高教版中職數(shù)學(xué)35《正態(tài)分布》word教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案第13講 正態(tài)分布教學(xué)目的 ：懂得并嫻熟把握正態(tài)分布的密度函數(shù)、質(zhì)；教學(xué)重點(diǎn) ：正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)；分布函數(shù)、 數(shù)字特點(diǎn)及線性性教學(xué)難點(diǎn) ：正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布的線性性質(zhì)；教學(xué)學(xué)時(shí)： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)過程 : 第四章 正態(tài)分布 4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)在爭(zhēng)論正態(tài)分布之前,我們先運(yùn)算積分210ex2dx； 利用極坐標(biāo)222x2der2rdr2第一運(yùn)算e2dx；由于x2y 2x 2x 2e2dxe2dyR2e2d20運(yùn)算 x 2所以 e 2 dx 2；記 x t,就利用定積分的換元法有x 2t 2 t 21 e 2 2dx 1 e 2 dt 1 e

2、2 dt 1 2 12 2 2 2x 2由于 1e 220,所以它可以作為某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；2定義 假如連續(xù)隨機(jī)變量 X 的概率密度為x 2f x 1 e 2 2, x ,22就稱隨機(jī)變量 X 聽從正態(tài)分布 , 記作 X N , , 其中 , 0 是正態(tài)分布的參數(shù)；正態(tài)分布也稱為高斯（Gauss）分布；對(duì)于 0 , 1 的特別情形 , 即假如 X N 1,0 , 就稱 X 聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ,它的概率密度記為x , 有名師精編ex2優(yōu)秀教案x1 2；2函數(shù)x1ex 2的圖象的特點(diǎn)：x 的正負(fù)性可知 , x0是22令xxex 20,得駐點(diǎn)x0；依據(jù)22x 的極大值點(diǎn) , 該點(diǎn)坐標(biāo)為

3、,01；2令xx21ex20, 得x1, 依據(jù)22x 的正負(fù)性可知 , 函數(shù)ex 在1 ,1e1和,111,1和,1內(nèi)是凹的 , 在1,1內(nèi)是凸的 , 22是22拐點(diǎn)；x 2由于 lim x 12 e 2 0 , 所以 x 軸是該曲線的漸近線；依據(jù) x 的偶函數(shù)性質(zhì) , 函數(shù) x 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；依據(jù)上述特點(diǎn)作出 x 的曲線如下：極大值點(diǎn)拐點(diǎn)對(duì)于一般的正態(tài)分布X N,2, 概率密度函數(shù)fx1ex22有如22名師精編 優(yōu)秀教案下特點(diǎn)：1 在 X處達(dá)到極大值,極大值點(diǎn)為,1；,1e1, 在22 在 X處 為 圖 象 的 拐 點(diǎn) , 拐 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為22,內(nèi)是凸的 , 其它范疇內(nèi)是凹的；3

4、 x 軸為漸近線；4 越大,最大值越小,拐點(diǎn)越偏離；5 圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱；對(duì)于 X N , 2, 它的分布函數(shù)為t 2 t 2F x P X x x 1 e 2 2dt 1 xe 2 2dt2 2t 2對(duì)于 X N 0 1, , 記它的分布函數(shù)為 x 1 xe 2 dt；2依據(jù) x x 以及 x x 的正負(fù)性質(zhì) , 得 x 在整個(gè)實(shí)數(shù)范疇內(nèi)單調(diào)遞增；在 x 0 范疇內(nèi)圖象是凸的 , 在 x 0 范疇內(nèi)圖象是凹的 , x 0 是拐點(diǎn)；又 lim x 0 , lim x 1 , 得兩條漸近線 y 1 和 x 軸；依據(jù) x 的對(duì)稱性,得x x0 1；依據(jù)上述爭(zhēng)論作出 x 的圖象如下：2依據(jù) x

5、 的性質(zhì)仍可以得到 x 1 x；名師精編優(yōu)秀教案x 在x0時(shí)的數(shù)x 的直接運(yùn)算是比較困難的, 但可以通過查表得到值；對(duì)于x0的情形,可以依據(jù)x1x求得；x 的關(guān)系如下：x.一般的正態(tài)分布X N,2的分布函數(shù)Fx與Fx1xet222dt記ut1xeu22du記vu1xev 2dv22222有了Fx與x 的關(guān)系,就可以求出任何正態(tài)隨機(jī)變量X 落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率；對(duì)于X N,2, 某兩個(gè)數(shù)x1, x2滿意x1x2, 就有Fx1X2P1Px 1x2PXxxXFx 2又由于 X 是連續(xù)隨機(jī)變量 , 因此有Px 1Xx2Px 1Xx2Px 1Xx2Fx2Fx 1例1 已知X N15.4, 求PX4和PX

6、2；0. 99700.0030解X 聽從參數(shù)1.5 ,2的正態(tài)分布 , 故有. 751421.52.7512PX4PX2PX2PX2PX21PX22221.5121.51.7510.2520.59810.44141.750.2520.9599例2 已知X N,2, 求PXk,k,123,；解PXkP1k1Xkkkkk2k12k0 .6826,;12210.9544 ,k2;2310. 9974,k3.例3 已知X N0 1,名師精編Y優(yōu)秀教案, 求隨機(jī)變量X2的概率密度函數(shù)；fX解因?yàn)閄 N0 1,fY所以yYX的密度e函數(shù)xx1ex 2,xy；,就的分布函數(shù)220FYyPYyPX2, 此時(shí)y

7、FY；明顯當(dāng)Y0時(shí),FYy0對(duì)于Y0的情形有PyXy1y yex 22yx2F YyPX2y2dx2dx220此時(shí)fYyFYyd20yex 2dx2ey21y1y1ey2222dy222故隨機(jī)變量 Y 的概率密度函數(shù)為fYy1y1ey,y02220 ,y0注 稱上述隨機(jī)變量 Y 聽從自由度為 1的2 分布；4.2 正態(tài)分布的數(shù)字特點(diǎn)我們第一爭(zhēng)論一般正態(tài)分布N,2與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0 1,數(shù)字特點(diǎn)間的關(guān)系；由一般正態(tài)分布X N,2的分布函數(shù)Fx與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)X N,2X N1,0；由期望與x 的關(guān)系可知,假如隨機(jī)變量, 就Y方差的線性性質(zhì)知EXEYEY,DXDY2DY.,因此 , 要爭(zhēng)論

8、正態(tài)分布的數(shù)字特點(diǎn) 1. 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望, 只需爭(zhēng)論標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)字特點(diǎn)就可以了；Y對(duì)1,EYx1ex2dx1ex2dx 221ex 2.0于 N0222222對(duì)于X N,2,EX名師精編優(yōu)秀教案EY.2. 正態(tài)分布的方差所以對(duì)于Y N01,DYEY21EY,2, 已知EY0,dex 2EY2x21ex2dxx211 2x2xe2dx222221xex 2DYex 2,方差是2 ；22dx2201221.2；2DYEY2EY21；對(duì)于X N,2,DX綜合上面的爭(zhēng)論知,正態(tài)分布N2的期望值是4.3 正態(tài)分布的線性性質(zhì) 1. 單個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量線性函數(shù)的分布已知X N,2,a,bRb0, 記隨機(jī)變量YabX, 下面爭(zhēng)論 Y 的性質(zhì)；由于YbaaX N2,2, X N1,0, 故有由此可見YNb,bYbaYab N1,0b2,既單個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍舊聽從正態(tài)分布；2. 兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量和的分布已 知 兩 個(gè) 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量X ,Y滿 足X N1,12,Y N222,22, 就ZXY仍舊聽從正態(tài)分布；由數(shù)字特點(diǎn)的線性性質(zhì)可得2EZEXEY12,DZDXDY1因此有ZXY N12,1222；名師精編 優(yōu)秀教案對(duì)于上述結(jié)論不予證明 , 其有更廣泛的結(jié)論；定理 設(shè)隨機(jī)變量 X 1 , X 2 , ,