二次函數(shù)的教材分析

1、二次函數(shù)二次函數(shù)教材分析教材分析一、本章教學內(nèi)容及一、本章教學內(nèi)容及課時安排課時安排二、本章知識結(jié)構(gòu)二、本章知識結(jié)構(gòu)實際問題實際問題二次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的應(yīng)二次函數(shù)的應(yīng)用用目標目標三、本章的地位和作用三、本章的地位和作用 “ “二次函數(shù)二次函數(shù)”這一章是初中階段所學的有關(guān)函這一章是初中階段所學的有關(guān)函數(shù)知識的重點內(nèi)容之一，學生在學習了正比例數(shù)知識的重點內(nèi)容之一，學生在學習了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后學習二次函函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后學習二次函數(shù)，這是對函數(shù)及其應(yīng)用知識學習的深化和提數(shù)，這是對函數(shù)及其應(yīng)用知識學習的深化和

2、提高，是今后學習其它初等函數(shù)的基礎(chǔ)，因此，高，是今后學習其它初等函數(shù)的基礎(chǔ)，因此，這部分對學生學習函數(shù)內(nèi)容有著承上啟下的作這部分對學生學習函數(shù)內(nèi)容有著承上啟下的作用，對培養(yǎng)和提高學生用函數(shù)模型（函數(shù)思想）用，對培養(yǎng)和提高學生用函數(shù)模型（函數(shù)思想）來解決實際問題，逐步提高分析問題，解決問來解決實際問題，逐步提高分析問題，解決問題的能力有著一定的作用。題的能力有著一定的作用。 四、本章編寫特點四、本章編寫特點（一）（一） 注重結(jié)論的探索注重結(jié)論的探索 在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡單的二次在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。教科書通過設(shè)置觀察、思

3、考、函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。教科書通過設(shè)置觀察、思考、討論等欄目，引導(dǎo)學生探索相關(guān)的結(jié)論。討論等欄目，引導(dǎo)學生探索相關(guān)的結(jié)論。（二）（二） 注重知識之間的聯(lián)系注重知識之間的聯(lián)系 學生在學生在“一次函數(shù)一次函數(shù)”一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程組的聯(lián)系。本方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程組的聯(lián)系。本章專設(shè)一個專題，探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再章專設(shè)一個專題，探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再次展示函數(shù)與方程的聯(lián)系。這樣安排一方面可以深化學生對次展示函數(shù)與方程的聯(lián)系。這樣安排一方面可以深化學生對一元二次方程

4、的認識，另一方面又可以運用一元二次方程解一元二次方程的認識，另一方面又可以運用一元二次方程解決二次函數(shù)的有關(guān)問題。決二次函數(shù)的有關(guān)問題。（三）（三） 注重聯(lián)系實際注重聯(lián)系實際 二次函數(shù)與實際生活聯(lián)系緊密。本章引言選取正方體表面積、二次函數(shù)與實際生活聯(lián)系緊密。本章引言選取正方體表面積、最優(yōu)化、拱橋、噴水等問題展示這種聯(lián)系。在介紹二次函數(shù)最優(yōu)化、拱橋、噴水等問題展示這種聯(lián)系。在介紹二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時也穿插安排了一些實際問題。的圖象和性質(zhì)時也穿插安排了一些實際問題。 課程學習目標：課程學習目標：1 1 通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式，并通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式，

5、并體會二次函數(shù)的意義；體會二次函數(shù)的意義；2 2 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的性質(zhì)；3 3會用配方法確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式會用配方法確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡單的實際問題；不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡單的實際問題；4 4會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。六、本章教學目標六、本章教學目標五、本章重要的數(shù)學思想方法五、本章重要的數(shù)學思想方法 (1)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 (2) 建模思想建模思想 (3

6、)函數(shù)思想函數(shù)思想 (4) 化歸思想化歸思想 (5)配方法配方法中考考試說明中考考試說明對對七、七、本章重點、難點本章重點、難點1 1重點重點: :了解二次函數(shù)的含義了解二次函數(shù)的含義理解二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)理解二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì), ,拋物線圖象的平移問題拋物線圖象的平移問題. .體會一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系體會一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系能用二次函數(shù)解決實際問題能用二次函數(shù)解決實際問題2 2難點難點: :二次函數(shù)圖象特征及其性質(zhì)二次函數(shù)圖象特征及其性質(zhì)對二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解與應(yīng)用對二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解與應(yīng)用. .應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題能解決與其他函數(shù)結(jié)合應(yīng)

7、用二次函數(shù)解決實際問題能解決與其他函數(shù)結(jié)合的問題的問題1 1在利用函數(shù)圖像討論二次函數(shù)的性質(zhì)時，要放慢節(jié)奏，逐在利用函數(shù)圖像討論二次函數(shù)的性質(zhì)時，要放慢節(jié)奏，逐步理解、完善要充分結(jié)合點的坐標的意義及實際問題中步理解、完善要充分結(jié)合點的坐標的意義及實際問題中包含的特定意義，來理解函數(shù)的圖象與性質(zhì)包含的特定意義，來理解函數(shù)的圖象與性質(zhì). .2 2加強數(shù)形結(jié)合的思想，加強數(shù)形結(jié)合的思想，達到數(shù)形互補達到數(shù)形互補，從而提高學生的分，從而提高學生的分析能力析能力 3 3在討論二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標時，要盡量引導(dǎo)在討論二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標時，要盡量引導(dǎo)學生進行學生進行圖象與圖象之間的比較

8、，表達式與表達式之間的圖象與圖象之間的比較，表達式與表達式之間的比較，建立圖形和表達式之間的聯(lián)系，比較，建立圖形和表達式之間的聯(lián)系，以達到學生對二次以達到學生對二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標公式的理解函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標公式的理解4 4注意規(guī)律的理解與總結(jié)注意規(guī)律的理解與總結(jié), ,強調(diào)解決實際問題的注意事項強調(diào)解決實際問題的注意事項. .（如平面直角坐標系的建立，橫軸、縱軸的實際意義，自變（如平面直角坐標系的建立，橫軸、縱軸的實際意義，自變量的取值范圍等）量的取值范圍等）八、教學建議八、教學建議(一一)本章教學建議本章教學建議5. 5.注意與學生已有知識的聯(lián)系，減少對新概念、注意與學生已

9、有知識的聯(lián)系，減少對新概念、 新知識接受的困難。新知識接受的困難。 ( (一次函數(shù)知識、待定系數(shù)法和整式配方、方一次函數(shù)知識、待定系數(shù)法和整式配方、方程和不等式的知識等）程和不等式的知識等）6. 6. 創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實情境，重視解決實際問題的創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實情境，重視解決實際問題的教學，引導(dǎo)學生感受數(shù)學的價值教學，引導(dǎo)學生感受數(shù)學的價值. . （重視學生對基本概念的理解和接受，防止形（重視學生對基本概念的理解和接受，防止形式化的羅列概念，再舉例說明的做法式化的羅列概念，再舉例說明的做法, ,注意讓注意讓學生敘述和交流，在應(yīng)用和問題解決中加深學生敘述和交流，在應(yīng)用和問題解決中加深理解，正確使用）理解

10、，正確使用）7. 7.充分利用教材的空間，積極組織和實施對不同充分利用教材的空間，積極組織和實施對不同學生、不同班級的多樣化教學學生、不同班級的多樣化教學. . 概念的學習盡量結(jié)合本地的具體情境概念的學習盡量結(jié)合本地的具體情境, ,突出學生的突出學生的直觀感知直觀感知, ,引導(dǎo)學生通過探求不同實例中兩個變量引導(dǎo)學生通過探求不同實例中兩個變量之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,總結(jié)概括得出二次函數(shù)的定義總結(jié)概括得出二次函數(shù)的定義, ,并對二并對二次函數(shù)的定義進行辨析次函數(shù)的定義進行辨析, ,加深認識。加深認識。（二）各小節(jié)具體教學建議（二）各小節(jié)具體教學建議22.122.1 二次函數(shù)二次函數(shù)22.2 二次

11、函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)cbxaxykhxayhxaykaxyaxy22222)()(2.用描點法作圖用描點法作圖,過程要明確規(guī)范過程要明確規(guī)范,注重全體學注重全體學生的動手參與生的動手參與,注意加強新舊知識的聯(lián)系注意加強新舊知識的聯(lián)系 。3.每學完一種類型的函數(shù)每學完一種類型的函數(shù),要引導(dǎo)學生不斷總要引導(dǎo)學生不斷總結(jié)結(jié),使其掌握方法。多描多畫使其掌握方法。多描多畫 、交流或教師、交流或教師主動呈現(xiàn)辨析，數(shù)形結(jié)合。主動呈現(xiàn)辨析，數(shù)形結(jié)合。1.重視重視由簡到繁由簡到繁,從特殊到一般的探索過程；從特殊到一般的探索過程；通過通過噴泉的水流、標槍的投擲，最優(yōu)化，拋物線形狀拱橋等問題的探噴泉

12、的水流、標槍的投擲，最優(yōu)化，拋物線形狀拱橋等問題的探究，展示二次函數(shù)與實際的聯(lián)系，并運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以究，展示二次函數(shù)與實際的聯(lián)系，并運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決，提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。解決，提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解要注意解的范圍、解的利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解要注意解的范圍、解的精確度以及如何達到所要求的精確度等。精確度以及如何達到所要求的精確度等。2 22 2.3 .3 實踐與探索實踐與探索(1)列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的

13、實際意義，確定自變量的取值范圍；取值范圍；(2)在在自變量的取值范圍自變量的取值范圍內(nèi)，運用內(nèi)，運用公式法公式法或或通過配方通過配方求出二次函數(shù)的最求出二次函數(shù)的最大值或最小值。大值或最小值。2 2、函數(shù)有四種表示形式：、函數(shù)有四種表示形式：語言表示、表格表示、語言表示、表格表示、圖象表示、代數(shù)式表示。其中后三種是數(shù)學的形式圖象表示、代數(shù)式表示。其中后三種是數(shù)學的形式。九、本章知識點歸納1 1、一般地，、一般地，y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a0)a0)稱為稱為y y是是x x的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線. . 3

14、 3、“五點一線法五點一線法”作二次函數(shù)的圖象步驟：作二次函數(shù)的圖象步驟：（1 1）找出開口方向，求出頂點坐標、對稱軸方程）找出開口方向，求出頂點坐標、對稱軸方程（2 2）根據(jù)圖象的對稱性，從頂點）根據(jù)圖象的對稱性，從頂點 開始，開始， 左右各取四個對稱的點（通常取左右各取四個對稱的點（通常取(0,c)，(x1,0)， (x2,0) ， 四點）（四點）（列表、描點）列表、描點）（3 3）用平滑的曲線連接（連線）用平滑的曲線連接（連線）),(cab)44,2(2abacababacab44,22abx2直線abacabx44,22最小值為時當abacabx44,22最大值為時當4、類比歸納二次函

15、數(shù)五種類型的圖象性質(zhì)、類比歸納二次函數(shù)五種類型的圖象性質(zhì)2yaxk2()ya xh2()ya xhk00向上（ ）、下（ ）平移個單位00向上（ ）、下（ ）平移個單位向右（向右（0）、左（）、左（0）平移個單位平移個單位向右（向右（0）、左（）、左（0）平移個單位平移個單位2yax向右（向右（0 0）、左（）、左（0 0）平移個單位）平移個單位向上（向上（0 0）、下（）、下（0 0）平移個單位）平移個單位5 5、二次函數(shù)五種類型的圖象平移規(guī)律、二次函數(shù)五種類型的圖象平移規(guī)律（一般式）（一般式）y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k（頂點式）（頂點式）配方配方展開展開y=ax2平平 移

16、移平平 移移6. 6.常用的二次函數(shù)解析式的求法：常用的二次函數(shù)解析式的求法： (1)(1)一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c (+bx+c (回避三元一次方程組回避三元一次方程組) ) (2) (2)頂點式：頂點式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k (3) (3)交點式：交點式：y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )說明: 已知任意三點坐標選用一般式；已知任意三點坐標選用一般式； ( (若已知與若已知與y y軸的交點軸的交點, , 可先將可先將c c值直接代入函數(shù)解析式值直接代入函數(shù)解析式, ,使三元使三元方程組變?yōu)槎匠探M變?yōu)槎?

17、 ,從而簡化運算從而簡化運算) ) 已知頂點坐標、對稱軸或最值?？蛇x用頂點式；已知頂點坐標、對稱軸或最值?？蛇x用頂點式； 已知拋物線與已知拋物線與x x軸的兩個交點坐標常選用交點式軸的兩個交點坐標常選用交點式. .一看二次項系數(shù)一看二次項系數(shù)a .(a決定拋物線的開口方向決定拋物線的開口方向) 開口向上開口向上 a a 0 0 開口向下開口向下 a a 0 0 三看常數(shù)項三看常數(shù)項 c. (c決定拋物線與決定拋物線與y軸交點位置軸交點位置)6.二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象“六看六看” :（依形判數(shù)，由數(shù)思形）依形判數(shù)，由數(shù)思形） 軸的負半軸上交點在交點在原點軸正半軸上交點在yccyc, 0,

18、0, 0二看二看a a與與b b的符號的符號:(a:(a與與b b決定對稱軸位置決定對稱軸位置) ) （左同右異）軸右側(cè)；異號，在軸左側(cè)，同號，在ybayba, 五看圖象的走向定函數(shù)的增減性：（以對稱軸為界）五看圖象的走向定函數(shù)的增減性：（以對稱軸為界） 左低右高左低右高 y y 隨隨 x x 增大而增大增大而增大, , 左高右低左高右低 y y 隨隨 x x 增大而減小增大而減小 六看部分圖象對應(yīng)的取值范圍：六看部分圖象對應(yīng)的取值范圍： 圖象端點向圖象端點向 x x 軸引垂線，由垂足對應(yīng)的數(shù)看軸引垂線，由垂足對應(yīng)的數(shù)看x x的的取值范圍取值范圍; ; 圖象端點向圖象端點向 y y 軸引垂線，

19、由垂足對應(yīng)的數(shù)看軸引垂線，由垂足對應(yīng)的數(shù)看y y的的取值范圍取值范圍. .四看四看b2-4ac的符號的符號(b2-4ac決定拋物線與決定拋物線與 x 軸交點的個數(shù)軸交點的個數(shù)) 拋物線與拋物線與 x x 軸有兩個交點，軸有兩個交點， b2-4ac 0 0； 拋物線與拋物線與 x x 軸有一個交點，軸有一個交點， b2-4ac 0 0； 拋物線與拋物線與 x x 軸無交點，軸無交點， b2-4ac 0.0.學生畫圖象中容易出現(xiàn)的問題學生畫圖象中容易出現(xiàn)的問題 1.“1.“三角三角”型型原因：只取了原因：只取了3 3個點，取點太少個點，取點太少 2.“2.“對勾對勾”型型原因：因為頂點坐標不明確，

20、左右取點不對稱原因：因為頂點坐標不明確，左右取點不對稱 3.“3.“怪異怪異”型型原因：（原因：（1 1）坐標計算錯誤）坐標計算錯誤 （2 2）描點時）描點時, ,位置不對位置不對 （3 3）連線時順序不對）連線時順序不對-2二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的幾個特例：的幾個特例： 1 1、當、當x=1 x=1 時，時， 2 2、當、當x=-1x=-1時，時， 3 3、當、當x=2x=2時，時， 4 4、當、當x=-2x=-2時，時，y=a+b+c y=a-b+cy=4a+2b+cy=4a-2b+cxyo 1-12練習：二次函數(shù)練習：二次函數(shù)y=axy

21、=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的圖象如上圖所示，的圖象如上圖所示，那么下列判斷正確的有（填序號）那么下列判斷正確的有（填序號） . .abc0, abc0, b b2 2-4ac0, -4ac0, 2a+b0, a+b+c0,a+b+c0, a-b+c0, 4a+2b+c0, 4a+2b+c0, 4a-2b+c0. 4a-2b+c 0b2 4ac= 0b2 4acoa0 拋物線開口向上拋物線開口向上a0時時a0時時當當-，隨的增大而增大，隨的增大而增大當當?，最小最小當當-，隨的增大而增大，隨的增大而增大當當?，最大最大2ab2ab2ab4a4ac-b2ab2ab2ab4a4ac-b1 1、已知拋物線上的三點，通常設(shè)解析式為、已知拋物線上的三點，通常設(shè)解析式為_2、已知拋物線頂點坐標（、已知拋物線頂點坐標（h, k），通常設(shè)），通常設(shè)拋物線解析式為拋物線解析式為_3、已知拋物線與、已知拋物線與x 軸的兩個交點軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設(shè)解析式為通常設(shè)解析式為_4 4、已知二次函數(shù)圖像上的兩點（、已知二次函數(shù)圖像上的兩點（x x1 1,h,h）(x(x2 2,h),h)，通常設(shè)解析式為通常設(shè)解析式為_5 5、當已知圖象與、當已知圖象與x x軸兩交點的距離為軸兩交點的距離為d d時，時，通