2019年3月根源杯數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽試題含解析

1、“根源杯”數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽2019年03月一填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）1.連續(xù)擲骰子兩次得到的點數(shù)分別為以幾，作向量。=（見”），則Q與向量8=（2019-2019）的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是.r(0x,y22.已知點4(2,2),/北,0)，0旦宴,滿足1+1/工2,則川的取值范圍是.3 .EIJQIIxr.W卮+LLy/a/a+z-1則*+2,2不2大什l為.4 .拋物線卜2的準(zhǔn)線與軸交尸點力，過人作直線交拋物線戶點M,N,點/?在拋物線對稱軸上,且（而+乎）_!_立比則幣的取值范國是.個.5 .三號實效T兩足-1.則2“一12，一:，2,，一：這三個數(shù)中，入J

2、-1的數(shù)取公有6 .關(guān)于x的方程|12sinx+cos+2sint+1=cos2工的解集是.7 .助。1,02,，。100是1922,1923,，2021的任意排列，部分和數(shù)列S1=Sz=+。2，$3=+（12+。3，一,5100=+。2+,+。100若數(shù)列Sj（1J100）中的每一項都不能被3整除，則這樣的排列有種.cc八8 .如圖，設(shè)圓臺的軸截面為等腰梯形48C。，其中/1B=18,CD=6.若圓臺的高為8,PQ是卜底面與夾角為90。的苴徑，則異面直線尸QOQ所成角的余弦值為.二解答題（本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）9 .（本題滿分16分）試確定是否存

3、在2019個實數(shù)滿足:20192019(T)ElV1,i=1,2,，2019;川-川*=i=1=201810 .（本題滿分20分）設(shè)數(shù)列%,/）滿足:。0=M=1,fln+1=5fln+7bn,bn+l=7an+10fen證明:對任意的m,幾N,Qyn+n+bm+n=amn+brnbn.11 .（本即滿分20分）4,8是橢圓長軸的端點，過A作橢圓的切線人在，上任取一點夕，自。作橢圓的切線PC（。為切點），COJ力3于。.證明：線段P3過。的中點證明：如下圖.“根源杯”數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽2019年03月-填空題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)1 .連續(xù)擲骰子兩次得到的點數(shù)分別為m,m作向

4、量a=(m,n),則a與向量6=(2019,-2019)的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是.7解析：注意到8=2019(1,-1),故只需考慮q與向量(1,-1)的夾角。即可.由于均可取1,2,，6,故向量。有6x6=36個可能的位置.cos0=/7J7=0.1)0m-n/2m2+nvm2+n2-v2o(m-n)20上式顯然恒成立，而不等式m-n0的解的個數(shù)為6+5+4+3+2+1=21.217所以，。與f的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是2=501/(0x,；y0,沙0,由：+-22,得(22)4在平面直角坐標(biāo)系中，格出約束條件下的平面區(qū)域如下圖所示陰影部分，其中不包括點M(2.0),N(0.2

5、).顯然，火川取得最小值，p應(yīng)在曲線c：a-;)卜-;)=上.下面求I。川的最小值：PA2=(x-2)2+(y-2)2=(_芍+(?/_；_?)+(v1)=1時，上式等號成立.1212+2)=9!A1VI2，解得y-2)=4l=經(jīng)檢驗知，這兩組解符合題意，因此，|。川min=等.又顯然。在點八/或N時，|P川取得最大值2,但A1,N兩點不在區(qū)域內(nèi).聯(lián)立方程5-/5-4-5+/5r綜上，歸川的取值范圍是3 .己知工,nWIR+,且+02+z=1,則g/+2zz的最大值為答案:今x2(y+2z)2=解析：由12+/=(12-，知汽2=(1z+一z-)，故(1一z+3/)(33z3y)(y+2z|(

6、y+2z)(1-z+y)+(3-3n-3g)+(0+2z)+(y+2z)=3因此，x/3叫+2x20,貝心21,皿+效=8k.設(shè)點3(0,b),MN中點為。(一4k,一共2+2),由IMA-oBC1MN=b=一4d一2V-6則|潟|的取值范圍是(6,+oo).5 .已知實數(shù)滿足abc=l,貝Ij2a-；,2b-這三個數(shù)中，大于1的數(shù)最多有個.bca答案：2.解析：假設(shè)2a-Qb-；,2c-：都大于1.由q機:=1,知a,b,c中至為有一本是正數(shù)，不妨設(shè)。0,則2c2c-l=c0a從而2626-1=60c因此a,Ac均為正數(shù).由2b得由2a：l,得?一:1,即所以c2c/bbebc得c1.同理，

7、a1,6L2b=21b2c6 .關(guān)于x的方程|12sinx+cos+2sinx+1=cos2n的解集是.答案:xx=2A,兀+凡ArWZ.解析：由原方程得|1-2sinx+cos=cos2x2sini-1=-2sin2x-2sinx=2sinrr(sinx+1)0=1sinx1-2sinx+cosr0=1-2sinx+cost=-2sin2一2sinx=2cos2x-cosi-3=0=COS=:(舍去)，或cosz=1因此，所求方程的解集為/x=2kn+n1keZ.7 .設(shè)1,。2,-，。10。是1922,1923,-.2021的任意排列，部分和數(shù)列Si=+。2，$3=+。2+,Sioo=+。

8、2HF1()()若數(shù)列Sj（1wjw100）中的每一項都不能被3整除，則這樣的排列有種.*099!x33!x34!答案：66!一一解析：令1922,1923,，2021=4（）U解U2,其中4內(nèi)的元素模3與“，=0J2）同余,則也|=Ai|=33,1.A2I=34.設(shè).除以3的余數(shù)為4（=1,2,，100）,則排列S=a1,如，aioo的部分和能否被3整除由排列S=用,心，aloo來決定,由于S中有33個0,33個1和34個2,于是,欲使S的任何部分和數(shù)列不能被3整除，則S中67個1和2組成的數(shù)列應(yīng)為1,1,2,1,2,，1,2或2,2,1,2,1,，2.1,但也|=MJ+1,故只有第二種情況

9、才有可能.33個0除了研/0外，可放在其它任何位置，這樣有C哥種放法.故滿足要求的排列共有嗡X33!X33!x34!=99!x33!x34!66!8 .如圖.設(shè)圓臺的軸截面為等腰梯形A4。，其中??？=18,。=6.若圓臺的高為8,PQ是下底面與43夾隹為60。的直徑，則異面直線PC,OQ所成角的余弦值為.答案：.解析：M3析圖，設(shè)異面直線PGOQ所成角為a,向量PC0Q的夾角為仇以下底面中心O為原點，所在直線為了軸建立空間直角坐標(biāo)系，則于是。(3,0,8),。(一3,0,8),PQ99v/3nPC=髀竽,8）,QD=乙乙1酈析國避困2019i=l因此O-QD=1,而=/127JQ|=二解答題（

10、本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）9 .（本題滿分16分）試確定是否存在2019個實數(shù)回,2，。2?！?滿足:20192019|q|V1,-1,2,，2019;I叫一生-2018i=li=l解析：假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的2019個實數(shù)包,做，曲02019設(shè)Z如=t09去掉絕對值符號，并分開其正負(fù)部，可記為t=ik2019左=q一jj=ti=lj=l其中，縱;如,92)，3/2019-*是，|。2019|的某個排列.從而，由條件得k2019-Jtg+Ei/j=2018+tt=ij=i故k2019-k修=1009+,yj=1009i=lj=l由于0w與1,OJ/Jg

11、=1009+t,2019-kyj=1009t=ij=i10 .（本題滿分20分）設(shè)數(shù)列Qn,心滿足:。=b（）=1,ttn-j-i=5。八+76n,6n+】=ian+106n證明：對任意的m/WN+bm+n=aman+bmbn.證明：固定m+n,下面證明:對任意的kwN,0WkWm+，有m+n+m+n=m+n+bm-nkk對k用數(shù)學(xué)歸納：當(dāng)k=0時，結(jié)論顯然:設(shè)卜=7、時，式成立,。什匕+rn+n=rn+nrr+rnnrr當(dāng)k=r+1（rm+幾）時,7/1+n-rl）brQm+n+m+nrr=（5n7n-Fnr1+7fem-f-nri）Qr+（7fl7n+nr1+lb-=a?.+nr】（5。/+76r）+r1（7。）、+10，、）=Q7.+nr1Qr+1+bmlr+l由式得,m+n+b”，+n=m+nrlr+1+rn-nrlr+1所以式得證.在式中取足=，得Qi+n+m+n=tnQn+616n11 .（本題滿分20分）48是橢圓長軸的端點，過力作橢圓的切線/,在/上任取一點P,自產(chǎn)作橢圓的切線產(chǎn)。（C為切點），CDL46于。.證明：線段尸