高中數(shù)學選擇性必修一 專題1.3 空間向量及其運算的坐標表示（含答案）

1、2020-2021年高二數(shù)學選擇性必修一尖子生同步培優(yōu)題典1.3空間向量及其運算的坐標表示（解析版）學校:_姓名：_班級：_考號：_注意事項：本卷共18小題，8道單選題，3道多選題，3道填空題，4道解答題。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題滿分5分）1（2020全國課時練習）在空間直角坐標系中，已知，則直線AD與BC的位置關(guān)系是（ ）A平行B垂直C相交但不垂直D無法判定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得向量和的坐標，再結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運算，即可得到兩直線的位置關(guān)系，得到答案.【詳解】由題意，點，可得，又由，所以，所以直線AD與BC垂直.故選：B.【點睛】本題主要考查了空間向量的數(shù)

2、量積的運算及其應(yīng)用，其中解答中熟記空間向量的坐標運算，以及空間向量的數(shù)量積的運算是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2（2020全國課時練習）已知向量，若，則與的夾角為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得，且，所以，所以，選C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積坐標運算與運用向量求夾角，但本題更重要的是要發(fā)現(xiàn)的平行關(guān)系，就可以簡化運算，否則要設(shè)坐標，待定系數(shù)運算求坐標，運算復(fù)雜了3（2020全國單元測試）已知為坐標原點，向量，點，.若點在直線上，且，則點的坐標為（ ）.ABCD【答案】A【解析】【分析】由在直線上，設(shè)，再利用向量垂直，可得，進而可求E點坐標.【詳解】因為在直

3、線上，故存在實數(shù)使得，來源:Zxxk.Com.若，則，所以，解得，因此點的坐標為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數(shù)量積運算，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.4（2018北京一零一中學雙榆樹校區(qū)高二期中）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，平面A1B1C1D1內(nèi)的一動點P，滿足到點A1的距離與到線段C1D1的距離相等，則線段PA長度的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】來源:Z.xx.k.Com【分析】建立空間直角坐標系，由題意得點P在以點A1為焦點、以C1D1為準線的拋物線上，由此可得點P坐標間的關(guān)系，然后根據(jù)空間中兩點間的距離公式求解可得結(jié)果【詳解】如

4、圖，以A1D1的中點為原點，以A1D1為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則由于動點P到點A1的距離與到線段C1D1的距離相等，所以點P在以點A1為焦點、以C1D1為準線的拋物線上由題意得，在平面內(nèi)，拋物線的方程為，設(shè)點P的坐標為，則，所以，又，所以當時，有最小值，且故選C【點睛】本題考查空間中兩點間的距離公式及最值問題，解題的關(guān)鍵有兩個：（1）建立空間直角坐標系，并得到相關(guān)點的坐標；（2）根據(jù)題意得到點P在拋物線上，進而消去一個參數(shù)將所求距離化為二次函數(shù)的問題處理5（2019浙江溫州中學高三月考）在四面體ABCD中，為等邊三角形，二面角的大小為，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】

5、【分析】以B為原點建立空間直角坐標系,根據(jù)關(guān)系寫出各個點的坐標,利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范圍.【詳解】以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系:因為為等邊三角形，不妨設(shè),由于,所以因為當時四點共面,不能構(gòu)成空間四邊形,所以則,由空間向量的坐標運算可得設(shè)平面的法向量為則代入可得令,則,所以設(shè)平面的法向量為則,代入可得令,則,所以二面角的大小為則由圖可知,二面角為銳二面角所以因為所以即所以 故選:C【點睛】根據(jù)直線與平面夾角的特征及取值范圍,即可求解,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.6（2020全國高二課時練習）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4

6、，BC1，AA13，已知向量a在基底下的坐標為(2,1，3)若分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則a的空間直角坐標為()A(2,1，3)B(1,2，3)C(1，8,9)D(1,8，9)【答案】D【解析】【分析】將向量a根據(jù)坐標先用向量，表示，再將，表示為，即可得新坐標.【詳解】a23238ji9k(1,8，9)答案：D【點睛】本題主要考查了空間向量用不同的向量作基底的不同表示，涉及到了空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.7（2019武岡市第二中學高一月考）如圖，在三棱柱中，底面，則與平面所成角的大小為ABCD【答案】A【解析】【分析】建立空間坐標系，計算坐標，計算平面的法向量

7、，運用空間向量數(shù)量積公式，計算夾角即可【詳解】取AB的中點D，連接CD，以AD為x軸，以CD為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標系，可得，故，而，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)，解得，來源:Z_xx_k.Com.故與平面所成角的大小為，故選A【點睛】考查了空間向量數(shù)量積坐標運算，關(guān)鍵構(gòu)造空間直角坐標系，難度偏難8（2019浙江省杭州第二中學高三月考）已知長方體中，空間中存在一動點滿足，記，則（ ）.A存在點，使得B存在點，使得C對任意的點，有D對任意的點，有【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，由題意可得各頂點的坐標，由，設(shè)的坐標為，可得、的取值范圍都為，求出數(shù)量積，由的坐標的范圍可得答案【詳解

8、】以為軸，為軸，為軸，為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，、，設(shè)點，所以，因為，所以，恒成立，故C正確，A不正確；，令，則，矛盾，所以B不正確；恒成立，所以D不正確.故選：C【點睛】本題考查了空間向量數(shù)量積的大小比較，考查了推理能力與計算能力，屬于難題二、多選題（3道小題，每小題滿分5分，答漏得3分，答錯得0分）9（2020全國課時練習）如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出如下四個結(jié)論，其中正確的是（ ）A BC D平面的法向量和平面的法向量互相垂直【答案】BC【解析】【分析】以D為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系

9、，寫出各點坐標，利用向量的數(shù)量積為，分別判斷A ，B，C選項；求出平面的法向量，由得出D錯誤【詳解】以D為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設(shè)折疊前的等腰直角三角形的斜邊，則，則，.從而有，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，故，故D錯誤.故選：BC【點睛】本題考查立體幾何中的折疊問題，考查空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題10（2020福建三明高二期末）（多選題）如圖，在長方體中，以直線，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則（ ）A點的坐標為B點關(guān)于點對稱的點為C點關(guān)于直線對稱的點為D點關(guān)于平面對稱的點為【答案】AC

10、D【解析】【分析】由已知可得各點坐標，由對稱性可判斷各選項的真假【詳解】根據(jù)題意知：點的坐標為，選項A正確；的坐標為，坐標為，故點關(guān)于點對稱的點為，選項B錯誤；在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點關(guān)于直線對稱的點為，選項C正確；點關(guān)于平面對稱的點為，選項D正確；故選：ACD.【點睛】本題考查空間直角坐標系，屬于基礎(chǔ)題11（2020全國高二課時練習）（多選）已知單位向量，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標系（為坐標原點）下的“仿射”坐標，記作，則下列命題是真命題的有（ ）.A已知，則B已知，其中，則當且僅當時，向量，的夾角取得最小值C已知，則D已知，

11、則三棱錐的表面積【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)“仿射”坐標的定義逐項判斷即可.【詳解】 因為，且，所以，故A錯誤；如圖所示，設(shè)，則點在平面上，點在軸上，由圖易知當時，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故B正確；根據(jù)“仿射”坐標的定義可得，故C正確；由已知可得三棱錐為正四面體，棱長為1，其表面積，故D錯誤.故選：BC.【點睛】新定義概念題，考查對新概念的理解能力以及運算求解能力，基礎(chǔ)題.三、填空題（3道小題，每小題滿分5分）12（2020陜西大荔高二期末（理）已知向量，則在方向上的投影為_【答案】【解析】【分析】來源:學.科.網(wǎng)Z.X.X.K根據(jù)向量投影的計算公式，計算出在方向上的投影.【

12、詳解】依題意在方向上的投影為.【點睛】本小題主要考查向量在另一個向量上的投影的計算，考查空間向量的數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.13（2020全國高二課時練習）已知，.若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)與的夾角為鈍角，由且求解.【詳解】因為，所以，因為與的夾角為鈍角，所以且，由，得，所以.若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14（2018安徽合肥一中高三一模（理）棱長為的正方體如圖所示，分別為直線上的動點，則線段長度的最小值為_【答案】【解析】【分析】【詳解】分

13、析：先建立空間直角坐標系，再求AF,BG的公垂線段的長度即得解.詳解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)則由.所以來源:Z&xx&k.Com故答案為點睛：（1）本題主要考查空間直角坐標系的計算，考查異面直線上兩點的最短距離，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和計算能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到坐標法，如果已知有垂直等關(guān)系便于建立直角坐標系時，用坐標法解答解題效率比較高.四、解答題（4道小題，每小題滿分10分）15（2020全國高二課時練習）已知在空間直角坐標系中，.（1）求；（2）若點M滿足，求點M的坐標；（3）若，求.【答案】（1），；（2）；（3）16.【解析】【分析】先由點的坐標求

14、出各個向量的坐標，再按照空間向量的坐標運算法則進行計算即可.【詳解】（1）因為，所以.所以，又所以，又所以.（2）由（1）知，若設(shè)M(x，y，z)，則于是，解得，故（3）由（1）知，.【點睛】本題主要考查了空間向量及其運算的坐標表示，屬于中檔題.16（2018黑龍江道里哈爾濱三中高三三模（文）矩形ABCD中，P為線段DC中點，將沿AP折起，使得平面平面ABCP求證：；求點P到平面ADB的距離【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（）推導(dǎo)出BPAP，從而BP平面ADP，由此能證明BPAD（）以P為原點，PA、PB為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標系Pxyz，利用向量法能求出點P到平面ADB

15、的距離【詳解】，則有，滿足，平面平面ABCP，平面平面平面ADP，平面ADP，以P為原點，PA、PB為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標系，0，0，0，則0，0，設(shè)平面ABD的法向量y，則，取，得1，點P到平面ADB的距離【點睛】本題考查線線垂直的證明，點到平面的距離的求法和空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題17（2020河南中原鄭州一中高三開學考試（理）如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，、分別是、的中點，點在線段上，且.（1）求證：不論取何值，總有；（2）當時，求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）

16、建立空間直角坐標系，表示出，然后計算，進行判斷可得結(jié)果.（2）分別計算平面，平面的一個法向量，然后使用空間向量的夾角公式計算即可.【詳解】以點為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，.（1），.，因此，無論取何值，；（2）當時，平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，則，設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，則.因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.【點睛】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，重在計算，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，屬中檔題.18（2020全國高二課時練習）設(shè)全體空間向量組成的集合為，為中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設(shè)，若，求向量；（2）對于中的任意兩個向量，證明：；（3）對于中的任意單位向量，求的最大值.【答案】（1）或；（2）見解析；（3）最大值為.【解析】分析：（1），設(shè)，代入運算得：，從而可得結(jié)