有限元進(jìn)展報(bào)告課件

1、2022/7/171有限元方法研究進(jìn)展西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院2022/7/172不連續(xù)力學(xué)問題分析的新型數(shù)值方法（包括擴(kuò)展有限元方法、數(shù)值流形方法、多尺度有限元方法等）；無限元方法：建議使用一種新思路，構(gòu)造無限單元的形狀插值函數(shù)，藉此提出一種廣義無限單元法；復(fù)合材料宏觀等效特性研究：提出宏觀等效特性預(yù)估的一種統(tǒng)一方法；有限元形狀函數(shù)插值精度研究：提出一種判斷準(zhǔn)則，構(gòu)造一種四邊形八結(jié)點(diǎn)單元（Q8 ）；高頻振動(dòng)與噪聲問題的數(shù)值求解；壓電片優(yōu)化布置的數(shù)值方法研究。研究興趣：關(guān)鍵詞：1）數(shù)值求解2）方法研究3）有限元方法2022/7/173主持國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：用新型有限元法研究功能梯度材料中的

2、多裂紋擴(kuò)展（批準(zhǔn)號(hào)：10472090；2005年）主持教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目：非均勻材料斷裂問題的新型數(shù)值模擬（批準(zhǔn)號(hào)：NCET-04-0930; 2005-2007年）主持國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：具有曲界面的薄膜/基底結(jié)構(gòu)中裂紋的生長規(guī)律研究（10572109；2006-2008年）負(fù)責(zé)X973專題主持國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：用覆蓋數(shù)值方法研究非均勻固體中的累積破壞（10972172； 2010-2012年 ）其它項(xiàng)目支撐項(xiàng)目：2022/7/174近年來主要期刊論文： Engineering Analysis with Boundary Elements 34 (2010) 619-6

3、24 Engineering Analysis with Boundary Elements 34 (2010) 4150 Finite Elements in Analysis and Design 45(2009): 721-729 International Journal of Fracture (2009)156: 21-35 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2009年第1期，96-108 Int J for Numerical Methods in Engineering, 76(2008): 1285-1295 Composites Science and Technology, 68 (2008

4、): 1649-1653 力學(xué)進(jìn)展，37, 2 (May 25, 2007): 161-174 Computational Materials Science, 41, 2 (Dec 2007): 145-155 Computational Materials Science, 39, 3 (May 2007): 684-696 ASME Journal of Vibration and Acoustics, 127(February, 2005): 2-11 Materials Characterization, 54,1 (2005): 49-622022/7/175近年來主要期刊論文：

5、力學(xué)進(jìn)展, 35, 1(Feb. 25, 2005): 5-20 復(fù)合材料學(xué)報(bào)，第22卷第2期（2005年4月）：160-165 International Journal of Engineering Science 43, 13-14 (2005): 1138-1156 Journal of Computational Acoustics 12, 4 (2004): 543-570 Communications in Numerical Methods in Engineering, 20(2004): 671-679 Finite Elements in Analysis & Desig

6、n, 41,1(2004): 91-108 Applied Acoustics , 64(2003): 55-70 Journal of Sound and Vibration, 261(2003): 945-951 Journal of Computational Acoustics, 10, 1 (2002): 113-121 Smart Materials and Structures, 10, 2(April 2001): 421-426 Smart Materials and Structures, 9, 4(August 2000): 485-491 2022/7/176基于區(qū)域的

7、數(shù)值方法，如FEM，F(xiàn)DM和FVM。Meshfree方法也歸為這一類?；谶吔绲臄?shù)值方法，如BEM。總論（1）：科學(xué)研究和復(fù)雜工程問題的解決離不開數(shù)值計(jì)算。數(shù)值方法可分為：2022/7/177FEM的優(yōu)點(diǎn)：系統(tǒng)矩陣的對稱、稀疏和帶狀性，利于存貯和求解。非常靈活，適用于任意幾何形狀和邊界條件；適用于任何材料和幾何非線性問題；適用于各向異性材料和非均勻問題。單一位移場方法，極易于編程實(shí)現(xiàn)?？傉摚?）： 有限元方法（FEM）已得到了廣泛的普及和應(yīng)用，已有很多商用軟件：現(xiàn)在常用的有Ansys, Abaqus, Nastran等；早先還有SAP，Adina等。最近幾年出現(xiàn)的商用軟件StressCheck

8、等專用有限元軟件。2022/7/178它只適用于有界域（bounded）問題，而諸如聲、電磁波、地基等無界域（unbounded）問題只能通過近似方法加以解決。單元形狀不規(guī)則時(shí)，單元的插值精度將嚴(yán)重退化，這樣，在處理大變形問題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，或需要更高的單元密度。處理弱不連續(xù)問題時(shí)，需要考慮詳細(xì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，顯得非常笨拙，對實(shí)際中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題，效率低下，有時(shí)無能為力。處理強(qiáng)不連續(xù)問題時(shí)，需要高得難以接受的網(wǎng)格密度，而且數(shù)值模擬的精度較差。 總論（3）：FEM的缺點(diǎn)： 總之，F(xiàn)EM至少在以上三個(gè)方面還有許多工作可以開展，才能成為科學(xué)研究和工程應(yīng)用中一種真正的高效、高精度的數(shù)值手段。2022

9、/7/179專題一：無限元方法及研究進(jìn)展專題二：有限元形狀函數(shù)研究專題三：不連續(xù)問題及新型有限元方法報(bào)告提綱2022/7/1710專題一：無限元方法及研究進(jìn)展專題二：有限元形狀函數(shù)研究專題三：不連續(xù)問題及新型有限元方法報(bào)告提綱2022/7/1711工程背景及問題的提出研究現(xiàn)狀分析存在問題及解決方案 專題一無限元方法及研究進(jìn)展2022/7/1712實(shí)際問題的地形圖及數(shù)值模型工程背景（1）2022/7/1713典型爆破聲源的聲壓變化曲線：工程背景（2）2022/7/1714 這類問題的最主要特點(diǎn)在于幾何上是無界的而不是有界的，開放的而不是閉合的；要綜合運(yùn)用有限元法(FEM)與無限元法(IEM)來求

10、解:FEM用于模擬近場，即聲源附近和幾何邊界復(fù)雜的區(qū)域IEM用于模擬剩余的無界聲場研究現(xiàn)狀（1）2022/7/1715 無限元的特點(diǎn)： 嚴(yán)格地講，應(yīng)被稱為半無限元（如下圖）； 廣義地講，是一種特殊的有限元（二者的“體積”都不是無限?。?一端（或是有一維、一個(gè)方向上）趨于無限遠(yuǎn)，且單元在此過 程中是發(fā)散的、永不相交的。研究現(xiàn)狀（2）2022/7/17161977年英國人Bettess等首先提出無限元（IEM）的概念1985年Zienkiewicz和Bettess提出映射無限元（Bettess元）1994年新西蘭人Astley等結(jié)合他們多年研究的波包絡(luò)線法提出了映射包絡(luò)線無限元（Astley元）

11、1994年美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的Burnett提出了基于“多極展開”的三維無限元（Burnett 元）研究現(xiàn)狀（3）2022/7/1717幾種無限元間的比較Bettess元Astley元Burnett元坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)共焦橢圓幾何映射映射映射非映射形狀函數(shù)虛擬聲源虛擬聲源多極展開加權(quán)函數(shù)非共軛共軛非共軛數(shù)值積分特殊處理Gauss積分特殊處理系統(tǒng)矩陣對稱非對稱對稱瞬態(tài)問題不適合適合不適合無限方向與有限方向混合與有限方向混合與有限方向分離單元生成靈活靈活不靈活聲源形狀近球形近球形橢球形聲源類型閉、開閉、開封閉形研究現(xiàn)狀（4）2022/7/1718第一個(gè)問題：“拇指法則”對網(wǎng)格的限制控制方程：Hel

12、mholtz 方程拇指法則：每波長內(nèi)要保證有7-10個(gè)單元，才能獲得有意義的數(shù)值（有限元）解。例如，對于40Hz的聲波，若波速為340m/s，則單元尺寸不能超過 340/40/7=1.2(m)存在問題及解決方案（1-1）2022/7/1719一種解決方案引入變換使得Helmholtz方程變成存在問題及解決方案（1-2）2022/7/1720引入新方案后的效果（穩(wěn)態(tài)解之一）單極子的輻射聲壓計(jì)算結(jié)果比較（dB）存在問題及解決方案（1-3）2022/7/1721引入新方案后的效果（穩(wěn)態(tài)解之二）偶極子的輻射聲壓計(jì)算結(jié)果比較（dB）存在問題及解決方案（1-4）2022/7/1722引入新方案后的效果（瞬

13、態(tài)解之一）存在問題及解決方案（1-5）2022/7/1723引入新方案后的效果（瞬態(tài)解之二）存在問題及解決方案（1-6）2022/7/1724研究展望存在問題及解決方案（1-7） 應(yīng)該注意，“拇指法則”在電磁波等高頻（短波）波室內(nèi)傳播問題中顯得尤為突出。如何對這類問題進(jìn)行有效數(shù)值求解，是目前這一領(lǐng)域研究的難點(diǎn)，也是熱點(diǎn)。2022/7/1725第二個(gè)問題：“虛擬聲源”概念的合理性虛擬聲源：是指在映射無限元的幾何映射中，中結(jié)點(diǎn)相對于角結(jié)點(diǎn)的映像，如下圖。它在解釋映射無限元形狀函數(shù)的物理含義時(shí)非常有用，是在局部坐標(biāo)系內(nèi)建立映射無限元形狀函數(shù)的理論基礎(chǔ)。虛擬聲源中結(jié)點(diǎn)角結(jié)點(diǎn)存在問題及解決方案（2-1）

14、2022/7/1726解決方案 舍棄“虛擬聲源”概念，代之以更廣義的“多極展開”理論。 多極展開理論：任何一個(gè)衰減問題（波的輻射或散射等）的場變量都可以展開成衰減變量的級數(shù)和形式，即：存在問題及解決方案（2-2）2022/7/1727 藉此，我們首次導(dǎo)出了無限元形狀函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式，即其中 它精確滿足多極展開理論，且當(dāng)虛擬聲源位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)退化成Bettess元與Astley元中所用的形狀函數(shù)。存在問題及解決方案（2-3）2022/7/1728 用局部坐標(biāo)表示即為其中 為傳統(tǒng)的(n-1)次Lagrange多項(xiàng)式，且滿足而 為新出現(xiàn)的因子，其形式為其中 稱為特征映射，它對應(yīng)于所使用的幾何映射。存

15、在問題及解決方案（2-4）2022/7/1729虛擬聲源概念不適當(dāng)?shù)乃憷?下面是用Astley元計(jì)算單極子輻射問題的例子，我們使用了極端情況下的幾何映射，但都符合虛擬聲源概念的要求。存在問題及解決方案（2-5）不同階Astley元計(jì)算結(jié)果的相對誤差2022/7/1730引入新形狀函數(shù)后的效果（之一）單極子輻射存在問題及解決方案（2-6）不同方法數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較2022/7/1731引入新形狀函數(shù)后的效果（之二）所使用的三個(gè)模型之一（等比模型）存在問題及解決方案（2-7）2022/7/1732引入新形狀函數(shù)后的效果（之三）所使用的三個(gè)模型之二（單調(diào)比率模型）存在問題及解決方案（2-8）2022/

16、7/1733引入新形狀函數(shù)后的效果（之四）所使用的三個(gè)模型之三（隨機(jī)比率模型）存在問題及解決方案（2-9）2022/7/1734引入新形狀函數(shù)后的效果（之五）等比模型的計(jì)算結(jié)果比較（偶極子輻射）存在問題及解決方案（2-10）2022/7/1735引入新形狀函數(shù)后的效果（之六）單調(diào)比率模型的計(jì)算結(jié)果比較（偶極子輻射）存在問題及解決方案（2-11）2022/7/1736引入新形狀函數(shù)后的效果（之七）隨機(jī)比率模型的計(jì)算結(jié)果比較（偶極子輻射）存在問題及解決方案（2-12）2022/7/1737引入新形狀函數(shù)后的效果（之八）等比模型的計(jì)算結(jié)果比較（圓柱體散射）存在問題及解決方案（2-13）2022/7/

17、1738引入新形狀函數(shù)后的效果（之九）單調(diào)比率模型的計(jì)算結(jié)果比較（圓柱體散射）存在問題及解決方案（2-14）2022/7/1739引入新形狀函數(shù)后的效果（之十）隨機(jī)比率模型的計(jì)算結(jié)果比較（圓柱體散射）存在問題及解決方案（2-15）2022/7/1740引入廣義形狀函數(shù)后的效果（之一）所使用的兩個(gè)模型存在問題及解決方案（3-1）2022/7/1741引入廣義形狀函數(shù)后的效果（之二）第一種模型的計(jì)算結(jié)果比較存在問題及解決方案（3-2） 時(shí)的計(jì)算結(jié)果 時(shí)的計(jì)算結(jié)果2022/7/1742引入廣義形狀函數(shù)后的效果（之三）第二種模型的計(jì)算結(jié)果比較存在問題及解決方案（3-3） 時(shí)的計(jì)算結(jié)果 時(shí)的計(jì)算結(jié)果20

18、22/7/1743專題一：無限元方法及研究進(jìn)展專題二：有限元形狀函數(shù)研究專題三：不連續(xù)問題及新型有限元方法報(bào)告提綱2022/7/1744研究現(xiàn)狀 問題的提出 對問題的分析 一個(gè)判斷準(zhǔn)則及其應(yīng)用 一種新單元及應(yīng)用 結(jié)論專題二有限元形狀函數(shù)研究2022/7/1745有限元方法的插值精度出發(fā)點(diǎn)：有限元方法的插值精度取決于單元形狀 函數(shù)構(gòu)造的優(yōu)劣?；靖拍睿簡卧捌湫螤詈瘮?shù) 類型（維數(shù)、變形特性等）、形狀（三角形、四邊形或六面體）階數(shù)（線性或高階）等描述單元內(nèi)待求場變化的近似函數(shù)。2022/7/1746研究現(xiàn)狀(1)第一步：利用幾何映射引入局部坐標(biāo)系和母單元。實(shí)際單元母單元(a)(b)(c)(d)20

19、22/7/1747研究現(xiàn)狀(2)第二步：在局部坐標(biāo)系內(nèi)，以母單元為對象，根據(jù)單元的形狀和節(jié)點(diǎn)數(shù)，構(gòu)造單元的插值形函數(shù)。 四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的映射函數(shù)以八節(jié)點(diǎn)四邊形單元（Q8） 為例，其幾何映射函數(shù)和插值形函數(shù)如左式所示：(注：由于是等參元，二者完全相同）八節(jié)點(diǎn)四邊形單元的第5-8個(gè)映射函數(shù)2022/7/1748研究現(xiàn)狀(3)優(yōu)點(diǎn)：很容易構(gòu)造出滿足協(xié)調(diào)性條件的形狀 函數(shù) 含義：如右圖，協(xié)調(diào)性是指單元形狀函數(shù)在單元邊上的插值僅取決于該邊上的節(jié)點(diǎn)，與單元上的其它節(jié)點(diǎn)無關(guān)。此屬性將保證單元間公共邊上的插值函數(shù)是連續(xù)的。ABC214357689102022/7/1749研究現(xiàn)狀(4)缺點(diǎn)：由于沒有考慮單元

20、的實(shí)際形狀，當(dāng)單元形 狀不規(guī)則或單元的朝向與整體坐標(biāo)軸成一 定夾角時(shí)，其插值精度嚴(yán)重退化。單元的實(shí)際形狀與插值精度的劣化(圖示規(guī)律是許多研究者得到的共識(shí)） 正矩形（較好） 斜正方形（較好）平行四邊形（較好）正梯形（較差） 一般四邊形（較差）2022/7/1750問題的提出出現(xiàn)了兩個(gè)問題：1）對于給定的單元，怎樣確定形狀函數(shù)能夠精確達(dá)到的插值精度？2）我們是否能夠找到一種有效途徑來改善單元的插值精度？畢竟過去構(gòu)造的形狀函數(shù)（例如Q8單元）在其它方面有著諸多卓越的性能。 二者插值精度不同，判斷準(zhǔn)則？可否改善？2022/7/1751對問題的分析(1)在整體坐標(biāo)系中，R8單元的形狀函數(shù)取下列形式202

21、2/7/1752對問題的分析（2） 用矩陣形式2022/7/1753對問題的分析（3） 形狀函數(shù)的必要條件 插值性條件！2022/7/1754一個(gè)判斷準(zhǔn)則形狀函數(shù)與所要精確插值的精度之間的關(guān)系。第一個(gè)方程：1； 第二個(gè)方程：x；第三個(gè)方程：y； 第四個(gè)方程:x*y；第五個(gè)方程:x*x； 第六個(gè)方程：y*y；第七個(gè)方程:x*x*y; 第八個(gè)方程：x*y*y；可推廣至任意節(jié)點(diǎn)數(shù)目的任意單元！2022/7/1755準(zhǔn)則的應(yīng)用之一 Q8單元插值精度的校核 (1)映射函數(shù)的基本屬性準(zhǔn)則中前三個(gè)方程恒滿足那么二次完備性到底怎樣 一次完備性條件！?2022/7/1756準(zhǔn)則的應(yīng)用之一 Q8單元插值精度的校核

22、 (2)左端2022/7/1757準(zhǔn)則的應(yīng)用之一 Q8單元插值精度的校核 (3)右端2022/7/1758準(zhǔn)則的應(yīng)用之一通過比較 Q8單元插值精度的校核 (4)2022/7/1759準(zhǔn)則的應(yīng)用之一可互換性（等位性） Q8單元插值精度的校核 (5)四邊形必須是平行四邊形。?結(jié)論相同！2022/7/1760準(zhǔn)則的應(yīng)用之二 Q8單元插值精度的改善 (1)?問題：相鄰單元間不能保證協(xié)調(diào)！=0? 否！例如：考察2022/7/1761準(zhǔn)則的應(yīng)用之二 Q8單元插值精度的改善 (2)?原來用局部坐標(biāo)表示的形狀函數(shù)附加項(xiàng)，仍然保持協(xié)調(diào)性！待定系數(shù)！2022/7/1762準(zhǔn)則的應(yīng)用之二 Q8單元插值精度的改善 (

23、3) 不僅與單元形狀有關(guān)，還與其在坐標(biāo)系中的放置有關(guān)。2022/7/1763準(zhǔn)則的應(yīng)用之三 Q8單元的退化 (1)實(shí)際單元母單元1234567891,2,5638742022/7/1764準(zhǔn)則的應(yīng)用之三 Q8單元的退化 (2)按常規(guī)方法退化得到的形函數(shù)與Bathe KJ. Finite element procedures in Engineering analysis, 1982. In Section 5.3相同 常數(shù)！2022/7/1765單元應(yīng)用舉例之一 單元的適用性 (1)直懸臂梁的歸一化位移 奇異！2022/7/1766單元應(yīng)用舉例之一單元的適用性 (2)厚壁圓筒的歸一化位移 曲懸

24、臂梁的歸一化位移 2022/7/1767單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (1)Mesh1常彎矩的懸臂梁結(jié)構(gòu)Mesh2Mesh32022/7/1768單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (2)常彎矩問題的歸一化撓度解析解（100，5）2022/7/1769單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (3)Mesh1線性彎矩的懸臂梁結(jié)構(gòu)（分布載荷）Mesh2Mesh3Mesh42022/7/1770單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (4)線性彎矩問題的歸一化撓度（分布載荷）解析解（100，0）2022/7/1771單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (5)線性彎矩的懸臂梁結(jié)構(gòu)（集中載荷）線性彎矩問題的歸一化撓度（集中載

25、荷）2022/7/1772單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (6)Cook型結(jié)構(gòu)的懸臂彎曲（Cook問題）2022/7/1773單元應(yīng)用舉例之二單元的精度檢驗(yàn) (7)C點(diǎn)的歸一化撓度CPU時(shí)間比較2022/7/1774結(jié) 論1）要明確區(qū)分幾何映射函數(shù)與形狀函數(shù)在FEM中的作用： a. 映射函數(shù)主要承擔(dān)坐標(biāo)變換的任務(wù)； b. 形狀函數(shù)則承擔(dān)對場的近似插值任務(wù)。2）形狀函數(shù)需要滿足相關(guān)準(zhǔn)則，但可先在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造，然后按照準(zhǔn)則進(jìn)行判斷并予以改進(jìn)。3）四邊形單元在向三角形單元退化過程中出現(xiàn)的困惑問題，概因后者具有二次插值精度，而前者不總是具有相當(dāng)?shù)木取?）本思想可以推廣到任意問題的FEM求解過程中

26、，只是所滿足的準(zhǔn)則因問題而異，例如聲輻射問題的無限元方法、新型有限元方法等。2022/7/1775專題一：無限元方法及研究進(jìn)展專題二：有限元形狀函數(shù)研究專題三：不連續(xù)問題及新型有限元方法報(bào)告提綱2022/7/1776 研究背景 新型有限元方法 一些結(jié)果 結(jié)論 專題三不連續(xù)問題及新型有限元方法2022/7/1777常規(guī)有限元的特點(diǎn)突出優(yōu)點(diǎn)適用于任意的幾何形狀和邊界條件等復(fù)雜問題容易處理材料和幾何非線性問題單一位移場，易于處理各向異性問題易于編程實(shí)現(xiàn)，等等研究背景 缺點(diǎn)大變形問題時(shí)精度下降對于不連續(xù)問題網(wǎng)格生成困難需要網(wǎng)格重構(gòu)（例如對于裂紋問題）2022/7/1778研究背景 細(xì)網(wǎng)格常規(guī)有限元中網(wǎng)

27、格生成實(shí)例直升機(jī)著落架的計(jì)算模型粗網(wǎng)格2022/7/1779研究背景 常規(guī)有限元網(wǎng)格新型有限元網(wǎng)格常規(guī)有限元與新型有限元在網(wǎng)格生成上的比較非編織復(fù)合材料的胞元模型2022/7/1780研究背景 編織復(fù)合材料的胞元模型常規(guī)有限元網(wǎng)格（僅一層）（與非編織型相同）新型有限元網(wǎng)格常規(guī)有限元與新型有限元在網(wǎng)格生成上的比較2022/7/1781研究背景4種不同分布的8顆粒胞元模型常規(guī)有限元與新型有限元在網(wǎng)格生成上的比較2種不同分布的32顆粒胞元模型新型有限元網(wǎng)格（胞元模型）2022/7/1782處理方法處理原則保持網(wǎng)格對物理域（求解域）的獨(dú)立。這樣，網(wǎng)格可以只按物理邊界圍成的區(qū)域剖分，或按物理域的大體（而

28、規(guī)則）形狀來進(jìn)行剖分，而不考慮每一個(gè)物理域或邊界的具體細(xì)節(jié)，但要求必須包含物理域。與常規(guī)有限元方法有很大區(qū)別。采用其它技術(shù)（例如水平集法），識(shí)別每一個(gè)（種）物理特征。引入其它增強(qiáng)函數(shù)，從方法上去計(jì)及每一個(gè)（種）物理特征（例如夾雜、空洞、裂紋等）的存在。2022/7/1783處理方法已有方法單位分解法（PUM）：更確切地，應(yīng)該被理解成一個(gè)思想，是現(xiàn)有絕大多數(shù)數(shù)值方法的理論依據(jù)和基本出發(fā)點(diǎn)。數(shù)值流形方法（NMM、FCM）：具有基本框架和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對非連續(xù)問題極為有效。廣義有限元方法（GFEM）：具有具體的實(shí)施步驟；需要對解析解的基本知識(shí)和認(rèn)識(shí)。擴(kuò)展有限元方法（XFEM）：引入增強(qiáng)函數(shù)，處理復(fù)雜問題

29、。已有較多研究，予以主要介紹。2022/7/1784處理方法有限元離散方程為：考慮含一個(gè)夾雜的彈性力學(xué)問題，具有以下特點(diǎn)：位移在整個(gè)區(qū)域是連續(xù)的應(yīng)變在橫穿夾雜的界面時(shí)是不連續(xù)的夾雜基體問題的描述2022/7/1785形狀函數(shù)的構(gòu)造處理方法特點(diǎn):對于常規(guī)有限元方法結(jié)論:在單元內(nèi)部，位移和應(yīng)變均連續(xù)。在單元之間，位移連續(xù)，而應(yīng)變不連續(xù)。夾雜的界面需要沿著單元的邊，這正是我們所熟知的和過去這樣在做的。應(yīng)變在夾雜界面處的跳躍只能通過形狀函數(shù)所固有的跳躍來被動(dòng)地模擬。單元間的“界面”2022/7/1786形狀函數(shù)處理方法特點(diǎn):新型有限元方法結(jié)論:連續(xù)部分不連續(xù)部分 位移在單元內(nèi)連續(xù) 應(yīng)變在單元內(nèi)部不連續(xù)

30、夾雜界面處的不連續(xù)既可以出現(xiàn)在單元內(nèi)部，也可以出現(xiàn)在單元的邊上，后一種則是前一種的特殊情形。這兩種情形都可通過在形狀函數(shù)中增加第二項(xiàng)來模擬。 2022/7/1787增強(qiáng)函數(shù)處理方法特征:由于常規(guī)部分遵守單位分解特性，插值逼近保持了原有的局部插值特性。增強(qiáng)函數(shù)用來使得不連續(xù)性（例如應(yīng)變的跳躍）能在單元層面上得到描述。也就是說，形狀函數(shù)并不再像常規(guī)有限元一樣必須是連續(xù)的。增強(qiáng)函數(shù)的作用：常規(guī)的具有PU部分增強(qiáng)函數(shù)形狀函數(shù)的第二項(xiàng)2022/7/1788增強(qiáng)函數(shù)的構(gòu)造處理方法 Step 1: 采用水平集方法（LSM），識(shí)別界面的位置。 例如，對于圓形夾雜，水平集函數(shù)（LSF）為Step 2: 根據(jù)水平集函數(shù)（LSF），構(gòu)造增強(qiáng)函數(shù)。 有很多可供選擇的途徑，例如選取如下形式LSF2022/7/1789與常規(guī)有限元法相比較，新型有限元方法的特點(diǎn)：處理方法在生成網(wǎng)格時(shí)，新型有限元方法不再考慮對內(nèi)部細(xì)節(jié)（例如界面）的剖分。在新型有限元方法中，各種內(nèi)部界面可通過適當(dāng)?shù)?/p>