列主元高斯消去法的實現(xiàn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)值分析課程設(shè)計報 告 專業(yè)： 學號： 學生姓名： 指導教師： 一、 題目列主元guess消去法求方程的解 二、 理論 列主元高斯消去法是在高斯消去法的基礎(chǔ)上而得到的一種比較快速合理的解線性方程組的方法。它的基本思想是每次在所在列對角線及以下元素中選擇絕對值最大的元素作為主元進行消元計算。使用列主元消去法相對于高斯消去法更能減少舍入誤差的影響。三、方法、算法與程序設(shè)計 求解Ax=b第一步：寫出增廣矩陣A| b;第二步：判斷增廣矩陣的秩rA|b與A的秩rA的關(guān)系：若rA|b= rA，線性方程組有唯一解；若rA|b>rA，線性方程組沒有解；若rA|b<rA，線

2、性方程組有無窮多解；第三步：若|A|0，方程組有唯一解法一：求出A-1，x=A-1b法二：利用初等行變換將A| b中A化為對角陣計算矩陣行列式：直接調(diào)用Det函數(shù)計算 計算矩陣條件數(shù) ：第一步：求出矩陣的逆矩陣 第二步：分別計算矩陣極其逆的無窮范數(shù)，一范數(shù)和二范數(shù) 第三步：求解矩陣的條件數(shù) Cond(A)=|A-1|*|A| Cond(A)1=|A-1|1*|A|1 Cond(A)2=|A-1|2*|A|2=(max(A的轉(zhuǎn)置*A)/min(A的轉(zhuǎn)置*A)1/2計算機求解第一步：消元 對，進行：步驟：選主元（第列中第個至第個元素中絕對值較大者）步驟：將主元所在行與第行交換步驟：消元 第二步：回

3、代求解流程圖如下： k=1,2,n i=k+1,k+2,n lik=aik/akk得到aik j=k+1,k+2,n+1 aij-aik*akj得到aij三、 算例、應(yīng)用實例 用列主元消去法解線性方程組Ax=b 3.10x1+ 6.03x2+1.99x3=1 1.27x1+ 4.16x2-1.23x3= 1 ; 0.983x1-4.81x2+ 9.34x3=1 3.00x1+ 6.03x2+ 1.99x3=1 1.27x1+ 4.16x2-1.23 x3 = 1.0.990x1 -4.81x2+9.34 x3=1分別輸出A ,b ,detA,解向量x,中A的條件數(shù)。分析比較、的計算結(jié)果。輸出結(jié)

4、果為： A = 3.0000 6.0000 1.0000 1.0000 4.0000 -1.0000 0.0000 -4.0000 9.0000b = 1 1 1X= -16.5489 6.7317 5.8838ans =(矩陣的行列式的值) 2.9967ans =（A的條件數(shù)） 314.3810A = 3.0000 6.0000 1.0000 1.0000 4.0000 -1.0000 0.0000 -4.0000 9.0000b = 1 1 1X= 1.0e+002 * 1.9593 -0.2964 -0.1259ans = -0.4070 雖然兩題中A的數(shù)只差兩個數(shù)，但是結(jié)果完全不同 五

5、、參考文獻 數(shù)值計算方法與算法（第二版） 科學出版社 數(shù)值分析 （第五版） 清華大學出版社六、附錄%高斯列主元消元法求解線性方程組Ax=b%A為輸入矩陣系數(shù),b為方程組右端系數(shù)%方程組的解保存在x變量中format long;%設(shè)置為長格式顯示,顯示15位小數(shù)A=？det(A);cond(A);b=？' m,n=size(A);%先檢查系數(shù)正確性if m=n error('矩陣A的行數(shù)和列數(shù)必須相同'); return;endif m=size(b) error('b的大小必須和A的行數(shù)或A的列數(shù)相同'); return;end%再檢查方程是否存在唯一解

6、if rank(A)=rank(A,b) error('A矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相同,方程不存在唯一解'); return;endc=n+1;A(:,c)=b; %(增廣)for k=1:n-1r,m=max(abs(A(k:n,k); %選主元 m=m+k-1; %修正操作行的值 if(A(m,k)=0) if(m=k) A(k m,:)=A(m k,:); %換行 end A(k+1:n,k:c)=A(k+1:n,k:c)-(A(k+1:n,k)/A(k,k)*A(k, k:c); %消去 endendx=zeros(length(b),1); %回代求解x(n)=A(n,c)/A(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c