高中_分段數(shù)列專題探討

1、WORD.7/7分段數(shù)列專題分析類型一：前后分段；基于通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系的分段數(shù)列和含有絕對(duì)值的數(shù)列。已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)（整數(shù)2），首項(xiàng)2設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值分析：本題所涉與的數(shù)列都不是分段數(shù)列，但在解答第（1）小題時(shí)仍需要考慮分段證明，解題中很多考生都出現(xiàn)了證明不完整的情況。典型錯(cuò)誤：因?yàn)?，兩式相減得：，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列；這里錯(cuò)誤之處有2個(gè)，一是和上題一樣忽略了成立的條件是，另一個(gè)是并不等價(jià)于。第三問(wèn)作差法解數(shù)列通項(xiàng)公式；對(duì)的正

2、負(fù)進(jìn)行討論取絕對(duì)值，然后解關(guān)于k的不等式。解析：(1) 證明當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a； 2n2k1時(shí), an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 數(shù)列an是等比數(shù)列.(2)解：由(1)得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）設(shè)bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)nk時(shí), bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當(dāng)4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立.變式練習(xí)

3、：數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和答案（1） 由，得、是方程的二個(gè)根，此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差，（2），（3）由得，解得，此數(shù)列前四項(xiàng)為負(fù)的，第五項(xiàng)為0，從第六項(xiàng)開始為正的當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且時(shí)，2.遞推關(guān)系分段給出的分段數(shù)列已知為首項(xiàng)的數(shù)列滿足:.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，試用表示數(shù)列前100項(xiàng)的和；分析：本題所給的遞推關(guān)系式既含等差又含等比，立意新穎，難度適中。但由于做限制條件，很難對(duì)和討論一般情況。這道題很容易出錯(cuò)，很多學(xué)生會(huì)誤以為后面的條件是n3和n3，然后就是全軍覆沒(méi)！注意是，所以要對(duì)每一項(xiàng)的值進(jìn)行計(jì)算，然

4、后再判斷其通項(xiàng)是按照上面的算還是下面的算，第一問(wèn)直接代數(shù)即可，可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)周期數(shù)列，每三項(xiàng)是一個(gè)周期；第二問(wèn)給的是圍，所以要判斷后面的值，會(huì)發(fā)現(xiàn)它也是個(gè)周期數(shù)列，每三項(xiàng)是一個(gè)周期，所以將三項(xiàng)合并在一起計(jì)算，就變成了一個(gè)等比數(shù)列，計(jì)算就簡(jiǎn)單了很多。解析：（1）由題意；由得；由得；由得，由此得（）（2）當(dāng)時(shí)，變式練習(xí)：1數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 類型二：奇偶分段；1.已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且滿足.求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、第項(xiàng)、，余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成

5、一個(gè)新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：第一問(wèn)根據(jù)等比數(shù)列的定義代入，可求出數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)；第二問(wèn)，根據(jù)題意可知奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成兩個(gè)等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)要注意項(xiàng)數(shù)，此處要和學(xué)生講到何時(shí)要奇偶分段，強(qiáng)調(diào)一定要確定清項(xiàng)數(shù)；第三問(wèn)代入解出n就可以，要注意n的圍為正整數(shù)。答案：（1）；（2） （3）存在，變式練習(xí)：在數(shù)列，中，,（）.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，若對(duì)任意，都有，數(shù)的取值圍.答案解：（1）因?yàn)椋磾?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列