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文檔簡(jiǎn)介
1、一道高考解析幾何題的背景溯源極點(diǎn)、極線與圓錐曲線的位置關(guān)系湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué)鄒生書題目已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)滿足,則的取值范圍是,直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.這是2010年高考湖北卷文科第15題,本題是一道涉及到點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定的考題從高等幾何的觀點(diǎn)知,這里的點(diǎn)和直線就是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)與極線,本題第二問實(shí)際上是:已知橢圓的極點(diǎn)在橢圓內(nèi),判斷極線與橢圓的位置關(guān)系據(jù)筆者之前發(fā)表的文章中圓錐曲線極點(diǎn)和極線的幾何性質(zhì)可得如下結(jié)論:定理已知點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)與極線(1)若極點(diǎn)在曲線上,則極線與曲線的相切于點(diǎn);(2)若極點(diǎn)在曲線內(nèi),則極線與曲線的相離;(2)若極點(diǎn)在曲線外,則
2、極線與曲線的相交由該定理不難知道,考題中的直線與橢圓相離,故公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0若運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作動(dòng)態(tài)演示,不僅可以驗(yàn)證確認(rèn)該結(jié)論,而且還可獲得直觀感知從而加深印象強(qiáng)化理解本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明為了表達(dá)方便我們給出圓錐曲線內(nèi)部和外部的定義圓、橢圓是封閉圖形其內(nèi)部和外部不言而喻,拋物線、雙曲線不是封閉的是開的,我們參考一些雜志專著,對(duì)雙曲線和拋物線的內(nèi)部和外部給出如下定義:焦點(diǎn)所在的平面區(qū)域稱為該曲線的內(nèi)部,不含焦點(diǎn)的平面區(qū)域稱為曲線的外部,曲線上的點(diǎn)既不在內(nèi)部也不在外部關(guān)于點(diǎn)與圓錐曲線位置關(guān)系我們有如下結(jié)論(這里證明從略)引理1已知點(diǎn)和拋物線則(1)點(diǎn)在上;(2)點(diǎn)在內(nèi);(
3、3)點(diǎn)在外引理2已知點(diǎn)和橢圓(或圓)則(1)點(diǎn)在上;(2)點(diǎn)在內(nèi);(3)點(diǎn)在外引理3已知點(diǎn)和雙曲線則(1)點(diǎn)在上;(2)點(diǎn)在內(nèi);(3)點(diǎn)在外圓錐曲線把平面上的點(diǎn)分成三個(gè)部分:曲線上的點(diǎn)、曲線內(nèi)的點(diǎn)和曲線外的點(diǎn),每一部分的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于曲線方程的左右兩邊的值具有相同的大小關(guān)系,真是“物以類集,人以群分”下面將圓錐曲線分為拋物線、橢圓(圓)和雙曲線三種情形,借用判別式法對(duì)定理給出如下證明定理1已知點(diǎn)和直線是拋物線的一對(duì)極點(diǎn)與極線則(1)點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn);(2)點(diǎn)在內(nèi)直線與相離;(3)點(diǎn)在外直線與相交證明由得,將其代入拋物線方程得,所以所以,(1)點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn);(2)點(diǎn)在內(nèi)直線與相離;(3
4、)點(diǎn)在外直線與相交定理2已知點(diǎn)和直線是橢圓(圓)的一對(duì)極點(diǎn)與極線則(1)點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn);(2)點(diǎn)在內(nèi)直線與相離;(3)點(diǎn)在外直線與相交證明當(dāng)時(shí),則(1)點(diǎn)在直線與相切于點(diǎn);(2)點(diǎn)在內(nèi)直線與相離;(3)點(diǎn)在外直線與相交 當(dāng)時(shí),將其代入曲線方程整理得,所以所以,(1)點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn);(2)點(diǎn)在內(nèi)直線與相離;(3)點(diǎn)在外直線與相交綜上所述,命題結(jié)論正確同理可證如下如下結(jié)論:定理3已知點(diǎn)和直線是雙曲線的一對(duì)極點(diǎn)與極線則(1)點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn);(2)點(diǎn)在內(nèi)直線與相離;(3)點(diǎn)在外直線與相交下面舉例說明極點(diǎn)、極線與圓錐曲線位置關(guān)系在解題中的應(yīng)用1.判斷點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系例1若直線和沒
5、有公共點(diǎn),則過點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)()至少有一個(gè)有兩個(gè)只有一個(gè)不存在解顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對(duì)極點(diǎn)和極線,又極線與圓沒有公共點(diǎn),所以極點(diǎn)在圓內(nèi),所以,所以,所以,所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)(實(shí)際上,由圖形可知圓上除兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上外,其余點(diǎn)均在橢圓內(nèi),因點(diǎn)在圓內(nèi),則點(diǎn)必在橢圓內(nèi)),故過點(diǎn)的直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn),故應(yīng)選例2已知直線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則的取值范圍是解因?yàn)闃O線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以對(duì)應(yīng)極點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部,所以有,故的取值范圍是2.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線,直線的方程為,則(),且與相離,且與相交,且與相離,且與相交解顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對(duì)極點(diǎn)和極線,因極點(diǎn)在圓內(nèi),所以極與圓相離又是直線的一個(gè)法向量,所以,而直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線,所以,所以故應(yīng)選例4已知曲線,過點(diǎn)能否作一條直線,與雙曲線相交于兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)?解假設(shè)存在這樣的直線設(shè),則,兩式相減得,因點(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以,代入上式可得若則有,于是兩點(diǎn)重合不合題意,所以,所以,即直線的斜率
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