獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

1、3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用分類變量:變量的不同”值”表示個(gè)體所屬的不同 類別.如:性別,是否吸煙,宗教信仰,國籍等在日常生活中,我們常常關(guān)心兩個(gè)分類變量之間是否具有關(guān)系.例如,吸煙是否與患肺癌有關(guān)系?性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響?等等為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人,得到如下結(jié)果(單位:人)吸煙與患肺癌列聯(lián)表列聯(lián)表列聯(lián)表:列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表那么吸煙是否對患肺癌有影響?粗略估計(jì):在不吸煙者中,有0.54%患有肺癌;在吸煙者中,有2.28%患有肺癌.因此,直觀上得到結(jié)論:吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異三維柱形圖二

2、維條形圖等高條形圖上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形,得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān),那么事實(shí)是否真的如此呢?能夠以多大的把握認(rèn)為”吸煙與患肺癌有關(guān)”,假設(shè)H0:吸煙與患肺癌沒有關(guān)系,看看能推出什么結(jié)論把前表中的數(shù)字用字母代替,得到如下用字母表示的列聯(lián)表:如果”吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”,則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例差不多,即0aca cdc abadbcabcd因此|ad-bc|越小,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱; |ad-bc|越大,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng);為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn),基于上述分析,我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量:22n adbcKabcdacbdn

3、abcd 其中為樣本容量20,.HK若成立 即 吸煙與患肺癌沒有關(guān)系 則應(yīng)該很小利用公式計(jì)算得K2的觀測值為:29965 7775 4942 209956.6327817 2148 9874 91k這個(gè)值是不是很大呢?在H0成立的情況下,統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率:26.6350.01P K 即在H0成立的情況下,K2的值大于6.635的概率非常小,近似于0.01.也就是說,在H0成立的情況下對隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測,觀測值超過6.635的頻率約為0.01206.635,?KH如果就判定不成立 這種判斷出錯(cuò)的可能性有多大只有1%,因此我們有99%的把握認(rèn)為H0不成立,即有99%的把握認(rèn)為”吸煙

4、與患肺癌有關(guān)系”上面這種利用隨機(jī)變量上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上來確定在多大程度上可以認(rèn)為可以認(rèn)為”兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)的方法稱為兩個(gè)分類變量的分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)上的反證法.要確認(rèn)”兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度,首先假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論”兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立.在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小,如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測值k很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理.2()P Kkk(1)10.828,99.9%kXY如果就有的把握認(rèn)為與 有關(guān)系(2)7.879,99.5%

5、kXY如果就有的把握認(rèn)為與 有關(guān)系(3)6.635,99%kXY如果就有的把握認(rèn)為與 有關(guān)系(4)5.024,97.5%kXY如果就有的把握認(rèn)為與 有關(guān)系(5)3.841,95%kXY如果就有的把握認(rèn)為與 有關(guān)系(6)2.706,90%kXY如果就有的把握認(rèn)為與 有關(guān)系(7)2.706,kXY如果就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示與 有關(guān)系例.為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生,得到如下列聯(lián)表:性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表:由表中數(shù)字計(jì)算K2的觀測值,在多大程度上可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系?為什么?有95%的把握認(rèn)為”性別與是否喜

6、歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”k4.5131212, , ,(2 2):XYx xy y一般地 假設(shè)有兩個(gè)分類變量 和它們的值域分別為和其樣本頻數(shù)列聯(lián)表 稱為列聯(lián)表 為1x2x1y2y若要推斷的結(jié)論為H1:”X與Y有關(guān)系”,可如下操作:1.通過三維柱形圖和二維條形圖,可以粗略地判斷兩個(gè) 變量是否有關(guān)系,但是這種判斷不精確.1x2x1y2yabcd主對角線副對角線(1)在三維柱形圖中,主對角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與 副對角線上兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大,H1成立的 可能性就越大1x2x1y2yabcd11XxYyaab滿足條件的個(gè)體中具有的個(gè)體所占的比例為21XxYyccd滿足條件的個(gè)體中具有的

7、個(gè)體所占的比例為(2)在二維條形圖中,兩個(gè)比例的值相差越大,H1成立的可能性就越大2.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系, 并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體做法是:根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算由22n adbcKabcdacbdnabcd 其中為樣本容量給出的隨機(jī)變量K2的值k,其值越大,說明”X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大.當(dāng)?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)a,b,c,d都不小于5時(shí),可以通過查表來斷言”X與Y有關(guān)系”的可信程度例1.在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂;而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有174人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?解:根據(jù)題目所得數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表:禿頂與患心臟病列聯(lián)表相應(yīng)的三維柱形圖如下:比較來說,副對角線上兩個(gè)柱體高度的乘積要大一些,因此可以在某種程度上認(rèn)為”禿頂與患心臟病有關(guān)”22n adbcKabcdacbdnabcd 其中為樣本容量22,1437214 597 175 45116.3736.635389 1048 665 772Kk根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 得的觀測值為所以有99%的把握