阿氏圓最值模型

1、阿氏圓最值模型中考數(shù)學(xué)幾何模型：阿氏圓最值模型在前面的 胡不歸”問題中，我們見識了 “kPA+PB最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng) P點(diǎn)軌跡變?yōu)?圓時(shí)，即通常我們所說的阿氏圓”問題.【模型來源】“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖所示，已知 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA： PB=k (kwi),則滿 足條件的所有的點(diǎn) P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏 圓”.【模型建立】如圖1 , OO的半徑為R,點(diǎn)A、B都在。O外，P為。O上一動(dòng)點(diǎn)，已知R=- QB,連接PAPB,則5當(dāng)“pa+2pb”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定?5解決辦法：如圖2所示，在線段

2、OB上截取OC使OC=2r,則可說明ABPO與APCO相似，則有ZpB=PC。55故本題求“PA+2PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、 5P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“ PA+PC”值最小。阿氏圓最值模型【技巧總結(jié)】計(jì)算PA k-PB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點(diǎn)P使得PA kPB的值最小，解決步驟具體如下:1.如圖所示，將系數(shù)不為 1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即 OP, OB2,計(jì)算出這兩條線段的長度比0P kOB3.在 0B 上取一點(diǎn) C,使得 0c k,即構(gòu)造POMsBOP,則 EC k, PC k，PB

3、 OPPB4,則PA kPB=PA PC AC,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值例題1.如圖所示，在RtAABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=3 ,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓 C,分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 1PA PB的最小值為2阿氏圓最值模型變式練習(xí)1.如圖1所示，在 RTA ABC中，/ ACB=90 , CB=4, CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接APBP,1求AP BP ,2AP BP ,AP BP ,AP 3BP的最小值.3例題2.如圖所示，點(diǎn) C坐標(biāo)為(2,5),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(7,0), O C的半徑為V10，點(diǎn)B在O C上

4、一動(dòng)點(diǎn),J5 ，一，OB AB的最小值為5變式練習(xí)2.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(6,-1),M(4,4),以M為圓心，22為半徑畫圓，O為原點(diǎn)，P阿氏圓最值模型是。M上一動(dòng)點(diǎn)，則 PO+2PA的最小值為 .例題3.如圖所示，半圓的半徑為 1, AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1, BD=2, P為標(biāo)上一動(dòng)點(diǎn)，求C+PD的最小值.變式練習(xí)3.如圖所示，四邊形 ABCD為邊長為4的正方形，OB的半徑為2, P是。B上一動(dòng)點(diǎn)，則PD看PC的最例題4.如圖所示，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD - PC2的最大值為.阿氏圓最值模型變式練習(xí)4.

5、 (1)如圖1所示，已知正方形 ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+看FC的最小值為 ，pd-的最大值為 -(2)如圖2,已知菱形 ABCD的邊長為4, ZB = 60,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD1匚的最小值為方-pc的最大值為例題5.如圖所示，拋物線 y=-x2+bx+c與直線AB交于A (- 4, -4) , B (0, 4)兩點(diǎn)，直線 AC: y= - - x 2-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E作EFL x軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn) G.(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；(2)連接GB, EO,當(dāng)四邊形

6、GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) G的坐標(biāo)；阿氏圓最值模型變式練習(xí)5.如圖1所示，拋物線 有一動(dòng)點(diǎn)E ( m, 0)B ,在x軸上 P,過點(diǎn)P作y=ax2+ (a+3) x+3 (aw。與x軸交于點(diǎn)A (4, 0),與y軸交于點(diǎn) (0m4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)N ,交拋物線于點(diǎn)PMLAB 于點(diǎn) M.(1)求a的值和直線 AB的函數(shù)表達(dá)式;設(shè)4PMN的周長為Ci, 4AEN的周長為02,若,求m的值;a 90),連如圖2,在(2)條件下，將線段 OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OE,旋轉(zhuǎn)角為接EA、EB,求EA+2eB的最小值.3阿氏圓最值模型當(dāng)堂訓(xùn)練.如圖所示，在 RTA ABC中，/ B=90 , AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓與 AC相切，圓C的半徑為 近，點(diǎn)P為圓B上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP.如圖所示，邊長為 4的正方形，內(nèi)切圓記為 OO, P是。O上一動(dòng)點(diǎn)，則 J2 PA+PB的最小值為 .如圖所示，等邊4ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為OO, P是。O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PC的最小值為 .1 .如圖所示，在RtA ABC中，/ C=90 , CA=3,CB=4, OC的半徑為2,點(diǎn)P是0c上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP - PB