hamilton先生學(xué)習(xí)的口號(hào)，本

29、來(lái)討論班已經(jīng)進(jìn)行，卻給一些急功近利的北京學(xué)者阻止，在國(guó)外也遇到同樣的阻力，中國(guó)幾何分析不能進(jìn)步都是由于年青學(xué)者不能夠自由發(fā)展思想的緣故。廣州的朱熹平卻鍥而不舍，他的工作已經(jīng)遠(yuǎn)超國(guó)內(nèi)外成名的中國(guó)學(xué)者。當(dāng)一個(gè)大問(wèn)題懸而未決的時(shí)候，我們往往以為數(shù)學(xué)之難莫過(guò)于此。待問(wèn)題解決后，前途豁然開(kāi)朗，看到比原來(lái)更為燦爛的火花，就會(huì)有不同的感受。這點(diǎn)可以跟莊子秋水篇比較：“秋水時(shí)至，百川灌河，涇流之大，兩濱渚崖之間，不辯牛馬。于是焉河伯欣然自喜，以天下之美為盡在已，順流而東行，至于北海，東面而視，不見(jiàn)水端，于是焉河伯始旋其面目，望洋向若而嘆曰：野語(yǔ)有之曰：聞道百，以為莫已若者，我之謂也。且夫我嘗聞少仲尼之聞，而輕

30、伯夷之義者，始吾弗信，今我睹子之難窮也。吾非至于子之門(mén)，則殆矣。吾長(zhǎng)見(jiàn)笑于大方之家。科學(xué)家對(duì)自然界的了解，都是循序漸進(jìn)，在不同的時(shí)空自然會(huì)有不同的感受。有學(xué)生略識(shí)之無(wú)后，不知?jiǎng)?chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見(jiàn)識(shí)更為豐富，不自見(jiàn)之患也。人貴自知，始能進(jìn)步。莊子：“今爾出于崖濱，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語(yǔ)大理矣?！蔽以?jīng)參觀德國(guó)的葛庭根大學(xué)，看到十九世紀(jì)和廿世紀(jì)偉大科學(xué)家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一部份，很多杰作都還未發(fā)表，使我深為慚愧而欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍為改動(dòng)，據(jù)為己有，盡快發(fā)表。或申請(qǐng)?jiān)菏?，或自炫為學(xué)術(shù)宗匠，于古人何如哉。八、數(shù)學(xué)的

31、感情為了達(dá)到深遠(yuǎn)的效果，數(shù)學(xué)家需要找尋問(wèn)題的精華所在，需要不斷的培養(yǎng)我們對(duì)問(wèn)題的感情和技巧，這一點(diǎn)與孟子所說(shuō)的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數(shù)學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。白居易說(shuō)：“圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義,，未有聲入而不應(yīng)，情交而不感者。”嚴(yán)羽滄浪詩(shī)話：“盛唐諸公唯在興趣，羚羊掛角，無(wú)跡可求。故其妙處透澈玲瓏，不可湊拍，如空中之音，相中之色，水中之影，鏡中之象，言有盡而意無(wú)窮?！蔽业呐笥袶amilton先生，他一見(jiàn)到問(wèn)題可以用曲率來(lái)推動(dòng)，他就眉飛色舞。另外一個(gè)澳洲來(lái)的學(xué)生，見(jiàn)到與愛(ài)因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們

32、的文章都是清純可喜。反過(guò)來(lái)說(shuō)，有些成名的學(xué)者，文章甚多，但陳陳相因，了無(wú)新意。這是對(duì)自然界、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題沒(méi)有感情的現(xiàn)象，反而對(duì)名位權(quán)力特別重視。為了院士或政協(xié)委員的名銜而甘愿千里仆仆風(fēng)塵地奔波，在這種情形下，難以想象他們對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)自然界有深厚的感情。數(shù)學(xué)的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學(xué)多聞，感慨始深，堂尻始大。歐陽(yáng)永叔：“人間自是有情癡，此恨不關(guān)風(fēng)與月?！薄爸表毧幢M洛城花，始與東風(fēng)容易別?！蹦軌蛴羞@樣的感情，才能夠達(dá)到晏殊所說(shuō)：“昨夜西風(fēng)雕碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路?！睗夂竦母星槭刮覀儗?duì)研究的對(duì)象產(chǎn)生直覺(jué)，這種直覺(jué)看對(duì)象而定，例如在幾何上叫做幾何直覺(jué)。好的數(shù)學(xué)家會(huì)將這種直覺(jué)寫(xiě)出來(lái)

33、，有時(shí)可以用來(lái)證明定理，有時(shí)可以用來(lái)猜測(cè)新的命題或提出新的學(xué)說(shuō)。但數(shù)學(xué)畢竟是說(shuō)理的學(xué)問(wèn)，不可能極度主觀。詩(shī)經(jīng)蓼莪、黍離，屈原離騷、九江，漢都尉河梁送別，陳思王歸藩傷逝，李后主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書(shū)成、直抒胸臆，非論證之學(xué)所能及也。九、數(shù)學(xué)的應(yīng)用王國(guó)維說(shuō)：“詩(shī)人對(duì)宇宙人生須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫(xiě)之，出乎其外，故能觀之，入乎其內(nèi)，故有生氣，出乎其外，故有高致。美成能人而不能出，白石以降，二事皆未夢(mèng)見(jiàn)?！薄霸~之雅鄭，在神不在貌。永叔少游雖作艷語(yǔ)，終有品格，方之美成，便有淑女與倡伎之別?！睌?shù)學(xué)除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是純工程上的問(wèn)題。有些數(shù)學(xué)家畢

34、生接觸的都是現(xiàn)象界的問(wèn)題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學(xué)家如尤拉、如富里哀、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，既能將抽象的數(shù)學(xué)在工程學(xué)上應(yīng)用，又能在實(shí)用的科學(xué)中找出共同的理念而發(fā)展出有意義的數(shù)學(xué)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家只用計(jì)算器作出一些計(jì)算，不求甚解，可謂二者皆未見(jiàn)矣。富里哀在研究波的分解時(shí)，得出富里哀級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法，不但成為應(yīng)用科學(xué)最重要的工具，在基本數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)也是不可磨滅的。近代孤立子的發(fā)展和幾何光學(xué)的研究，都在基本數(shù)學(xué)上占了一個(gè)重要的位置。應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)基本數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)可與元?jiǎng)”容^。王國(guó)維評(píng)元?jiǎng)。骸捌渥鲃∫玻怯胁刂?，傳之其人之意也，彼以意興之所至為之，以自?shī)蕣嗜耍P(guān)目之拙劣，所不問(wèn)也；思想之卑陋，所不諱也；人物之矛盾，所不顧也。彼但摹寫(xiě)其胸中之感想與時(shí)代之情狀，而真摯之理與秀杰之氣時(shí)流露于其間?！崩缃鹑跀?shù)學(xué)旨在謀利，應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程理論，間有可觀的數(shù)學(xué)內(nèi)容。正如王國(guó)維評(píng)古詩(shī)“何不策高足，先據(jù)要路津，無(wú)為久貧賤，穗軻長(zhǎng)苦辛?！闭J(rèn)為“無(wú)視其鄙者，以其真也。偉大的數(shù)學(xué)家高斯就是金融數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，他本人投資股票而獲利，Klein則研究保險(xiǎn)業(yè)所需要的概率論。然而近代有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家以爭(zhēng)取政府經(jīng)費(fèi)為唯一目標(biāo)，本身無(wú)一技之長(zhǎng)，卻巧立名目，