中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)最值問(wèn)題探索動(dòng)點(diǎn)的軌跡

1、最值問(wèn)題（探索動(dòng)點(diǎn)軌跡）輔助圓（隱圓）一、從圓的定義構(gòu)造圓圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合.構(gòu)造思路：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.例1、如下左圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ZA=60°, M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN 沿MN所在直線翻折得到4A,MN，連接A'C,則AC長(zhǎng)度的最小值是.例2、如上右圖，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分別是直線BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE=2, AEQ 沿EQ翻折形成FEQ，連接PF、PD,則PF+PD的最小值是.二、定邊對(duì)直角知識(shí)回顧：直徑所對(duì)的圓周角是直

2、角.構(gòu)造思路：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.圖形釋義:AB若AB是一條定線段，且NAPB=90°,則U P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓.例1、如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF,連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE 交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是例2、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD 向終點(diǎn)B、D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG, 則AG長(zhǎng)的最小值為.例3、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)

3、E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AF±BE于點(diǎn)F，點(diǎn)P 是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PF的最小值為三、定邊對(duì)定角在“定邊對(duì)直角”問(wèn)題中，依據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，關(guān)鍵性在于尋找定邊、直角，而根據(jù)圓周角定理: 同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相.定邊必不可少，而直角則可一般為定角.例如，AB為定值， ZP為定角，則A點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓.當(dāng)然，NP度數(shù)也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°,下分別作對(duì)應(yīng)的軌跡圓.若ZP=30°,以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB, O即為圓心.若ZP=45°,以AB為斜

4、邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB, O即為圓心.若NP=60°,以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB, O即為圓心的等腰三角形AOB,O即為若NP =120°,以AB為底，異側(cè)為邊構(gòu)造頂角為120°圓心.例1、如圖， ABC為等邊三角形，AB=2,若P為工ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足NPAB =NACP,則線段PB長(zhǎng)度的最小值為例2、如圖，AB是圓O的直徑，M、N是弧AB （異于A、B）上兩點(diǎn)，C是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，NACB的角 平分線交圓O于點(diǎn)D,NBAC的平分線交CD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是四、從動(dòng)模型

5、之軌跡為圓【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)尸、0，可稱點(diǎn)尸為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)0為“從動(dòng)點(diǎn)”.此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量(NPAQ是定值);主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量(AP:AQ是定值).【結(jié)論】(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角:N PAQ =N OAM；(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比:AP: AQ=AO: AM,也等于兩圓半徑之比.按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，0與尸的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.【思考1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

6、，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊 APQ.考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析Q點(diǎn)滿足(1)NPAQ=60°； (2) AP=AQ，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：考慮NPAQ=60°,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足NMAO=60°；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APO/ AQM.小結(jié)可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ 的位置和數(shù)量關(guān)系.【思考2】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角AP0.考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)

7、動(dòng)時(shí)，如何作出Q點(diǎn)軌跡?【分析】Q點(diǎn)滿足(1)NPAQ=45°； (2) AP:AQ = <2 ： 1,故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓.連接AO,構(gòu)造NOA"=45°且AO:AM= Q ： 1. M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有AOPAAMQ.即可確定點(diǎn)Q的軌跡圓.A例1、如下左圖，正方形ABCD中，AB 2<5 , O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DR連接AE、CF.求線段OF長(zhǎng)的最小值.ED例2、如下右圖，k4BC中，AB=4, AC=2,以BC為邊在 ABC外作正方形BCDE, B

8、D、CE交于點(diǎn)O,則 線段AO的最大值為A五、軌跡之線段篇必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于/PAQ （當(dāng)NPAQW90°時(shí)，/PAQ等于MN與BC夾角）B PCP、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ （由AABCAAMN，可得AP:AQ=BC:MN）例1、如圖，在等邊/BC中，AB =10, BD=4, BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD3 PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊 DPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是例2、

9、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1, F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接石尸，以EF為邊向右側(cè)作等邊 EFG，連接CG則CG的最小值為例3、如圖，在團(tuán)ABCD中，BC=61月，對(duì)角線BD =10, tanZDBC=，點(diǎn)E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接 DE，過(guò)點(diǎn)D作DP±DE，在射線DP上取點(diǎn)F,使得ZDFE =ZDBC,連接。£則4DCF周長(zhǎng)的最小 值為.【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DN±BC,交BC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)F作FM±/D,交延長(zhǎng)線與點(diǎn)M,作C點(diǎn)關(guān)于直線MF的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD與MF交點(diǎn)即為F；VtanZDBCg, BD =10,DN=2

10、9; 5, BN=4' 5,BC=6： 5,:.CN =2;'虧，:.CD=2 / 10,V CF = C' F,. DCF周長(zhǎng)=CD+DF+CF=2一T0+DC,此時(shí)周長(zhǎng)最小；V DM BC,?.Z DNM=/ DNB=90°,VN DFE =Z DBC,. BDNDNM (AAS),.DM= BN=4,.; 5,.NC=6：二在白 DC'N 中，CD =10 2,. DCF周長(zhǎng)的最小值為2 .TO+10 ；： 2,故答案為 2；Ici+10'.;1.堂堂堂1、如圖，在RS ABC中，NC=90°, AC=6, BC=8,點(diǎn)F在邊A

11、C上，并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)， 將CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是.2、如圖，在RSABC中，NACB=90°, BC=4, AC=10,點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O, 連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值為.3、如圖，等邊皿。邊長(zhǎng)為2, E、F分別是BC、CA上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,連接AE、BF,交點(diǎn)為P點(diǎn), 則CP的最小值為4、如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC= 2<2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半 圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.P5、如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為

12、2V3的一個(gè)定點(diǎn)，AC±x軸于點(diǎn)M,交直線歹=-x于點(diǎn)N, 若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAPB=30°, BA±PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變， B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.6.在平面直角坐標(biāo)系中，A (1, 0), B (0,/3),過(guò)點(diǎn)B作直線BCx軸，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AP 為邊在 AP 右側(cè)作 RtAAPQ，使NAPQ=90°,且 AP： PQ =1： ；3,連結(jié) AB、BQ，則4ABQ 周 長(zhǎng)的最小值為.【分析】設(shè)P (m，,巧).作AMLBC于M, QN±BC于N.利用新

13、三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)推出， 點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線歹=-&+5,：，作點(diǎn)A關(guān)于直線歹=-.：%+5廠后的對(duì)稱點(diǎn)A ,連接BA ,交 直線于Q/,連接AQ,此時(shí) ABQ的周長(zhǎng)最小.【解答】解：設(shè)P (m, 1耳).作AMLBC于M, QNLBC于N.VZ AMP =N APQ =N QNP = 90°, / APM+ Z NPQ=90°,Z NPQ +Z PQN=90°,AZ APM=Z PQN, AMP M PNQ, .幽=電=型=工PM NQ PQ ,.二工！=工PN NQ /3 .PN = 3, NQ ='.; 3 (m - 1),；.Q

14、(m+3, 2= 3 -二 Mm),，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是y =- r' X+51:3,作點(diǎn)A關(guān)于直線y =-'；2+5'；虧的對(duì)稱點(diǎn)A ,連接BA ,交直線于Q/,連接AQ,此時(shí) ABQ的 周長(zhǎng)最小. 二A' (7, 2,: 3), B (0, 43), A (1, 0),二A ' B = ；/+(.屈 2=2"3, Ab = ：2+C=2, ABQ 的周長(zhǎng)的最小值=AQ' +BQ' +AB = A' Q' +BQ' +AB = A / B+AB=2 / 13+2,故答案為2'.;l3+2.【鞏固練

15、習(xí)】1、如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB=5, AC=4. D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD, 過(guò)點(diǎn)C作CELAD于E,連接BE.在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為.2、在AABC中，AB=4,NC=60°,NA>NB,則BC的長(zhǎng)的取值范圍是.3、如圖，點(diǎn)P (3,4),圓P半徑為2, A (2.8,0), B (5.6,0),點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)， 則AC的最小值是.4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A (-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上， 以AB為邊在AB的下方作等邊4ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的最小值為.5、P,使

16、AD=PD,則PB的取值范圍為如圖所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)6、如圖，已知等邊4ABC的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合).直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把4ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B.當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，AACB面積的最大值為8、如圖，點(diǎn)O為原點(diǎn)，OO的半徑為1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,動(dòng)點(diǎn)B在OO上，以AB為邊作等邊ABC （順時(shí)針），則線段OC的最小值為9、如圖，AB=2, BC=4, A 是OB 上任二一點(diǎn)，點(diǎn)C為OB外一點(diǎn)，4ACD為等邊7、如圖，邊長(zhǎng)為5的等邊三角形ABC中，M

17、是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB,將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是A. 4 . 3+4C 4/3+8D. 6'3三角形，則BCD的面積的最大值為()10、如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm, AD=4cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O,點(diǎn)F 為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF,過(guò)點(diǎn)E作EGLEF, EG與圓O相交于點(diǎn)G,連接CG.(1)試說(shuō)明四邊形EFCG是矩形；(2)當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，矩形EFCG的面積最小值為點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)為.爪補(bǔ)充練習(xí)

18、:1 .如圖，在 ABC中巧，NBAC =90°, D是BC的中點(diǎn)，E是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC, 將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到尸C,連接DR則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF的最小值 是.2 .如下左圖，邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P在CD邊上，以AP為直角邊向上作等腰RtAPE，邊PE與BC交于點(diǎn)方，連接BE.則線段BE在運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最小值為.3 .如下右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，目AE = CF,連接EF,將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接DG，則線段DG長(zhǎng)的最小值為.4、如圖，正方形ABCD中AB=2,:5, O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng) 點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90