第七章線性變換教案7.3

1、的線性變換的線性變換. 則對(duì)任意則對(duì)任意 存在唯一的一組數(shù)存在唯一的一組數(shù)V 1設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間V的一組基，為的一組基，為V12,n 使使12,nx xxP 1 122nnxxx從而，從而，1122( )()()().nnxxx 2設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間V的一組基，為的一組基，為 ,n 12,V的線性變換，若的線性變換，若 ()(),1,2, .iiin 則則 .(),1,2,iiin 分析分析 1 122,nnVxxx 設(shè)設(shè):,VV 定義定義 1122nnxxx ，12,n 都存在線性變換使都存在線性變換使 任意任意n個(gè)向量個(gè)向量3設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間V的一組基，對(duì)的一組基，對(duì)

2、V中中n 12,易知為易知為V的一個(gè)變換且它是線性的的一個(gè)變換且它是線性的. 由由2與與3即即得得設(shè)設(shè)為線性空間為線性空間V的一組基，的一組基，12,n 對(duì)對(duì)V中任意中任意n個(gè)向量存在唯一的線性個(gè)向量存在唯一的線性12,n 1,2, .iiin ，變換使變換使 , 設(shè)為數(shù)域設(shè)為數(shù)域P上線性空間上線性空間V的一組基，的一組基， 12,n 為為V的線性變換的線性變換. 基向量的象可以被基線性表出基向量的象可以被基線性表出,設(shè)設(shè)用矩陣表示即為用矩陣表示即為 11 1212112122221122()()()nnnnnnnnnn 1 12 2 121212,nnnA 其中其中 111212122212

3、,nnnnnnA 單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣；單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣； 零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣；零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣； 矩陣矩陣A稱(chēng)為稱(chēng)為線性變換在基下的矩陣線性變換在基下的矩陣. 12,n 在取定一組基下在取定一組基下 的矩陣是唯一的的矩陣是唯一的. 數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)量矩陣；數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)量矩陣； 例例1. 設(shè)線性空間設(shè)線性空間 的線性變換為的線性變換為 3P1231212(,)(,)x xxx xxx 求在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣求在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣. 123, 例例2. 設(shè)為設(shè)為n維線性空間維線性空間

4、V的子空的子空12,()mmn 間間W 的一組基，把它擴(kuò)充為的一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基：的一組基： 12,.n 并定義線性變換：并定義線性變換： 1,2,01,iiiimimn 121211,00nn 則則 m行行稱(chēng)這樣的變換為稱(chēng)這樣的變換為對(duì)子空間對(duì)子空間W的一個(gè)投影的一個(gè)投影. 易驗(yàn)證易驗(yàn)證 2. 練習(xí)練習(xí) P322頁(yè)第頁(yè)第9題題 設(shè)設(shè)為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上線性空間上線性空間V的一組的一組12,n 的唯一一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)，且具有以下性質(zhì)：的唯一一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)，且具有以下性質(zhì)：基，在這組基下，基，在這組基下，V的每一個(gè)線性變換都與的每一個(gè)線性變換都與 中中n nP 線性變換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和；線性變

5、換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和； 線性變換的乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的乘積；線性變換的乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的乘積； 線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積； 可逆線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)可逆線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣于逆矩陣. 定理定理3 設(shè)線性變換在基設(shè)線性變換在基 下的矩陣為下的矩陣為A,12,n 在基下的坐標(biāo)為在基下的坐標(biāo)為12,n V 12(,),nx xx( ) 在基下的坐標(biāo)為在基下的坐標(biāo)為12,n 12(,),nyyy則有則有 1122nnyxyxAyx. .下的矩陣分別為下的矩陣分別為A、B，且從基，且從基() 到基到基()的過(guò)渡的過(guò)渡

6、矩陣矩陣是矩陣矩陣是X，則，則1.BXAX 12,n ()12,n , ,() 定理定理4 設(shè)線性空間設(shè)線性空間V的線性變換在兩組基的線性變換在兩組基 設(shè)設(shè)A、B為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的兩個(gè)上的兩個(gè)n級(jí)矩陣，若存在可逆級(jí)矩陣，若存在可逆 矩陣矩陣 使得使得 ,n nXP BXAX -1-1則稱(chēng)矩陣則稱(chēng)矩陣A相似于相似于B，記為，記為 AB. .（1）相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足如下三條性質(zhì)：相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足如下三條性質(zhì)：(2)(2) 線性變換在不同基下的矩陣是相似的；線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣.反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作（3）相似矩陣的運(yùn)算性質(zhì)相似矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 若若 則則111122,BXA XBXA X11212(),BBXAA X 1( )( ).f BXf A X 即，即，12121212,.AABBA AB B特別地，特別地， 1.mmBXA X 11212().B BXA A X 若則若則 1,( ) ,BXAXf xP x 例例3.設(shè)設(shè) 為線性空間為線性空間V一組基，一組基， 線性變換在線性變換在 12, 這組基下的矩陣為這