平面幾何(4個(gè)定理)

1、平面幾何三角形五心 重心：中線 2:1 外心：垂直平分線 垂心：高線 內(nèi)心：角平分線 旁心：兩外角平分線第三內(nèi)角平分線 1.梅涅勞斯定理ABCBCCAABDEFDEFAF BD CE=1FB DC EA在的三邊，或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)， ， ，則 ， ， 三點(diǎn)是充要條件共線的BACDEFBACDEF“頂?shù)椒郑值巾敗泵纺鶆谒苟ɡ肀匾宰C明AF BD CE=1FB DC EABACDEFG方法1：平行 比例AFAG=FBBDAG BDAG=BD DCDCAGAE=DCECAE CE=1EC EA證明：H梅涅勞斯定理必要性證明AF BD CE=1FB DC EABACDEF方法2：垂直 平行 比例ahb

2、hchAF=FBBDDCCE=EAabbccahhhhhh證明：梅涅勞斯定理必要性證明AF BD CE=1FB DC EABACDEF方法3：等高三角形 線段比=面積比AF=FBBDDCCE=EAAFDBFDDBFDCFCEDCEFCEDCEFCDFEADEAFEADEAFAFDSSSSSSSSSSSSSS證明：梅涅勞斯定理充分性證明AF BD CE=1FB DC EABACDEF方法：同一法PDEABPAP BD1PB DC EAF BD1DC EAPAFABABPBPBFDEFCEACEFBAFBFBPBFBP證明：設(shè)交于 。由梅涅勞斯定理得：與 重合， ， 三點(diǎn)共線梅涅勞斯定理BACDE

3、F作用：1.證明三點(diǎn)共線2.導(dǎo)出線段比例關(guān)鍵：1.三角形2.截線2、塞瓦定理設(shè)、E、F分別是ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)，則AD，BE，CF相交于一點(diǎn)O的充要條件是B DC EA F=1D CE AF BABCODEF塞瓦定理必要性證明B DC EA F=1D CE AF BABCODEFADCBOECB DO AE=1 1BD OA ECABDCOFBC DO AF=12CD OA FBBD CE AF2 /1=1DC EA FB證明：被所截，（ ）被所截，（ ）（ ） （ ）：法1：梅涅勞斯定理塞瓦定理必要性證明B DC EA F=1D CE AF B方法2：等高三角形 線段比=面積比

4、塞瓦定理充分性證明B DC EA F=1D CE AF BABCODEFBECFOAODBDAF=11D C EABDAF=1DC EABDBDD CDCBCBCD CDCDBCCFBCFBD證明：與相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于（ ）（2）與重合D塞瓦定理BACDEF作用：1.證明三線共點(diǎn)2.導(dǎo)出線段比例關(guān)鍵：1.三角形2.共點(diǎn)例：證明三角形的中線交于一點(diǎn)。1111111111111111111111,1ABCAABBCCACBACBC BAC B AACC B BAAC CBB AACBACBABCC BAC B A證明：記的中線，只須證明而顯然有：即成立，交于一點(diǎn)3、托勒密定理ABCDAB

5、CD+BC ADAC BDABCD凸四邊形中，恒有，等號(hào)成立的充要條件是四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓。證：作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,連接DE.則ABEACD BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD,ABCAED.BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因?yàn)锽E+EDBD例：已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+ABBC。BCAD4.西姆松定理從三角形ABC外接圓上一點(diǎn)P，作BC，AC，AB的垂線，設(shè)垂足一次為L(zhǎng),M,N,則三點(diǎn)在一條直線上。（逆定理也成立）證明：若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則PBN = PCM。因PL BC，PM AC，PN AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有PBN =PLN =PCM=PLM.故L、M、N三點(diǎn)共線。4.西姆松定理（逆定理）從三角形ABC外接圓上一點(diǎn)P，作BC，AB，AC的垂線，設(shè)垂足一次為L(zhǎng),M,N,則三點(diǎn)在一條直線上。（逆定理也成立）證明：若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL BC，PM AC，PN AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有PBN = PLN = PL