《優(yōu)控制中的變分法》PPT課件

1、第1章 最優(yōu)控制中的變分法本章主要內(nèi)容： 1.1 變分的基本概念 1.2 無約束條件的最優(yōu)化問題 1.3 具有等式約束條件的最優(yōu)化問題1.4 應用變分法求解最優(yōu)控制問題1.1 變分的基本概念例1-1 最速降線問題 最速降線問題對變分學的創(chuàng)立產(chǎn)生過重大影響。 確立一條連結(jié)定點A(0，0)和定點B(xf，yf)的曲線。使質(zhì)點在重力作用下從點A滑動到點B所需的時間最短(忽略摩擦和阻力的影響)。 解：最速降線問題的示意圖如下(1)泛函的概念函數(shù)：對于變量x的某一變域中的每一個值，y都有一個值與之相對應，那么變量y稱作變量x的函數(shù)。記為： y=f (x)x稱為函數(shù)的自變量自變量的微分：dx=x-x0 （

2、增量足夠小時）泛函：對于某一類函數(shù)y()中的每一個函數(shù)y(x)，變量J都有一個值與之相對應，那么變量J稱作依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為： J=J y(x)y(x)稱為泛函的宗量宗量的變分：例1-1問題的本質(zhì)：泛函極值泛函的連續(xù)性： 對任意給定的正數(shù)，總存在另一個正數(shù)，當 則稱泛函Jy(x)在點y0(x)處是連續(xù)的。兩個函數(shù)接近度的概念：k階接近度零階接近度一階接近度線性泛函： 泛函Jy(x)如果滿足下列兩個條件： 則稱為線性泛函。 (2)泛函的變分設泛函Jy(x)為連續(xù)泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分：記為： J。 可以證明，泛函的變分是唯一的。如何求解泛函的變分？ 借鑒函數(shù)f(x)

3、微分的求解： 與（1-5）類似，可得出泛函Jy(x) 的求解： 例：求下列泛函的變分 (3)泛函的極值泛函極值的定義： 對于與y0(x)接近的曲線y(x)，泛函Jy(x) 的增量 則泛函Jy(x) 在曲線y0(x)上達到極值。泛函極值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上達到極值，則在y= y0(x)上的變分為零。即證明如下：根據(jù)函數(shù)極值的條件，函數(shù)()在=0時達到極值的必要條件為：比較（1-9）和（1-10），可見：1.2 無約束條件的最優(yōu)化問題1端點固定的情況 了解泛函極值的概念后，再來研究最速降線問題。其目標函數(shù)為： 不失一般性，可寫為：問題為：確定一個函數(shù)x(t)，使Jx(t) 達

4、到極?。ù螅┲?。這條能使泛函Jx(t) 達到極值的曲線稱為極值曲線（軌線），記作： x*(t)對于端點固定的情況，容許軌線x(t)應滿足下列邊界條件：對（1-13）求取泛函極值的思路：求取泛函的變分（通過泰勒展開，求取泛函增量的線性主部，）容許軌線是由極值曲線微小攝動而成，即將（1-15）式代入（1-13）對式（1-21）中被積函數(shù)第二項分部積分(消去 ）根據(jù)泛函極值的必要條件，可得歐拉方程歐拉方程的展開形式：歐拉方程的特殊形式（L不顯含t時)再來回顧最速降線問題，其指標函數(shù)為：代入（1-28）式：整理、簡化后可得若用參數(shù)法求解，令 ，可得這是圓滾線的參數(shù)方程。關(guān)于歐拉方程的幾點說明： 歐拉方

5、程是泛函極值的必要條件，是否充分還需進一步判斷。 （參見p56 “泛函極值的充分條件勒蓋特條件）歐拉方程是二階微分方程，只有在個別情況下才能得到封閉形式的解。（如最速降線問題） 2端點變動的情況 （例如，攔截問題） 始點x0在曲線x=(x)上變動終點xf在曲線x=(x)上變動端點變動時泛函極值的必要條件： （推導過程略） （1）歐拉方程 （2）橫截條件 x21 0 1 2 t例：確定點A(0,1)至給定直線 的最短的曲線方程。解：由A至 的弧長 性能指標為由歐拉方程：積分得， 再積分，得通解 根據(jù)始端條件：根據(jù)終端橫截條件，得最優(yōu)軌線方程：1.3 具有等式約束條件的最優(yōu)化問題 在最優(yōu)控制問題中

6、，泛函Jx(t)所依賴的函數(shù)往往會受到定約束條件的限制。在動態(tài)最優(yōu)化問題中，由于受控系統(tǒng)的數(shù)學模型往往用微分方程來描述，所以等式約束就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 解決具有等式約束條件的最優(yōu)化問題的基本思路，就是應用拉格朗日乘子法，將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛函極值問題。1.微分約束問題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為目標泛函為：求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)， 其目標函數(shù)J取極值。（兩點邊值問題） 這里，為了將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛函極值問題，可應用拉格朗日乘子法。為此，引入待定的n維拉格朗日乘子向量(t)，即構(gòu)造一個新的輔助泛

7、函：定義哈密爾頓(Hamilton)函數(shù)H： （將 分離出去）代入（1-36）式 多元輔助泛函J的歐拉方程為：協(xié)態(tài)方程狀態(tài)方程控制方程正則方程組 根據(jù)上述三個方程，加上邊界條件，可得最優(yōu)控制問題的唯一確定解 思考： ， 給定， 自由時的情況。2.端點等式約束（等式約束的更一般形式)問題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為目標泛函為：求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)， 其目標函數(shù)J 取極值。根據(jù)一個微分約束，一個端點約束，共需引入2個拉格朗日乘子向量，構(gòu)成新的輔助目標泛函：用分部積分法消去極值的必要條件是一階變分為零（2）協(xié)態(tài)方程（1）狀態(tài)方程（3）控制方程 （極值條

8、件）（4）端點約束（5）橫截條件思考：1.4 應用變分法求解最優(yōu)控制問題 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，實際上就是具有等式約束條件的泛函極值問題，只要把受控系統(tǒng)的數(shù)學模型看成是最優(yōu)軌線x(t) 應滿足的等式約束條件即可。1.變分法中的三類基本問題受控系統(tǒng)狀態(tài)方程目標泛函為：拉格朗日(Lagrange)問題：梅耶（Mayer)問題：波爾扎（Bolza)問題：2.變分法應用示例已知系統(tǒng)狀態(tài)方程邊界條件為：性能指標為：1）寫出H函數(shù)2）由控制方程推導u的表達式解:3）求解協(xié)態(tài)方程4）求解狀態(tài)方程5）利用邊界條件求解c c6）寫出最優(yōu)控制)將代入J求出最優(yōu)性能指標J 8)寫出最優(yōu)軌線解畢！上例中當存在端點約束時，如求解步驟1)-4)相同，5）中所需邊界條件的變動為：*橫截條件用于補充所缺邊界條件作業(yè)1。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：初態(tài) 。欲使系統(tǒng)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標集且使性能指標為最小的最優(yōu)控制 及最優(yōu)軌線 。第1章 要點 無約束條件下泛函極值必要條件（歐拉方程，橫截條件）微分型和端