高考數(shù)學(xué)極點(diǎn)極線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、一道高考解析幾何題的背景溯源極點(diǎn)、極線與圓錐曲線的位置關(guān)系湖北省陽新縣高級中學(xué)鄒生書題目已知橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的取值范圍是，直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)是.這是2010年高考湖北卷文科第15題，本題是一道涉及到點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定的考題從高等幾何的觀點(diǎn)知，這里的點(diǎn)和直線就是橢圓的一對極點(diǎn)與極線，本題第二問實(shí)際上是：已知橢圓的極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，判斷極線與橢圓的位置關(guān)系據(jù)筆者之前發(fā)表的文章中圓錐曲線極點(diǎn)和極線的幾何性質(zhì)可得如下結(jié)論：定理已知點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)與極線（1）若極點(diǎn)在曲線上，則極線與曲線的相切于點(diǎn)；（2）若極點(diǎn)在曲線內(nèi)，則極線與曲線的相離；（2）若極點(diǎn)在曲線外，則

2、極線與曲線的相交由該定理不難知道，考題中的直線與橢圓相離，故公共點(diǎn)個數(shù)為0若運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作動態(tài)演示，不僅可以驗(yàn)證確認(rèn)該結(jié)論，而且還可獲得直觀感知從而加深印象強(qiáng)化理解本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明為了表達(dá)方便我們給出圓錐曲線內(nèi)部和外部的定義圓、橢圓是封閉圖形其內(nèi)部和外部不言而喻，拋物線、雙曲線不是封閉的是開的，我們參考一些雜志專著，對雙曲線和拋物線的內(nèi)部和外部給出如下定義：焦點(diǎn)所在的平面區(qū)域稱為該曲線的內(nèi)部，不含焦點(diǎn)的平面區(qū)域稱為曲線的外部，曲線上的點(diǎn)既不在內(nèi)部也不在外部關(guān)于點(diǎn)與圓錐曲線位置關(guān)系我們有如下結(jié)論（這里證明從略）引理1已知點(diǎn)和拋物線則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（

3、3）點(diǎn)在外引理2已知點(diǎn)和橢圓（或圓）則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外引理3已知點(diǎn)和雙曲線則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外圓錐曲線把平面上的點(diǎn)分成三個部分：曲線上的點(diǎn)、曲線內(nèi)的點(diǎn)和曲線外的點(diǎn)，每一部分的點(diǎn)的坐標(biāo)對于曲線方程的左右兩邊的值具有相同的大小關(guān)系，真是“物以類集，人以群分”下面將圓錐曲線分為拋物線、橢圓（圓）和雙曲線三種情形，借用判別式法對定理給出如下證明定理1已知點(diǎn)和直線是拋物線的一對極點(diǎn)與極線則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交證明由得，將其代入拋物線方程得，所以所以，（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3

4、）點(diǎn)在外直線與相交定理2已知點(diǎn)和直線是橢圓（圓）的一對極點(diǎn)與極線則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交證明當(dāng)時，則（1）點(diǎn)在直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交 當(dāng)時，將其代入曲線方程整理得，所以所以，（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交綜上所述，命題結(jié)論正確同理可證如下如下結(jié)論：定理3已知點(diǎn)和直線是雙曲線的一對極點(diǎn)與極線則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交下面舉例說明極點(diǎn)、極線與圓錐曲線位置關(guān)系在解題中的應(yīng)用1.判斷點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系例1若直線和沒

5、有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)（）至少有一個有兩個只有一個不存在解顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對極點(diǎn)和極線，又極線與圓沒有公共點(diǎn)，所以極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，所以，所以，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)（實(shí)際上，由圖形可知圓上除兩個點(diǎn)在橢圓上外，其余點(diǎn)均在橢圓內(nèi)，因點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)必在橢圓內(nèi)），故過點(diǎn)的直線與橢圓相交有兩個公共點(diǎn)，故應(yīng)選例2已知直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是解因?yàn)闃O線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以對應(yīng)極點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，所以有，故的取值范圍是2.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線的方程為，則（），且與相離，且與相交，且與相離，且與相交解顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對極點(diǎn)和極線，因極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以極與圓相離又是直線的一個法向量，所以，而直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線，所以，所以故應(yīng)選例4已知曲線，過點(diǎn)能否作一條直線，與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？解假設(shè)存在這樣的直線設(shè)，則，兩式相減得，因點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，代入上式可得若則有，于是兩點(diǎn)重合不合題意，所以，所以，即直線的斜率