2.6 矩陣的初等變換

1、2.6 矩陣的初等變換定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換.（1）互換兩行：（2）數(shù)乘某行：（3）倍加某行：一、矩陣的初等變換定義 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換同理，把 換成 可定義矩陣的初等列變換.初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同逆變換逆變換逆變換1例1矩陣B依其形狀特征稱為行階梯形矩陣.2一般的，稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣：1）零行（元素全為零的行）位于矩陣的下方；2）各非零行的首非零元的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大 而嚴(yán)格增大；再對(duì)例1中的矩陣作一系列的初等行變換，可得到矩陣C稱C這種特殊形狀的階梯形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣.3一般的，稱滿足下列條件的階梯形矩陣

2、為行最簡(jiǎn)形矩陣：1）各非零行的首非零元都是1；2）每個(gè)首非零元所在的列的其余元素都是零；再對(duì)矩陣作一系列的初等列變換，可得到矩陣D這里矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形.特點(diǎn)：左上角是一個(gè)單位陣，其余元素全為零.4利用初等行變換可把矩陣 化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.定理1任一矩陣A都可經(jīng)過(guò)有限次的初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.即5例3 將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形例2 將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形.6定義經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣 ，如果矩陣就稱矩陣，記作等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：（1）自反性：（2）對(duì)稱性：（3）傳遞性：定理1可寫(xiě)為：任一矩陣均與其標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià).7二、初等矩陣相應(yīng)地，三種初等變換對(duì)應(yīng)著三

3、種初等方陣.定義、對(duì)換對(duì)單位陣I施以一次初等變換得到的矩陣就稱為初等矩陣.記作8、數(shù)乘記作9、倍加記作10初等矩陣的性質(zhì):初等矩陣是可逆的，且其逆矩陣為初等矩陣，即11定理2 設(shè)1）對(duì)A的行施以一次某種初等變換得到的 矩陣， 等于用同種的m階初等矩陣左乘A;2）對(duì)A的列施以一次某種初等變換得到的 矩陣， 等于用同種的n階初等矩陣右乘A.12推論 如果A為n階可逆矩陣，則矩陣A可經(jīng)過(guò)有限次的 初等變換化為單位陣I，即AI.證明：根據(jù)定理1,對(duì)A施以若干次初等變換可化為其標(biāo)準(zhǔn)形D. 對(duì)A施以初等變換等于用相應(yīng)的初等矩陣乘A, 因A可逆, 且初等矩陣可逆, 則其乘積也可逆, 所以D可逆, 則|D|0

4、, 于是D不能有任一行(列)的元素全為零, 因此D必等于I.13三、求逆矩陣的初等變換法求逆矩陣可用伴隨矩陣法對(duì)于高階矩陣，伴隨矩陣法計(jì)算量太大，下面給出一種較為簡(jiǎn)便的方法初等變換法.定理3 n階矩陣A可逆的充要條件是A可表示成若干初等 矩陣的乘積.14證: 充分性顯然, 下證必要性.由推論知, 若A可逆, 則經(jīng)若干次初等變換可化為I, 也就是說(shuō), 存在初等矩陣P1,Ps,Q1,Qt,使I=P1PsAQ1Qt那么A=Ps-1P1-1IQt-1Q1-1=Ps-1P1-1Qt-1Q1-1 即矩陣A可可以表示成一些初等矩陣的乘積.15下面介紹一種求逆矩陣的方法如果A可逆, 則A-1也可逆, 根據(jù)上面

5、定理, 存在初等矩陣G1,G2,Gk, 使A-1=G1G2Gk那么有 A-1A=G1G2GkA即I=G1G2GkA(1) A-1=G1G2GkI (2)(1)式表示對(duì)A的行施以若干次初等變換化為I, (2)式表示對(duì)I的行施以同樣的初等變換化為A-1. 于是可以得出一個(gè)求逆矩陣的方法.16求逆矩陣的初等變換法：求n階矩陣A的逆A-1時(shí)，可構(gòu)造n2n階矩陣（A I），然后對(duì)其施以初等行變換，將矩陣A化為單位陣I，則這些初等行變換也將其中的單位陣I化為A-1，即17例3 求矩陣 的逆矩陣.注：上面用初等變換求逆矩陣的方法, 僅限于對(duì)矩陣的行施以初等變換, 即初等行變換, 不得出現(xiàn)初等列變換.但亦可用對(duì)矩陣的列施以初等變換求逆矩陣. 此時(shí)作2nn矩陣 , 然后對(duì)此矩陣施以僅限于列的初等變換, 使子塊A化為I, 則同時(shí)子塊I即化為 .18即注：如果不知矩陣A是否可逆, 也可用初等變換求逆矩陣 的方法去判斷, 在分塊矩陣 或 中子 塊A處有一行（或一列