彈性力學(xué)第二章應(yīng)力

1、彈性(tnxng)力學(xué)共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力(wil)2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)物體外力分為兩類(lèi)體力 分布在物體整個(gè)體積內(nèi)的外力如重力，慣性力，電磁力等面力 分布在物體表面上的外力，如液體壓力(yl)、風(fēng)力和接觸力等2-1 外力(wil)共一百零三頁(yè)一般來(lái)講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱(chēng)為(chn wi)體力矢量，其方向由該點(diǎn)的體力合力方

2、向確定。體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi（ i = 1，2，3）或者Fbx、Fby、Fbz表示，稱(chēng)為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。應(yīng)該注意的是：這里體力是指一點(diǎn)的體力。 1.體力(tl)的說(shuō)明共一百零三頁(yè)2.體力(tl)的定義共一百零三頁(yè)面力矢量是單位面積上的作用力，面力是彈性體表面坐標(biāo)的函數(shù)(hnsh)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問(wèn)題求解的主要條件。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i = 1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。這里的面力指的是一點(diǎn)的面力。3.面力的說(shuō)明(shumng)共一百零三頁(yè)4.

3、面力的定義(dngy)共一百零三頁(yè)5.內(nèi)力(nil) 內(nèi)力：物體在外界因素作用下，例如(lr)外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力。 內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來(lái)，通過(guò)平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。 共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力(wil)2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè) 物體承受外

4、力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們(w men)用一截面截開(kāi)物體，并取出其中一部分：2-2 應(yīng)力(yngl)與應(yīng)力(yngl)張量共一百零三頁(yè) 其中一部分對(duì)另一部分的作用，表現(xiàn)(bioxin)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。取截面(jimin)的一部分，它的面積為A，為物體在該截面上A點(diǎn)的應(yīng)力。PA平均集度為P/A，其極限作用于其上的內(nèi)力為P，2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè)通常將應(yīng)力沿垂直于截面和平行于截面兩個(gè)方向(fngxing)分解為S正應(yīng)力(yngl) 切應(yīng)力（或剪應(yīng)力）2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè)應(yīng)力(yngl)分量xyzo 應(yīng)力不僅和點(diǎn)

5、的位置(wi zhi)有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)。 描述應(yīng)力，通常用一點(diǎn)平行于坐標(biāo)平面的單元體，各面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的分量來(lái)表示，稱(chēng)為應(yīng)力分量。 物體內(nèi)各點(diǎn)的內(nèi)力平衡，因此相對(duì)平面上的應(yīng)力分量大小相等，方向相反。2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè) 平行于單元體面的應(yīng)力稱(chēng)為(chn wi)切應(yīng)力，用 、 表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面，第二下標(biāo)x、y分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的 、 。xyzo符號(hào)規(guī)定：圖示單元體面的法線(xiàn)為y，稱(chēng)為(chn wi)y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱(chēng)為正應(yīng)力。正應(yīng)力記為 ，沿y軸的正向?yàn)檎?，其下?biāo)表示所沿坐標(biāo)軸的方向。2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè) 平行于

6、單元(dnyun)體面的應(yīng)力如圖所示 、 ，沿x軸、z軸的負(fù)向?yàn)檎?。圖示單元體面(t min)的法線(xiàn)為y的負(fù)向，正應(yīng)力記為 ，沿y軸負(fù)向?yàn)檎?。符?hào)規(guī)定xyzo2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè)彈性(tnxng)力學(xué)材料力學(xué)(ci lio l xu)注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號(hào)和材料力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號(hào)是不同的。在畫(huà)應(yīng)力圓時(shí)，應(yīng)按材料力學(xué)的符號(hào)規(guī)定。符號(hào)規(guī)定2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè)其它(qt)x、z正面上的應(yīng)力分量的表示如圖所示。應(yīng)力作用面的法向與坐標(biāo)正向(zhn xin)一致時(shí)，應(yīng)力的正向(zhn xin)亦與坐標(biāo)正向(zhn xi

7、n)一致應(yīng)力作用面的法向與坐標(biāo)負(fù)向一致時(shí)，應(yīng)力的正向亦與坐標(biāo)負(fù)向一致2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè)在數(shù)學(xué)上，如果某些量依賴(lài)于坐標(biāo)軸的選擇，并在坐標(biāo)變換時(shí)，按某種指定的形式變化，則稱(chēng)這些(zhxi)量的總體為張量。應(yīng)力(yngl)分量 x 、 y 、 z 、xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz滿(mǎn)足上述性質(zhì)，構(gòu)成應(yīng)力張量。2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè) 應(yīng)力(yngl)張量為二階張量。 應(yīng)力(yngl)張量為對(duì)稱(chēng)張量。 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)完全由應(yīng)力張量確定。 應(yīng)力分量是標(biāo)量，箭頭僅是說(shuō)明方向。應(yīng)力張量的特點(diǎn)可以證明應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)的（切應(yīng)力互等定律），6個(gè)獨(dú)立分量：2-2 應(yīng)力

8、與應(yīng)力張量共一百零三頁(yè)例 已知單元(dnyun)體各面上的應(yīng)力分量，試在單元(dnyun)上標(biāo)出方向與數(shù)值。舉例(j l)共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程(wi fn fn chn)2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)2-3 平衡(pnghng)微分方程 平衡微分方程-表示物體(wt)內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件。平衡 物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。 對(duì)于彈性體，必須討論一點(diǎn)的平衡。共一

9、百零三頁(yè)2-3 平衡(pnghng)微分方程共一百零三頁(yè) 在任一點(diǎn)(y din)（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力(tl)： 應(yīng)力：作用于各邊上， 并表示出正面上 由坐標(biāo)增量引起 的應(yīng)力增量。以平面為例2-3 平衡微分方程共一百零三頁(yè)列出平衡條件：合力 = 應(yīng)力面積，體力體積； 以正向物理量來(lái)表示。平面問(wèn)題中可列出3個(gè)平衡條件（X、Y方向(fngxing)力的平衡和繞C的力矩的平衡）2-3 平衡(pnghng)微分方程共一百零三頁(yè)其中(qzhng)一階微量抵消，并除以 得： ，同理可得：2-3 平衡(pnghng)微分方程共一百零三頁(yè) 當(dāng) 時(shí)，得切應(yīng)力(yngl)互等

10、定理:得2-3 平衡(pnghng)微分方程共一百零三頁(yè)推廣(tugung)到三維應(yīng)力狀態(tài)張量形式(xngsh)為：2-3 平衡微分方程共一百零三頁(yè) 適用的條件(tiojin)-連續(xù)性，小變形；對(duì)平衡微分方程(wi fn fn chn)的說(shuō)明： 代表A 中所有點(diǎn)的平衡條件， 因?yàn)椋?，）A ； 應(yīng)力不能直接求出； 對(duì)兩類(lèi)平面問(wèn)題的方程相同；2-3 平衡微分方程共一百零三頁(yè)理論力學(xué)考慮整體 的平衡（只決定整體的運(yùn)動(dòng)(yndng)狀態(tài)）。 比較(bjio):材料力學(xué)考慮有限體 的平衡（近似）。 彈性力學(xué)考慮微分體 的平衡（精確）。 當(dāng) 均平衡時(shí)，保證 ， 平衡；反之則不然。所以彈性力學(xué)的平衡條件是

11、嚴(yán)格的，并且是精確的。 2-3 平衡微分方程共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)應(yīng)力的方向性 應(yīng)力與方向有關(guān)，例如簡(jiǎn)單拉伸。垂直于軸線(xiàn)(zhu xin)平面上的應(yīng)力P軸向力； A0垂直于軸線(xiàn)的橫截面面積。 而當(dāng)所截平面的法線(xiàn)與軸線(xiàn)成角時(shí)，由于斜面的面積增大(由A0A0/cos) ， 相應(yīng)的軸向應(yīng)力為 隨著增大，截平面越來(lái)越傾斜，應(yīng)力也就越來(lái)越小

12、。單向拉伸時(shí)軸向應(yīng)力(yngl)值隨截面方位變化2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 應(yīng)力的方向性 通常將任意方向截面上的 應(yīng)力分解為兩個(gè)分量(fn ling)： 垂直于截面的分量（正應(yīng)力） 平行于截面的分量（剪應(yīng)力） 顯然，有： 單向拉伸時(shí)軸向應(yīng)力值隨截面方位(fngwi)變化2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè)平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界(binji)只存在正應(yīng)力情況 平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，假設(shè)z=0。x1 ，y2 ，任意截面上BC：(, ) 設(shè)截面BC的面積A， AC面積為Acos，AB的面積為Asin 。 沿BC面的法線(xiàn)方向力的平衡方程為： 即： (2-1) 邊界(binji)存在正應(yīng)力時(shí)斜截面

13、受力圖2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 沿a-a方向(fngxing)，力的平衡方程為：即： (2-2) 邊界存在正應(yīng)力時(shí)斜截面(jimin)受力圖2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 由式(2-1)和(2-2)，將 消去后，可得： 應(yīng)力圓：任一截面正應(yīng)力與剪應(yīng)力關(guān)系(gun x)圖 確定任一截面上的和 。 坐標(biāo)系： 圓 心： 軸上點(diǎn) 半 徑： 應(yīng)力(yngl)圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：Otto Mohr引入） 2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 任一截面上的 和 確定方法： 取任一截面上法向 和 的值。第一主應(yīng)力截面法向夾角 的二倍 2 ，由 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)力圓上對(duì)應(yīng)于2 點(diǎn)的 軸上的 和 的

14、值。 最大剪應(yīng)力確定方法：出現(xiàn)于 或 的截面上，即 出現(xiàn)在圖中的 的截面上，最大剪應(yīng)力的值為 。 2 = 0情況(qngkung)下應(yīng)力圓：應(yīng)力圓將切于上，最大剪應(yīng)力值等于 。 1=2 =0 的情況下：應(yīng)力圓將變成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)在任一截面上將有 = 0。 2-4 平面(pngmin)應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界(binji)同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 如圖所示， xx、 ；yy、 任意截面上BC：( ，) 設(shè)截面BC的面積A， AC的面積為Acos ， AB的面積為Asin 。 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力(yngl)、剪應(yīng)力(yngl)時(shí)斜截面受力圖 2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 沿BC面的法線(xiàn)方向力

15、的平衡方程(fngchng)為： 沿BC面的切線(xiàn)方向力的平衡方程為： 邊界同時(shí)存在(cnzi)正應(yīng)力、剪應(yīng)力時(shí)斜截面受力圖 2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界同時(shí)(tngsh)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 整理后，得 (2-8) 或 (2-9) 消去 后，則得 (2-10)2-4 平面應(yīng)力(yngl)狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界同時(shí)(tngsh)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 坐標(biāo)系： 參 數(shù)： x、y和xy 圓 心： 軸上點(diǎn) 半 徑： 應(yīng)力(yngl)圓 2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況主應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)1、2和0 的確定 剪應(yīng)力為零時(shí)的正應(yīng)力的值為 (2-11)根

16、據(jù)式(2-9)的第二式，當(dāng) =0時(shí)，0則可得 (2-12)式(2-12)也可參照應(yīng)力圓直接列出。2-4 平面(pngmin)應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況如果0為方程式(2-12)的最小正根，則其他的根1，2 ，3 ， n ，可由下式確定即當(dāng) 時(shí)，便可確定 =0時(shí)，x及y分別獲得(hud)極值時(shí)的值，即互相垂直的兩個(gè)主應(yīng)力值。角0和主應(yīng)力可以在應(yīng)力圓上的確定2-4 平面應(yīng)力(yngl)狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 在(，)平面內(nèi)，橫坐標(biāo)軸上取 做為圓心, 取 為 或 ，在 及 處取xy 的值作為(zuwi)縱坐標(biāo)；在 點(diǎn)，取xy為正值，得到應(yīng)力圓的半徑

17、CP1，等于 2-4 平面應(yīng)力(yngl)狀態(tài)共一百零三頁(yè) 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況按式(2-11)，線(xiàn)段OA和OB表示主應(yīng)力，主應(yīng)力1與x軸正向角度0是ACP1之半； 由圖也可以看出，最大剪應(yīng)力 即等于主應(yīng)力差的一半，并且出現(xiàn)于與主應(yīng)力截面成/4 的截面上，故可知，實(shí)際物體中平面(pngmin)之夾角在應(yīng)力莫爾圓中所對(duì)應(yīng)的平面(pngmin)間圓心角被放大了一倍。 2-4 平面應(yīng)力(yngl)狀態(tài)共一百零三頁(yè)1O1O2O21122單向(dn xin)拉伸純剪切單向(dn xin)壓縮典型應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)

18、力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)2-5 空間應(yīng)力(yngl)狀態(tài)OxyzyxyyzABCzzxzyxxyxzOxyzABCNl = cos(N,x)m = cos(N,y)n = cos(N,z)SABC=S SOBC= lS SOAC= mS SOAB= nS 共一百零三頁(yè)xxyxzzzxzyyxyyzOxyzABCNpNpypxpz當(dāng)斜面(ximin)為邊界時(shí)，就是應(yīng)力邊界條件。l = cos(N,

19、x)m = cos(N,y)n = cos(N,z)斜截面(jimin)上全應(yīng)力 = x 向應(yīng)力 + y 向應(yīng)力 + z 向應(yīng)力 2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè)OxyzABCNl = cos(N,x)m = cos(N,y)n = cos(N,z)NNpN斜截面(jimin)上全應(yīng)力 = 正應(yīng)力 + 剪應(yīng)力2-5 空間(kngjin)應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè)面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡。這種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須(bx)滿(mǎn)足變形連續(xù)條件。 在物體(wt)的任意一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)力分量，就可以求得任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力

20、。即六個(gè)應(yīng)力分量完全決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)2-5 空間(kngjin)應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)1）切應(yīng)力(yngl)為零的微分面稱(chēng)為主微分平面，簡(jiǎn)稱(chēng)主平面。 2）主平面的法線(xiàn)稱(chēng)為應(yīng)力主軸或者稱(chēng)為應(yīng)力主方向。3）主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。 2-6 主平面、應(yīng)力(yngl)主方向與主應(yīng)力(yngl

21、)幾個(gè)概念共一百零三頁(yè) 根據(jù)(gnj)主平面的定義，應(yīng)力矢量 Pn的方向應(yīng)與法線(xiàn)方向n一致，設(shè) 為主應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個(gè)分量與主應(yīng)力的關(guān)系為 px = l, py = m, pz = n 2-6 主平面、應(yīng)力(yngl)主方向與主應(yīng)力(yngl)共一百零三頁(yè) 在過(guò)任一點(diǎn)所作任意法線(xiàn)方向?yàn)镹的平面上都有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。如果在某一方向的平面上剪應(yīng)力為零，則此方向稱(chēng)為主方向，而這時(shí)在該面上的正應(yīng)力便稱(chēng)為主應(yīng)力。主方向上的全應(yīng)力等于(dngy)該面上的正應(yīng)力，也就等于(dngy)主應(yīng)力，于是該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影為：于是(ysh)，四面體分別在三個(gè)坐標(biāo)軸方向列平衡方程：2-6 主平面、應(yīng)力主

22、方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)由于三個(gè)方向的方向余弦不可能(knng)同時(shí)為零，關(guān)于l，m，n的齊次線(xiàn)性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即主應(yīng)力特征方程2-6 主平面、應(yīng)力(yngl)主方向與主應(yīng)力(yngl)共一百零三頁(yè)共一百零三頁(yè)一定(ydng)存在三個(gè)根，設(shè)為1， 2， 3，稱(chēng)為該點(diǎn)主應(yīng)力。則： 在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，物體(wt)內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力不會(huì)隨坐標(biāo)系的改變而改變，因而，特征方程中的系數(shù)必為常數(shù)，稱(chēng)為應(yīng)力不變量。2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)應(yīng)力(yngl)張量元素構(gòu)成的行列式 主對(duì)角線(xiàn)元素之和 應(yīng)力張量第一(dy)不變量行列式按主對(duì)角線(xiàn)展開(kāi)的三個(gè)代數(shù)主子式

23、之和應(yīng)力張量第二不變量應(yīng)力張量第三不變量用張量形式表示應(yīng)力張量不變量2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè) 特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別用s1，s2，s3表示，代表某點(diǎn)三個(gè)主應(yīng)力。 對(duì)于(duy)應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入和 l2+m2+n2=1則可求應(yīng)力(yngl)主方向。2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)說(shuō)明(shumng)：1、 受外力處于平衡的結(jié)構(gòu)內(nèi)，任意點(diǎn)有三個(gè)主應(yīng)力，且主平面相互垂直。、主應(yīng)力值和方向只取決于受力狀態(tài)(zhungti)，與選取的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。、所有截面中，2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)主應(yīng)力和應(yīng)力(yngl)主方向取決于結(jié)

24、構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。因此特征方程的三個(gè)根是確定的。特征方程的三個(gè)根，即一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)(shsh)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點(diǎn)三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的三個(gè)應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。不變性實(shí)數(shù)性正交性共一百零三頁(yè)將特征方程求得的三個(gè)主應(yīng)力 s1，s2，s3分別(fnbi)代入可求應(yīng)力(yngl)主方向討論主應(yīng)力相互位置關(guān)系：2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)將分別(fnbi)乘以l2，m2，n2 分別(fnbi)乘以- l1,- m1,- n1六式相加，整理可得：

25、 2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)同理可得如果(rgu)s1s2s3 則說(shuō)明(shumng)3個(gè)應(yīng)力主方向必相互垂直 2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè) s1 和s2 的方向(fngxing)可以垂直或不垂直。 s1 和s2 的方向必與s3 的方向垂直。如果(rgu)s1 = s2s3 則2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)任何方向(fngxing)都是應(yīng)力主方向(fngxing)。 如果(rgu)s1 = s2 = s3 則2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)主應(yīng)力正交性結(jié)論(jiln)：1.若1 2 3 ，特征方程無(wú)重根； 應(yīng)力主軸(zhzhu

26、)必然相互垂直；2.若1= 2 3 ，特征方程有兩重根； 1 和2 的方向必然垂直于3 的方向。而1 和2 的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若1= 2 = 3 ，特征方程有三重根； 三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應(yīng)力主軸。2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)2-7 空間(kngjin)

27、應(yīng)力狀態(tài)幾何表示ABCxyzOpxpypzpNNtN如選擇(xunz)主應(yīng)力方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向，則：共一百零三頁(yè) 橢球面方程，其主半軸的長(zhǎng)度分別等于(dngy)1、2、3。這個(gè)橢球面稱(chēng)為應(yīng)力橢球面。 對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，任意斜截面上全應(yīng)力矢量 S 的端點(diǎn)(dun din)必然在橢球面上。 應(yīng)力橢球面 2132pp213p1p32-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示共一百零三頁(yè)主應(yīng)力圖只用主應(yīng)力的個(gè)數(shù)（不表明大?。┘罢?fù)號(hào)來(lái)描述一點(diǎn)(y din)應(yīng)力狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱(chēng)主應(yīng)力圖。常常根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)來(lái)區(qū)分各種( zhn)應(yīng)力狀態(tài)。 單向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)共一百零三頁(yè)所以(suy)分母：或改寫(xiě)(

28、gixi)成：假設(shè)：1 2 3共一百零三頁(yè)同理：共一百零三頁(yè)以任意(rny)斜截面上主應(yīng)力和剪應(yīng)力建立坐標(biāo)系。O1O3O2在NN平面上以P1(1,0)， P2(2,0)， P3(3,0)三點(diǎn)(sn din)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，可作出三個(gè)Mohr圓。O1：l=0，m，n 變化（,）軌跡O2：m=0，l，n 變化（,）軌跡O3：n=0，m，l 變化（,）軌跡 共一百零三頁(yè)O1O3O2任意斜截面上的應(yīng)力(yngl)必由處于以三個(gè)圓周為界的陰影區(qū)中的某一點(diǎn)應(yīng)力表示。共一百零三頁(yè)O1O3O2由于3的存在并不影響1 2平面(pngmin)內(nèi)的平衡條件，因此，以12為直徑的Mohr圓上各點(diǎn)代表了單元體上

29、所有與3與平行的各斜截面上的應(yīng)力。（同理解釋另兩個(gè)圓）共一百零三頁(yè)最大剪應(yīng)力 斜截面上的剪應(yīng)力隨斜截面的方位(fngwi)而改變。剪應(yīng)力達(dá)到極值的平面稱(chēng)為主剪應(yīng)力平面，對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力稱(chēng)為主剪應(yīng)力。 當(dāng) 時(shí)，截面(jimin)剪力達(dá)極值123共一百零三頁(yè)最大剪應(yīng)力123123123共一百零三頁(yè)主剪應(yīng)力平面(pngmin)上的正應(yīng)力和主剪應(yīng)力值，即 三組(sn z)主剪應(yīng)力平面分別與一個(gè)主平面垂直，與另外兩個(gè)主平面交成 45角。 01245設(shè)共一百零三頁(yè)共一百零三頁(yè)（1）用主應(yīng)力表示(biosh)截面的正應(yīng)力有：考慮(kol)到得到求駐值有得到同樣得到和【結(jié)論】 1、2和3是正應(yīng)力的駐值且是主應(yīng)力（

30、剪應(yīng)力0）；它們作用在主平面上（垂直于主平面）；按大小順序排列。求主應(yīng)力和主剪應(yīng)力的另一方法共一百零三頁(yè)(2) 用主應(yīng)力表示截面上的剪應(yīng)力求駐值：共一百零三頁(yè)討論(toln)：假定A）得B）得C）得同樣(tngyng)得到共一百零三頁(yè)【結(jié)論】 剪應(yīng)力駐值發(fā)生在主平面平分(pngfn)角的平面上或主平面上；主剪應(yīng)力為 (ij=| i j |/2)；主剪應(yīng)力平面并不一定就是純剪平面；主剪應(yīng)力亦按順序排列。共一百零三頁(yè)【例題】已知某點(diǎn)的應(yīng)力(yngl)狀態(tài)為：求：主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。解：共一百零三頁(yè)【例題(lt)】已知某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：求：作用于過(guò)該點(diǎn)，方程(fngchng)為 的平面外 側(cè)的正應(yīng)力

31、和剪應(yīng)力。解：共一百零三頁(yè)共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2-4 平面應(yīng)力狀態(tài)2-5 空間應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向(fngxing)與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)【定義】在 坐標(biāo)系中，假設(shè)在 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)為 ，如果找到某一坐標(biāo)系 ，使得 ，則定義為 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)為純剪切狀態(tài)(zhungti)。一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)成為純剪切狀態(tài)的充分(chngfn)必要條件是2-8 純剪切狀態(tài)必要性證明由定義出發(fā)即可得 I1=ii=

32、0充分性利用連續(xù)性論據(jù)證明：1=0 2=0 3=0共一百零三頁(yè)為使I1=0，必有正應(yīng)力(yngl)中的一個(gè)分量與另兩個(gè)分量反向；假定(jidng)為x、y正，則z必為負(fù)；固定x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)，必會(huì)找到一個(gè)平面，其上正應(yīng)力為零，設(shè)其法線(xiàn)方向?yàn)?， 2 0；2-8 純剪切狀態(tài)共一百零三頁(yè)由 I1=x+ s +2 = 0 x與3正必反向(fn xin)固定2軸，繞2軸旋轉(zhuǎn)，必會(huì)找到一個(gè)平面，其上正應(yīng)力為零，設(shè)其法線(xiàn)(f xin)方向?yàn)?， 3 = 0 ；x+ s = 0所以有 3 = 0 ；2-8 純剪切狀態(tài)共一百零三頁(yè)第二章 應(yīng)力(yngl)2-1 外力2-2 應(yīng)力與應(yīng)力張量2-3 平衡微分方程2

33、-4 平面應(yīng)力狀態(tài)2-5 空間(kngjin)應(yīng)力狀態(tài)2-6 主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力2-7 空間應(yīng)力狀態(tài)幾何表示2-8 純剪切狀態(tài)2-9 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量2-10 八面體應(yīng)力共一百零三頁(yè)2-9 應(yīng)力(yngl)球張量和應(yīng)力(yngl)偏張量應(yīng)力(yngl)張量的分解定義平均應(yīng)力：平均應(yīng)力m對(duì)應(yīng)于靜水應(yīng)力狀態(tài)，它表示任意一個(gè)面都是主平面；主應(yīng)力值都相等；在應(yīng)力圓上是一個(gè)點(diǎn)；靜水應(yīng)力張量是各向同性張量；與所取的坐標(biāo)無(wú)關(guān)，即對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，它為單值。 共一百零三頁(yè)應(yīng)力(yngl)偏張量應(yīng)力(yngl)球張量應(yīng)力張量可以分解為兩部分，一部分是應(yīng)力球張量(Spherical stress tensor)或靜水應(yīng)力張量，另一部分是應(yīng)力偏張量(Deviatoric stress tensor) 。應(yīng)力球張量只改變單元體體積，由平均正應(yīng)力組成的