教案微分中值定理

1、教案微分中值定理dardization office IMB 5AB-IMBK 08- IMB 2C一、羅爾定理1.羅爾定理幾何意義：對(duì)于在M刈上每一點(diǎn)都有不垂直于工軸的切線，旦 兩端點(diǎn)的連線與X軸平行的不間斷的曲線/(X)來(lái)說(shuō)，至少存在 一點(diǎn)C,使得其切線平行于X軸，CAB從圖中可以看出：符合條件的點(diǎn)出現(xiàn)在最大值和最小值點(diǎn)， 由此得到啟發(fā)證j月羅爾定理。為應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬(Fermat) 引理回畫(huà)費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)/在點(diǎn)兒的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義并且在X。處可導(dǎo)如果對(duì)任意讓(/(%)有/(x)H)(或/(幻2/)那么/1)=0證明：不妨設(shè)心服)時(shí)，八力)“勇)(若/(心於。),可以類似地此

2、表2學(xué)時(shí)填寫(xiě)一份，“教學(xué)過(guò)程不足時(shí)可續(xù)頁(yè)證明).于是對(duì)于 + Ax w U征)，有/(x0 + Ar)« f(xQ),從而當(dāng)Ax > 0時(shí),/(4+刈-/(4)«0；而當(dāng) Axv0 時(shí),根據(jù)函數(shù)/W在4處可導(dǎo)及極限的保號(hào)性的得/ Uo)= /-(A-o)= Bm C"-曳20 ,所以/ (%)=0,證畢.>o Ax定義導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)).羅爾定理如果函數(shù)/滿足：(1)在閉區(qū)間m用上連續(xù)(2) 在開(kāi)區(qū)間(,)內(nèi)可導(dǎo)(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 /=/那么在(。內(nèi)至少在一點(diǎn)夕使得函數(shù)/在該點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)等于零，即/4) =

3、0證明：由于在S上連續(xù)，因此必有最大值M和最小值川，于是有兩種可能的情形：(I) M=m,此時(shí)/ 在,以上必然取相同的數(shù)值M,即 fM = M.由此得f'a)=o.因此，任取我(。,3,有rc)=o.M >m,由于= 所以M和機(jī)至少與一個(gè)不等于/a)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.不妨設(shè)時(shí)黃/(若，"/,可類似 證明)，則必定在他加有一點(diǎn)4使 用)=".因此任取有/(A-) </(?)，從而由費(fèi)馬引理有/'=0 .證畢【例1】驗(yàn)證羅爾定理對(duì)/(幻=/-21-3在區(qū)間-1.3上的正確性解顯然/。)= /一2工-3=3)(1+1)在T,3上連續(xù),在(-L3)

4、上可導(dǎo),且/(-I)=上3) = 0,又7(x) = 21-1),取4=1, (1 e (1,3),有說(shuō)明：1若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，其結(jié)論可能不成 立；2使得定理成立的j可能多于一個(gè)，也可能只有一個(gè).【例2】證明方程.-5x+l = 0有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證明：設(shè)x) = x'-5x + l,則/(只在0上連續(xù)，旦/(0) = 1,/(1) = -3.由介值定理存在,% £(0,1)使/(.%) = 0,即為方程的小于1的正實(shí) 根.設(shè)另有七£(0),X| wx(),使外)=0.因?yàn)?(%)在為之間滿足 羅爾定理的條件，所以至少存在一個(gè)(在與內(nèi)之

5、間)使得rq=o.但/'a)= 5(-l)<0,(xe(0.1),矛盾，所以，%為方程的唯一實(shí)根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理在羅爾定理中，第三個(gè)條件為件ii)/() = /S),然而對(duì)一般的 函數(shù)，此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個(gè)條件，這 樣，結(jié)論相應(yīng)地要改變，這就是拉格朗日中值定理： 定理2 ：若函數(shù)滿足：(i)x)在/上連續(xù)；(II) /(x)在/)上可導(dǎo)；7.，則在(/)內(nèi)至少存在一點(diǎn)七，即/一/=re一。)V若此時(shí)，還有/(a) = /S),“=(&) = 0。可見(jiàn)羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情況，因而用羅爾中值定理來(lái)證 明之。

6、證明：上式又可寫(xiě)為(1)/(x) =二/("%_)(2)作一個(gè)輔助函數(shù)：=> 廣.)_")/(")=0或b-a") 一 /()顯然，尸(幻在。,切上連續(xù)，在(?？?上可導(dǎo)，且=尸(幻=尸3),所以由羅爾中值定理.在3初內(nèi)至少存在一點(diǎn)打使 得尸侑)=0。又(幻=/'(X)-二”")(3)(4)也可寫(xiě)成f(b) f3 = f'4)(b G注1 ：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；2：定理中的結(jié)論，可以寫(xiě)成/(b) - fa) =- a) (a << b),此式也稱為拉格朗日公式，其中4可寫(xiě)成：=f(b) - /

7、(«) = fa + e(b-ay)(b - a) 若令 b = a + h, = f (a + /?)- f(a) = f'(a + 0h)h3 ：若定理中的條件相應(yīng)地改為：/*)在g,a上連續(xù), 在 S，4)內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為：f(a)-f(b) =-b)可見(jiàn)，不論。涉哪個(gè)大，其拉格朗日公式總是一樣的。這時(shí)，J為 介于，力之間的一個(gè)數(shù)，(4)中的力不論正負(fù)，只要/(X)滿足條件, (4)就成立。4 ：設(shè)在點(diǎn)工處有一個(gè)增量Aa，得到點(diǎn)x + Av,在以工和x + Av 為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有即 )，=+電X) Ar這準(zhǔn)確地表達(dá)了與和Ax這兩個(gè)增量間的關(guān)系，故該

8、定理又稱為微分中值定理。5 ：幾何意義：如果曲線y = /(x)在除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)都有不平 行于y軸的切線，則曲線上至少存在一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線平行于兩端 點(diǎn)的連線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論1 :如果y = /(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為0,則fW在/上是一 個(gè)常數(shù)。證明：在/中任取兩點(diǎn)苔,X2(x <x2), y = /(x)在和與連 續(xù)，在(,)可導(dǎo)，由拉格朗曰中值定理，則在(西，工2)內(nèi)至少存在 一點(diǎn)g,使得由假設(shè)可知在/上,/'(X)三0,從而在(占,X2)上,/'(X)三0,=/紜)=0 ,所以/(X) /(%) = 0 0 fW = f(x0),可見(jiàn)，/3)在/

9、上的每一點(diǎn)都有：x) = /(x。)(常數(shù))?！纠?】證明當(dāng)x >。時(shí)< ln(l + z) <.1 + 了證：設(shè)/Q) = ln(l + M,顯然在0, x上滿足拉格朗日中 值定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn) e (0,。)使，：一：0 ='(8X 0由于M = 1 + Cln(l +x) Lnl x 又由于0<專1 1 d<<11+11+S,/(。) = 0 ,"=去，代入上式有 1ln(14- x) 1=而即二定所以 < 皿 1 + < 1 即 < ln(l +1) < 61 + c xl-x 注：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)/

10、(i) ; (2)正確確定區(qū)間左右端點(diǎn)，利用TH2可得三、柯西中值定理定理3 ：若/，尸(x)滿足：在他M上連續(xù)；在3內(nèi)可導(dǎo);(3) xe(a,b)Fx) w 0則在S，切內(nèi)至少存在一點(diǎn)久使得 產(chǎn) =F F(b) - F(a)證明：令*)= *)一?"尸")/*),顯然，夕(幻在他向F(b) - Fa上連續(xù)，旦9(x)在(“,)內(nèi)可導(dǎo)，更進(jìn)一步還有夕(幻=夕("),事實(shí) 上，所以以外滿足羅爾定理的條件，故在(力)內(nèi)至少存在一點(diǎn)<,使得使4) = 0,又/-/ Fb-Fa尸(x) /(x) =/一/F(b) - F(a)F'e)re)=o 因一尸 3) 尸()注1 ：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，事實(shí)上，令 F(X)= X,就得到拉格朗日中值定理；2：幾何意義：若用a<x<b)表示曲線c,則其 Y = r(x)幾何意義同前一個(gè)。【例 4】 證明arcsinx + arccosx = (-1 <x< 1) o 2證 ： 令/'(x) = arcsinx + arcc0sxi.小由推論知f(x)二常數(shù)！再由0) = g,故乃 arcsmx + arccosx = o 2 -例5若方程(/"+ "”_X =。有一