列主元高斯消去法的實(shí)現(xiàn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào) 告 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 一、 題目列主元guess消去法求方程的解 二、 理論 列主元高斯消去法是在高斯消去法的基礎(chǔ)上而得到的一種比較快速合理的解線性方程組的方法。它的基本思想是每次在所在列對(duì)角線及以下元素中選擇絕對(duì)值最大的元素作為主元進(jìn)行消元計(jì)算。使用列主元消去法相對(duì)于高斯消去法更能減少舍入誤差的影響。三、方法、算法與程序設(shè)計(jì) 求解Ax=b第一步：寫出增廣矩陣A| b;第二步：判斷增廣矩陣的秩rA|b與A的秩rA的關(guān)系：若rA|b= rA，線性方程組有唯一解；若rA|b>rA，線性方程組沒有解；若rA|b<rA，線

2、性方程組有無窮多解；第三步：若|A|0，方程組有唯一解法一：求出A-1，x=A-1b法二：利用初等行變換將A| b中A化為對(duì)角陣計(jì)算矩陣行列式：直接調(diào)用Det函數(shù)計(jì)算 計(jì)算矩陣條件數(shù) ：第一步：求出矩陣的逆矩陣 第二步：分別計(jì)算矩陣極其逆的無窮范數(shù)，一范數(shù)和二范數(shù) 第三步：求解矩陣的條件數(shù) Cond(A)=|A-1|*|A| Cond(A)1=|A-1|1*|A|1 Cond(A)2=|A-1|2*|A|2=(max(A的轉(zhuǎn)置*A)/min(A的轉(zhuǎn)置*A)1/2計(jì)算機(jī)求解第一步：消元 對(duì)，進(jìn)行：步驟：選主元（第列中第個(gè)至第個(gè)元素中絕對(duì)值較大者）步驟：將主元所在行與第行交換步驟：消元 第二步：回

3、代求解流程圖如下： k=1,2,n i=k+1,k+2,n lik=aik/akk得到aik j=k+1,k+2,n+1 aij-aik*akj得到aij三、 算例、應(yīng)用實(shí)例 用列主元消去法解線性方程組Ax=b 3.10x1+ 6.03x2+1.99x3=1 1.27x1+ 4.16x2-1.23x3= 1 ; 0.983x1-4.81x2+ 9.34x3=1 3.00x1+ 6.03x2+ 1.99x3=1 1.27x1+ 4.16x2-1.23 x3 = 1.0.990x1 -4.81x2+9.34 x3=1分別輸出A ,b ,detA,解向量x,中A的條件數(shù)。分析比較、的計(jì)算結(jié)果。輸出結(jié)

4、果為： A = 3.0000 6.0000 1.0000 1.0000 4.0000 -1.0000 0.0000 -4.0000 9.0000b = 1 1 1X= -16.5489 6.7317 5.8838ans =(矩陣的行列式的值) 2.9967ans =（A的條件數(shù)） 314.3810A = 3.0000 6.0000 1.0000 1.0000 4.0000 -1.0000 0.0000 -4.0000 9.0000b = 1 1 1X= 1.0e+002 * 1.9593 -0.2964 -0.1259ans = -0.4070 雖然兩題中A的數(shù)只差兩個(gè)數(shù)，但是結(jié)果完全不同 五

5、、參考文獻(xiàn) 數(shù)值計(jì)算方法與算法（第二版） 科學(xué)出版社 數(shù)值分析 （第五版） 清華大學(xué)出版社六、附錄%高斯列主元消元法求解線性方程組Ax=b%A為輸入矩陣系數(shù),b為方程組右端系數(shù)%方程組的解保存在x變量中format long;%設(shè)置為長(zhǎng)格式顯示,顯示15位小數(shù)A=？det(A);cond(A);b=？' m,n=size(A);%先檢查系數(shù)正確性if m=n error('矩陣A的行數(shù)和列數(shù)必須相同'); return;endif m=size(b) error('b的大小必須和A的行數(shù)或A的列數(shù)相同'); return;end%再檢查方程是否存在唯一解

6、if rank(A)=rank(A,b) error('A矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相同,方程不存在唯一解'); return;endc=n+1;A(:,c)=b; %(增廣)for k=1:n-1r,m=max(abs(A(k:n,k); %選主元 m=m+k-1; %修正操作行的值 if(A(m,k)=0) if(m=k) A(k m,:)=A(m k,:); %換行 end A(k+1:n,k:c)=A(k+1:n,k:c)-(A(k+1:n,k)/A(k,k)*A(k, k:c); %消去 endendx=zeros(length(b),1); %回代求解x(n)=A(n,c)/A(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c