微積分下冊(cè)期末試卷試題及答案[1]

1、1、已知,則_.2、已知,則_.3、函數(shù)在點(diǎn)取得極值.4、已知,則_.5、以(為任意常數(shù))為通解的微分方程是_.6 知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是( c ).(A) (B) (C) (D) 7 數(shù)在原點(diǎn)間斷,是因?yàn)樵摵瘮?shù)( b ).(A) 在原點(diǎn)無(wú)定義 (B) 在原點(diǎn)二重極限不存在 (C) 在原點(diǎn)有二重極限,但無(wú)定義(D) 在原點(diǎn)二重極限存在,但不等于函數(shù)值8、若,則下列關(guān)系式成立的是( a). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(d ). (A) (B) (C) (D) 10、設(shè)收斂，則(d ).(A) 絕對(duì)收斂 (B) 條件收斂 (C) 發(fā)散 (D) 不定一、填空題(每小題3

2、分,共15分)1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.11、求由,所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：的函數(shù)為。且時(shí)，。于是 12、求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由確定，求.解：設(shè)，則 ， ， ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數(shù)法求在條件下的極值.解： 令,得,為極小值點(diǎn). (3分)故在下的極小值點(diǎn)為,極小值為 (6分)15、計(jì)算.解： (6分)6、計(jì)算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級(jí)數(shù)的斂散性.解： (3分) 因?yàn)?19、將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),并求展開(kāi)式成立

3、的區(qū)間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通過(guò)電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式做銷(xiāo)售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,銷(xiāo)售收入(萬(wàn)元)與電臺(tái)廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)的及報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗(yàn)公式:，求最優(yōu)廣告策略 解：公司利潤(rùn)為令即得駐點(diǎn),而 (3分),所以最優(yōu)廣告策略為：電臺(tái)廣告費(fèi)用(萬(wàn)元),報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬(wàn)元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設(shè)，證明：.證：22、若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設(shè)知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)1、設(shè)，則_.2、已知，則_.3、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值，則常數(shù)4、已知,則_5、以(為任意常數(shù))為通解的微

4、分方程是_.6、已知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 7、對(duì)于函數(shù),點(diǎn)( ).(A) 不是駐點(diǎn) (B) 是駐點(diǎn)而非極值點(diǎn) (C) 是極大值點(diǎn) (D) 是極小值8、已知,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對(duì)收斂 (C) 發(fā)散 (D) 斂散性不定11、求,所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.12、求二重極限. 13、設(shè),求.14、用拉格朗日乘數(shù)法求在滿足條件下的極值.15、計(jì)算.16、計(jì)算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)

5、域.17、解微分方程.18、判別級(jí)數(shù)的斂散性.19、將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).20、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,單位售價(jià)分別為40元和60元,若生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品,生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品的總費(fèi)用為,試求出甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí)該工廠取得最大利潤(rùn).21、設(shè),證明.22、若與都收斂,則收斂.（可能會(huì)有錯(cuò)誤大家一定要自己核對(duì)）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則 。（）2、計(jì)算廣義積分= 。（）3、設(shè)，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、設(shè)，則_。（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數(shù)在點(diǎn)可微的 （ A ）。 A

6、.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程有三個(gè)特解，則其通解為 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、無(wú)窮級(jí)數(shù)(為任意實(shí)數(shù)) （D）A、收斂 B、絕對(duì)收斂 C、發(fā)散 D、無(wú)法判斷 三、計(jì)算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分）2、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得:,有 （3分）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得:,有 （6分）4、求

7、函數(shù)的極值。解：，則， 求駐點(diǎn)，解方程組得和. （2分）對(duì)有，于是，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且 （4分）對(duì)有，于是， 不是函數(shù)的極值點(diǎn)。 6、計(jì)算積分,其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域；解：. （4分） （6分）7、已知連續(xù)函數(shù)滿足，且，求。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導(dǎo)得：即 （2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，則，于是原方程可化為： （3分） 即，其通解為 （5分） 即故原方程通解為： （6分）9、求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解：令,冪級(jí)數(shù)變形為,. （3分）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為發(fā)散. 故的收斂區(qū)間是, （5分）那么的收斂

8、區(qū)間為. （6分）10、 判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對(duì)收斂還是條件收斂。解：因?yàn)?（2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證明級(jí)數(shù)也收斂。證：， （3分）而由已知收斂，故由比較原則，也收斂。 （5分）2、設(shè),其中為可導(dǎo)函數(shù), 證明.證明：因?yàn)? （2分） （4分）所以. （5分）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則 。（）2、計(jì)算廣義積分= 。（）3、設(shè)，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、級(jí)數(shù)的和為 。（）二、選擇題(每小題3分,共15分)

9、1、的值為 （ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且連續(xù)是函數(shù)在點(diǎn)可微的 （ B ） A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （ B）A. ； B. ；C、； D. 4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程有三個(gè)特解，則其通解為 （D） A、； B、； C、 ； D、5、無(wú)窮級(jí)數(shù)(為任意實(shí)數(shù)) （A）A、無(wú)法判斷 B、絕對(duì)收斂 C、收斂 D、發(fā)散三、計(jì)算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分） 2、求由在區(qū)間上,曲線與直線、所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解： （4

10、分） （6分）3、求由所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：（一）令則 ， ， 利用公式，得 （3分） （6分）（二）在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得 解出 ， （3分）同理解出 （6分）4、求函數(shù)的極值。解：，則，求駐點(diǎn)，解方程組得和. （2分）對(duì)有，于是，所以點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn). （4分）對(duì)有，于是，且，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極小值, （6分） （5分）6、計(jì)算二重積分,其中是由及所圍成的閉區(qū)域；解： （4分） （6分）7、已知連續(xù)函數(shù)滿足，求。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導(dǎo)得：即 （2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求微分方程的通解。解 這是一個(gè)不明顯含有未知函數(shù)的方程作變換 令 ，則，于是原方程降階為 （3分）， 分離變量，積分得 即 ，從而 （5分）再積分一次得原方程的通解 y （6分）9、求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解：令,冪級(jí)數(shù)變形為,. （3分）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為發(fā)散. 故的收斂區(qū)間是, （5分）那么的收斂區(qū)間為. （6分）10、 判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕