第三章整數(shù)規(guī)劃

1、整整 數(shù)數(shù) 規(guī)規(guī) 劃劃 3.1 3.1 整數(shù)規(guī)劃問題的提出整數(shù)規(guī)劃問題的提出一、整數(shù)規(guī)劃問題的特征：一、整數(shù)規(guī)劃問題的特征： 變量取值范圍是離散的，經典連續(xù)數(shù)學中變量取值范圍是離散的，經典連續(xù)數(shù)學中的理論和方法一般無法直接用來求解整數(shù)規(guī)的理論和方法一般無法直接用來求解整數(shù)規(guī)劃問題。劃問題。二、建模中常用的處理方法：二、建模中常用的處理方法： 1 1、資本預算問題：、資本預算問題： 設有設有n n個投資方案，個投資方案，c cj j為第為第j j個投資方案的收個投資方案的收益。投資過程共分為益。投資過程共分為m m個階段，個階段，b bi i為第為第i i個階段個階段的投資總量，的投資總量，a

2、aijij為第為第i i階段第階段第j j項投資方案所項投資方案所需要的資金。目標是在各階段資金限制下使需要的資金。目標是在各階段資金限制下使3.13.1二、建模中常用的處理方法：二、建模中常用的處理方法： （續(xù)）（續(xù)）整個投資的總收益最大。整個投資的總收益最大。njxmibxatsxczjxjnjijijnjjjj,2,110,2,1.max0,111或得到模型：，否則項投資對第設決策變量3.13.1二、建模中常用的處理方法：二、建模中常用的處理方法： （續(xù)）（續(xù)）1000nijjijijijijiiia xbiaijaabibb約 束反 映 第 階 段 資 金 增 長 量 的 平 衡 。代

3、 表 在 第 時 期 內 第 項 投 資 的 凈 資 金 流 量 ：表 示 需 附 加 資 金 ；表 示 產 生 資 金表 示 第 階 段 外 源 資 金 流 量 的 增 長 量 ：表 示 有 附 加 資 金表 示 要 抽 回 資 金3.13.1二、建模中常用的處理方法：二、建模中常用的處理方法： （續(xù)）（續(xù)）2 2、指示變量：指示不同情況的出現(xiàn)、指示變量：指示不同情況的出現(xiàn) 例例. .有有m m個倉庫，要決定動用哪些倉庫，滿足個倉庫，要決定動用哪些倉庫，滿足n n個顧客對貨物的需要，并決定從各倉庫分別個顧客對貨物的需要，并決定從各倉庫分別向不同顧客運送多少貨物？向不同顧客運送多少貨物？顧客運

4、送的貨物量到從倉庫為指示變量否則倉庫動用令jixymiiyijii:)(,2,1013.13.1二、建模中常用的處理方法：二、建模中常用的處理方法： （續(xù)）（續(xù)）費用：費用： f fi i: :動用動用i i倉庫的固定運營費（租金等）倉庫的固定運營費（租金等） c cijij: :從倉庫從倉庫i i到到j j顧客運送單位貨物的運費顧客運送單位貨物的運費約束條件：約束條件： i)i)每個顧客的需要量每個顧客的需要量d dj j必須得到滿足；必須得到滿足； ii)ii)只能從動用的倉庫運出貨物。只能從動用的倉庫運出貨物。3.13.1二、建模中常用的處理方法：二、建模中常用的處理方法： （續(xù)）（續(xù)）

5、njmiyxnjxymidyxnjdxtsyfxcfiijijinjnjjiijmijijminjmiiiijij, 1;, 2 , 110, 0), 2 , 1, 00(, 10, 2 , 1. .min111111或時，當3.線性規(guī)劃模型的附加約束線性規(guī)劃模型的附加約束(1)控制約束條件是否需要：控制約束條件是否需要：) 1() 1(1020, 1101111個變量取至多個變量取至少或）（成立），則原約束失效（永遠即原約束需要的上界為，或取kkxkkxxyxaMyMbMyxanjjnjjjinjjijiinjiiiijij（求最?。┰谀繕撕瘮?shù)中加入一項于是，把約束變?yōu)椋悍駝t約束取處理：引入

6、其中：約束離散的資源變化：kiiikiinjkiiijjiikijjnjybyybxabybbbbkibxa111121011001,1 ,0,)3(3.1 3.1 三、整數(shù)規(guī)劃解法概述三、整數(shù)規(guī)劃解法概述.2),2, 1)()(,2, 1,)()(2);()()()(1:,),(,2121mmjPmPjimjiPSPSPSPSPSPSPPPmPSPjjimm常用的分解又常稱為分枝。較之和，個子問題分解為稱滿足個子問題有可行解集）設規(guī)劃問題（一、分解：常用的主要技術：3.1 3.1 三、整數(shù)規(guī)劃解法概述三、整數(shù)規(guī)劃解法概述( (續(xù)續(xù)）.)(),(.)(3;)()(2)(),()(1min,)(

7、)()(optPxPSxoptPfffPfPPPPSPSPPP的是則的若的一個下界，即最優(yōu)值是最優(yōu)值無可行解；）無可行解，則特別若（那么，有下列性質：是求設問題）。可得到松弛問題（刪去某些約束，把約束條件放寬問題二、松弛：3.1 3.1 三、整數(shù)規(guī)劃解法概述三、整數(shù)規(guī)劃解法概述( (續(xù)續(xù)）)(, 2 , 1|min)()(. 1,)()(,)()( ,)(., 2 , 1,),( ,),(),()(21約束得到的子問題是原問題上增加下界新，可計算：分解之后的上下界問題問題為最優(yōu)目標值的上、下界及的最優(yōu)值為及的最優(yōu)值記）（各子問題分解為子問題設問題三、剪枝：ffmjffffffPffffPPfP

8、PfPmiPPPPPjjjjjjjjjjjm3.1 3.1 三、整數(shù)規(guī)劃解法概述三、整數(shù)規(guī)劃解法概述( (續(xù)續(xù)）大大。再再分分解解只只能能使使目目標標值值增增大大。再再分分解解只只能能使使目目標標值值增增當當前前的的若若?？峡隙ǘㄗ幼訂枂栴}題解解集集均均為為在在分分解解是是增增加加約約束束，故故說說明明無無可可行行解解，即即若若式式進進行行。用用逐逐步步分分解解子子問問題題的的方方計計算算整整數(shù)數(shù)規(guī)規(guī)劃劃問問題題常常采采分分解解，即即稱稱剪剪枝枝：以以下下幾幾種種情情況況，不不必必再再上上界界新新的的可可行行解解對對應應目目標標值值。有有可可取取各各子子問問題題,3,);(.)(2,)(,)(

9、)(1.2,min)(1jjjjjjjjjjmjjjfffffPSxoptPPSPSPfffffffPf 3.2 3.2 整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法LPXbAXtsAXCfBnjxXbAXtsXCfATjT標準問題的松弛為整數(shù)，設線性整數(shù)規(guī)劃問題：0.min)(,2,10.min)(3.23.2整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法 （續(xù)）（續(xù)）)(,)(22)()(),(,)()(,)B()()(),(1xffSxAAxffASxxBiiiASxxiiABiBAA那么取任一最優(yōu)值的一個下界：可找最優(yōu)值的的下界，轉為而有最優(yōu)解若的解。得到則停（剪枝）且有最優(yōu)解若無可行解；）說明

10、無可行解，則停（剪枝若求解）分枝定界法：（一般步3.2 3.2 整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法 （續(xù)）（續(xù)）重復上述求解過程。中得到兩個子問題分別加入把構造兩個約束條件：找不等于整數(shù)的分量）分枝：對于上述（分枝與定界：以下進行分枝和定界：),(),()()(),()(1)(,1.1212121AAAcccxxcxxxSxstepiiiiiA3.23.2整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法 （續(xù)）（續(xù)）最最優(yōu)優(yōu)解解。界界對對應應的的解解即即原原問問題題的的均均得得到到剪剪枝枝時時，當當前前上上部部子子問問題題述述過過程程進進行行分分枝枝。當當全全對對于于未未剪剪枝枝問問題題重重復復

11、上上，”的的方方法法考考察察剪剪枝枝問問題題三三按按“比比較較與與剪剪枝枝。和和下下界界層層的的上上界界”的的方方法法找找到到當當前前三三定定界界（估估界界）：按按“22 . 8. 212 . 8)2(stepff3.23.2整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法 （續(xù)）（續(xù)）)(31857.2)(2857.222)3,2(714.29)857.3,857.2()()(,0,45592443.45min)(21112121212121cxcxfffxBBxxxxxxxxtsxxfATT分枝約束：得上界找一可行解記得解：先解為整數(shù)例：3.23.2整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法 （續(xù)）

12、（續(xù)）)(,0,345592443. .45min)()(,0,245592443. .45min)(22121121212121212112121211Bxxxxxxxxxt sxxfABxxxxxxxxxt sxxfA整數(shù)整數(shù)兩個子問題：3.43.4割平面法割平面法割割平平面面法法。的的解解。的的整整數(shù)數(shù)解解即即直直到到得得到到弛弛問問題題。重重復復這這個個過過程程的的可可行行解解，得得到到新新的的松松但但不不丟丟失失任任何何不不可可行行，約約束束使使不不是是整整數(shù)數(shù)解解，增增加加一一個個，若若解解解解松松弛弛問問題題取取整整數(shù)數(shù)一一、基基本本思思想想：GomoryAAAxxBBxXbAX

13、tsXCAjT)()()()()(0.min)( 8.48.4割平面法割平面法 （ 續(xù)）續(xù)）最后單純形表為：設的解。為即當?shù)姆秦撔?shù)部分，即）表示（其中取為非基變量。為基變量，其中的解為無妨設二、求割平面方程：, 0)()(0)()()( ,),(),max()(),()(212121rrmrijTnmmmxAxxxxxxyxyyyxxxxB8.48.4割平面法割平面法 （ 續(xù)）續(xù)） x1 xr xm ym+1 ym+2 yn RHS 0 0 0 m+1 m+2 nf*x1.xr.xm1 0 0 a1m+1 a1m+2 a1n . 0 1 0 ar m+1 ar m+2 ar n . 0 0

14、1 am m+1 a m m+2 am nb1.br.bm8.48.4割平面法割平面法 （ 續(xù)）續(xù)）于于是是數(shù)數(shù)。均均為為整整，即即當當（最最優(yōu)優(yōu)）解解為為整整數(shù)數(shù)時時）（式式兩兩端端部部分分與與小小數(shù)數(shù)部部分分移移到到等等把把右右端端的的各各系系數(shù)數(shù)整整數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)單單純純形形法法原原理理知知：ijnmjjrjrrnmjjrjrnmjjrjrryxyabxyabyabx,)(111 8.48.4割平面法割平面法 （ 續(xù)）續(xù)）附附加加約約束束）（得得到到又又是是整整數(shù)數(shù)，小小于于）于于是是（由由整整數(shù)數(shù)）（ 0)(.11)()(0)(0, 1)(0)(1111nmjjrjrrnmjjrjrnm

15、jjrjjrjnmjjrjryabbyabyayayab8.48.4割平面法割平面法 （ 續(xù)）續(xù)）純形表：解：松弛問題的最優(yōu)單取整數(shù)例：0,431. .min432142132121xxxxxxxxxxtsxxf x1 x2 x3 x4RHS 0 0 -1/2 -1/2-5/2x1 x21 0 -1/4 1/4 0 1 3/4 1/43/4 7/43.53.5割平面法割平面法 （ 續(xù)）續(xù)）為為松松弛弛變變量量得得附附加加約約束束：或或取取0434143025. 075. 075. 0)1(275. 0)()(55434321 xxxxxxrxx得到新的對偶單純形表得到新的對偶單純形表 x1 x

16、2 x3 x4 x5 RHS 0 0 -1/2 -1/2 0-5/2x1 x2 x31 0 -1/4 1/4 0 0 1 3/4 1/4 0 0 0 -3/4 -1/4 1 3/4 7/4 -3/4 進一步得到最優(yōu)單純形表進一步得到最優(yōu)單純形表: : x1 x2 x3 x4 x5 RHS 0 0 0 -1/3 -2/3-2x1 x2 x31 0 0 1/3 -1/3 0 1 0 0 1 0 0 1 1/3 -4/31 1 12)0,0, 1, 1, 1( fxT最最優(yōu)優(yōu)解解3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法min( ). .011,2,( )01.01Tjmm nTjjf

17、C XAstAXbxjnAbRBxfC XxAXb一、隱枚舉法的基本思想：問題或其中矩陣，松弛問題固定或 ，求利用分別固定或 進行分枝，根據(jù)目標函數(shù)值及約束來決定是否剪枝。3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 （續(xù)）（續(xù)）101min( ). .0,1,1,njjjjfc xPs tAxbxjn二、用于隱枚舉法的線性規(guī)劃標準形式：其中，目標函數(shù)系數(shù)其中，目標函數(shù)系數(shù) cj 0.以下討論一般形式的以下討論一般形式的01規(guī)劃如何化為標規(guī)劃如何化為標準形式：準形式：3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )111012kkknijjijnijjij

18、nijjijcyxa xba xbaxb 當某時，取代換即可。當某時，可產生 個不等式（）（）3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )11( ),.000(0)00,010,()( )AxfxfAXbffxxfxxA三、隱枚舉法：設的最優(yōu)解為最優(yōu)值為首先，時，是不考慮約束時的最小解，故有是 的一個下界此時若是可行解，則得到最優(yōu)解否則取及其余變量仍取零 不變把分解為兩個子問題。3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )123,01010111011.011jxxxkkxk一般迭代步：從 開始，逐步向后分別對取 與 進行分枝，在每一

19、個點的基礎上，第 個變量取 或 后，前個不再變化?？疾飚斍暗狞c（“”解，選定前 個分量）情況若已知在子域（在當前“”解的基礎上再增加 的分量）上均不可行，剪枝；3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )1112.,;3()41 31,0,TTkkkAxbfc xfffc xfxxx情況當前解滿足線性約束則不必再分枝，當前的目標值為一個上界，即情況當前解的函數(shù)值當前最小上界 ，剪枝；情況若非上述情況，則繼續(xù)對下一變量進行分枝，即令分成兩枝。3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )12312312313231232( ),.max3

20、25. .22441.346,0,1Afxzxxxs txxxxxxxxxxx xx按某一順序考察各點，當各分枝均被剪枝時，最小的上界即的最優(yōu)值其對應的解為最優(yōu)解例或3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )1231122331233251,132588fzxxxyx yx yxfyyyf 解：先化標準形取令得到問題記3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )1231231231223123m in325. .2242245,0100,0(1, 0,1)8Tfyyys tyyyyyyyyyyyyyyyfxzf 或由 于可 行 ，

21、于 是3.3 0-13.3 0-1規(guī)劃的隱枚舉法規(guī)劃的隱枚舉法 ( (續(xù)續(xù)) )12341234123412342341234min100304045. .5030251020722442.21021,01(0,1,0,1)75Tfyyyys tyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyf 例或解：得3.4 3.4 指派問題指派問題nnAssignmentproblemnnnn一、指派問題（分派問題）：項任務要分配給 個人（每人一項）去完成，各人對完成不同任務的效率不同，決定如何指派可使總效率最高。類似有：臺機床加工 項任務；條航線有 艘船去航行等。11111.0 :10min. .1,1,()

22、1,1,01ijijnnijijijnijinijjijcijijxfc xs txjnPxinx一般模型：設第 個人完成第 項任務的效率（時間成本等）第 個人完成第 項任務引入否則模型：每項任務一人每人一項任務或3.43.4指派問題指派問題 ( (續(xù)續(xù)) )111212122212nnnnnnccccccCccc數(shù)據(jù)集中在下列系數(shù)矩陣上：3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)） kiackicbakCproofBbBaCPkjijijnmij那那么么，行行各各元元素素加加上上的的第第設設從從與與原原問問題題有有相相同同的的解解。為為系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的分分派派問問題題以以那那么么得得到到矩矩

23、陣陣加加上上同同一一個個實實數(shù)數(shù)素素中中的的一一行行（或或一一列列）各各元元若若從從矩矩陣陣的的最最優(yōu)優(yōu)解解的的性性質質：關關于于問問題題,.,)()(. 23.4 3.4 指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）響最優(yōu)解。目標函數(shù)的常數(shù)項不影目標函數(shù)：afxaxcxbfnkiinjkjnjijijninjijij11111347100320460315310),2(),5(),2(),2(43219322875982537532列列減減第第得得行行分分別別加加，第第例例：性性質質應應用用： C11233452(0)13213(0)3402(0)0(0)141228214xxxxfn 得顯然是一組最優(yōu)解，

24、相應最小費用注：可行解特征：各行有一個零，且僅有一個零各列有一個零，且僅有一個零稱之為有 個獨立的零。3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）3.( .)013420603.059332706D KonigEx關于獨立元素的定理匈牙利系數(shù)矩陣中獨立零元素的最多個數(shù)等于覆蓋所有零元素的最少直線數(shù)。至少有 個獨立零元素至少 條直線覆蓋所有零l3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）nmmn注：這里提供的一種“對偶”關系找最多的獨立零個數(shù) （獨立零個數(shù)為 ）找最少的覆蓋全部零的直線數(shù)（覆蓋零的直線數(shù) ）有l(wèi)3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）min,01.2.1(0) ,0stepstep二、匈

25、牙利法求解分派問題：設求各元素對矩陣的每一行（每一列）分別減去該行（列）各元素的最小值，反復進行，至每行、每列均有零元素；試派，即找獨立零元素：對每行檢查，若當前行中只有一個零元素，則給它加圈，標為“” 同時把該元素所在列的其他零元素劃去，標為“ ”；l3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）2(0(0),01 2對每列檢查，若當前列中只有一個零元素 劃去的零 不算），給它加圈，標為同時把該元素所在的行的其它零元素劃去，標為“ ”；反復執(zhí)行 ，直到所有行、列中單個零元素均被處理。3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）31(0) ,01 2 3.1,0,3.ijijmmnxxmnstep若同行

26、（列）中零元素均多于 個，類似上述辦法：選零元素個數(shù)較少的行或列，把其中任一個零元素加圈“”同時把該元素所在的行與列的其它零元劃去“ ”；反復進行 ，直至所有的零元素被處理。記加圈零的個數(shù)為當時，停止，所加圈零對應的其余即為最優(yōu)解。當時，轉3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）3.1203(0)2 3step確定覆蓋全部零元素的最小直線數(shù)。對無加圈零元素的行作記號，無妨記“ “；對有“ ”行中，劃去零“ ”元素所在列，記“ ”；再對有“ ”列中，加圈零“”元素所在行，記“ ”；重復，直到得不出新記“ ”的行，列為止。l3.4 3.4 指派問題及解法（續(xù)）指派問題及解法（續(xù)）4.4.2()ll

27、nsteplnstep對所有無“ ”的行畫一橫線；對所有有“ ”的列畫一縱線，記總線數(shù)當時，轉當時，轉說明試探不成功，重新試派l3.33.3指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）4.2.stepstep變換矩陣，以增加零元素的個數(shù)，但不得出現(xiàn)負元。設無直線覆蓋部分中的最小元素為 ，對所有記“ ”的行中各元素減去 ，所有記“ ”的列中各元素加上 。轉l3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）7 6 7 6 4127979896661. 71712149151466104107109減各行最小元，例l3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）50202230000105729800406365l3.43.4分

28、派問題及解法（續(xù)）分派問題及解法（續(xù)）5(0)2024230(0)04(0)10572298(0)0406365mll3.43.4指派問題（續(xù)）指派問題（續(xù)）*1223354451*7(0)20243(0)000835(0)1180(0)4(0)414317696432xxxxxf 11011110100111110001111100011111111000011110000111110001111111002例例 11)0(111101)0(011111)0(001111100011111111000)0(1111)0(0001111100)0(11111110)0(試試派派!1101111)0(1)0(01111100)0(11111)0(0011111111)0(00011110)0