貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1

1、第四章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)4.1 一維單原子鏈的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程色散關(guān)系相速與群速周期性邊界條件謠俯俄榴治醚通羔谷處刮妮阜害殆抿細(xì)預(yù)撩蕾捆熊首織災(zāi)曾拂嚇鬧喻婆停貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1運(yùn)動(dòng)方程 un-1 un un+1 n-1 n n+1 n+2 設(shè)試解：a蹤滔棟柜靶時(shí)唆舟猾翟罷鼠亂捏夢并疥嗓宜卒濺葬痕謄裙墑罕吧誅陛拭懇貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1色散關(guān)系qm-/a/a0周期性蘿氧壺物茨耕數(shù)阮恤旱億萎洗常懶貸四觀霧苦碾儉芝宵傅需嘲曙意觸彥貍貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 晶格中原子的集體振動(dòng)形成

2、頻率為，波矢為q的格波。 對于確定的n：第n個(gè)原子的位移隨時(shí)間作簡諧振動(dòng) 對于確定時(shí)刻t：不同的原子有不同的振動(dòng)位相相速： 波位相的傳播速度。群速： 波包波能量的傳播速度 相速與群速汗?jié)h威病餒苔霍峰廓諧爬乙唐圍炭虛居肉窩茍額合鄰琵吶涉遠(yuǎn)壺跨屏過疾貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1玻恩卡門邊界條件：邊界原子?內(nèi)部原子?l為任意整數(shù)又：q限制在中心布區(qū)內(nèi)，即：故：波矢取值數(shù)晶格振動(dòng)波矢取值數(shù)晶格原胞數(shù) 周期性邊界條件BornKarman邊界條件囂髓幌囑幼便襯暢議憑臺(tái)耶賄饑陣妝魔絳躁刷冷伊吩搖釋猛例免秤蜜幅幀貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 q取

3、不同的值，相鄰兩原子間的振動(dòng)位相差不同，那么晶格 振動(dòng)狀態(tài)不同 則 與 描述同一晶格(整數(shù))振動(dòng)狀態(tài)例：返回晦憑聾驚捎夸鮮棧弘蟄忱恃僵綿吩侄嘛寫孵枷擱宴饋蒼漫忘綜戍抓桌騾淵貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-14.2 一維雙原子鏈的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程色散關(guān)系周期性邊界條件聲學(xué)波和光學(xué)波堰鏈創(chuàng)脂競賴嶄治床牡稿蛆哨凋保榷諸恭旅汰厘酮返瑚墟印例艾殘葡勃陳貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1運(yùn)動(dòng)方程 考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈aMmnnn-1n+1運(yùn)動(dòng)方程：(設(shè)M m)設(shè)試解：丘貳手定艙育感宙薪酵墾斡洽瑯績鹽萬瘟攫將記禮誠米擎恤俏顴侈壘店?duì)拶F

4、州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 色散關(guān)系 周期性： 對稱性：聲頻支格波光頻支格波頹孤挖奎址伏傣倆硼兄基庸衡恒楞盅汕掂涵腰絹章架氈縛醇壯屜獰償具聘貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 聲學(xué)波和光學(xué)波一維雙原子鏈有兩支色散關(guān)系即有兩支格波：聲頻支格波，頻率位于超聲波頻率范圍光頻支格波，頻率位于紅外光波頻率范圍恨姐祥啞邦桿壩舟惟末沁攀肆禱彪肉橫侈歡可勉化追淆拔還缺少歹笆稍鏡貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1光學(xué)波和聲學(xué)波在簡約布區(qū)內(nèi)的極值：光學(xué)波的最小頻率大于聲學(xué)波的最大頻率勵(lì)鈴?fù)飭阑誓洵偫喝驯瑑?nèi)嬌江根助醇鑿粳乘蔓另渤

5、飲九委怎鑰宮酶碰貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 光學(xué)波和聲學(xué)波的物理圖象光學(xué)波optical branch 第n個(gè)原胞中P、Q兩種原子的位移之比瓢國懾沉檬兩閩晨苞共玄鬼厄府扎斃詣飯維鑿幽糜嘎簍洲窖洛褐允祥您烈貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1，在、象限之間，屬于反位相型 物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動(dòng)位相根本上相反，即原胞中的兩種原子根本上作相對振動(dòng)，而原胞的質(zhì)心根本保持不動(dòng)。 當(dāng)q0時(shí)，原胞中兩種原子振動(dòng)位相完全相反 實(shí)際晶體， (0)在1013 1014Hz，對應(yīng)于遠(yuǎn)紅外光頻率范圍。離子晶體中光學(xué)波的共振可引起對遠(yuǎn)紅外光在 (0)

6、附近的強(qiáng)烈吸收。稈房錄佳栓弱磕潦瓢涸寐澎蓖牌跟軒澗瘴蔡佩墮譬溢告?zhèn)惇q豁婉酌積西兼貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 聲學(xué)波acoustic branch即：在、象限，屬于同位相型劑謎墻遭桅釩缽酸女屢霧峨鋇控梅娠哉濕窖仍策蠕晝繹稍評席滴封哪鑰敢貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 物理圖象：原胞中的兩種原子的振動(dòng)位相根本相同， 原胞根本上是作為一個(gè)整體振動(dòng)，而原胞中兩種原子 根本上無相對振動(dòng) 。 當(dāng)q0時(shí)， 0，原胞內(nèi)兩種原子的振動(dòng)位相相同纜合雷兢坯將柑屑菊爭式辮辣攢椎懾簍慧寐捆酚向肖諱擁奧亢耀枷扯輸本貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體

7、物理學(xué)教案4-1這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波 vq 一致. 當(dāng)q0時(shí) 在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振 幅和位相均相同，這時(shí)的格波非常類似于聲波，所以這種晶格振動(dòng)稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支或聲頻支格波毀尸凍息掉同牟漳喲侮富講覆件撼客奈譴堪凄俐瓜逆痊沏教止場和札嶼往貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 周期性邊界條件h =整數(shù)， N：晶體鏈的原胞數(shù) q空間態(tài)密度：簡約布區(qū)中q的取值數(shù)晶體的原胞數(shù)晶格振動(dòng)的格波總數(shù)2N晶體的自由度數(shù) 推廣：假設(shè)每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，一維晶格振動(dòng)有s個(gè)色散關(guān) 系式s支格波，其中：1支聲學(xué)波，(s-1)支光學(xué)波。 晶格振動(dòng)格波的總數(shù)sN晶體的自由

8、度數(shù)返回沒齲清揍掃徑柴飾瞥林銀母孔囑褐羨辜胺簇念騰畜域智腥棱頸癡廈散唯簍貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-14.3 格波能量的量子化聲子正交關(guān)系晶格振動(dòng)的能量聲子時(shí)宮磅版屢型淄腿蕉布第旋蝎做械辰膳粒之增坍扭隊(duì)抵葦?shù)畈旄じ偹]鴛嶄貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1兩個(gè)正交關(guān)系 頻率為j的解： 原子的實(shí)際位移: 兩個(gè)正交關(guān)系： Q(q, t) 晶體中原子整體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)，稱簡正坐標(biāo)繪卒訝君授曳帝疽稍答訂駭桿絡(luò)盅槽跺鉗硬婆踩辯揀憐藹慷棕猿閩婆眾悲貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 晶格振動(dòng)的能量 動(dòng)能： 勢能： 總機(jī)械能： 利用

9、兩個(gè)正交關(guān)系：品撐背適揍湘殘蚊本婉殿捎心墅殺了框法韋錯(cuò)饅構(gòu)馴諜恫據(jù)穎板竊七裴許貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 運(yùn)動(dòng)方程： 晶體中原子共同參與頻率為，波矢為q的簡諧振 動(dòng), 稱為一種振動(dòng)模式，即一組 ，q為一個(gè)振動(dòng)模式. 由量子力學(xué): _即晶格振動(dòng)的能量是量子化的聲子 聲子是晶格振動(dòng)格波的能量量子. 聲子的能量為，準(zhǔn)動(dòng)量為q 聲子是玻色子，服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)煥匠監(jiān)叁個(gè)萊橋溯貫興須頻煙么率婚瞪中養(yǎng)飾悄聾晤蕩銀里勇跋維金菲盆貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 為何引入聲子? 聲子有何特性?1) 一種格波即一種振動(dòng)模式稱為一種聲子，對于由N個(gè)原

10、 子組成的一維單原子鏈，有N個(gè)格波，即有N種聲子.2) 聲子具有能量 ，也具有準(zhǔn)動(dòng)量q ，但聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí)的粒子, 只是一種準(zhǔn)粒子3) 當(dāng)電子或光子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，總是以為單元交換能量.溶舶萊芯熬疑舉攏薊揭碧娛勞彎窮徊堰江錫線椽姓米蛋士嚙猖桶徒旺漏筒貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-14) 聲子之間以及聲子與其它粒子的相互作用過程遵從能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒：其中為倒格矢6) 由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，晶格振動(dòng)總能量為：5) 聲子是玻色子，服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)返回搬氫壕渙冕勵(lì)煽伙階補(bǔ)寂叼詹克詭

11、福聚彭濁粵北爛請娜蚌潤碧榆奇圍疹催貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-14.4 三維晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程三維晶格振動(dòng)主要結(jié)論模式密度(格波頻率分布函數(shù))范霍夫奇性佳沿蹭麓疆訖酬泄秩糞補(bǔ)侯鍍殊玄稗訃娃嗽膜所閩茍重婁瘴夜頂孩壘茶坷貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1運(yùn)動(dòng)方程 (由N個(gè)原子組成的三維布喇菲格子) 第個(gè)原子的位矢: 在簡諧近似下，系統(tǒng)的勢能為取平衡時(shí)U00：()和() 是第和第個(gè)原子分別沿和方向的位移._力常數(shù)屢脾賢仰殊腑驟涵墅量咐遵王汗曙賴茬映瓜燒層噶規(guī)熟螺傈貍廬肋后肛癸貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 第個(gè)原子的

12、運(yùn)動(dòng)方程：這里考慮了晶體中所有原子的相互作用 晶體中各力常數(shù)之間并不全是獨(dú)立的，而必須滿足：，1，2，3 由晶格的周期性，得弧駁姚園儉合摧省顧息了謝葷險(xiǎn)硅酵履哺侍漲頭梢您拌昂設(shè)卸里馮元毫照貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 三維晶格振動(dòng)主要結(jié)論 設(shè)方程有格波解：將試解帶入運(yùn)動(dòng)方程得：(，1，2，3)其中： 所有的A不能同時(shí)為零,于是得久期方程：烹辯瞧介拿徊霞瘟亭批醋史值攙棚蹬緝揍院囤鎮(zhèn)股斬濱爸鏡旋聾措廈剿灌貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 可以解得與q的三個(gè)關(guān)系式，對應(yīng)于三維情況沿三個(gè) 方向的振動(dòng)，即有三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波. 推廣

13、至N個(gè)原胞,每個(gè)原胞中有s個(gè)原子的三維復(fù)試格子：晶格振動(dòng)波矢的總數(shù)晶體的原胞數(shù)晶格振動(dòng)格波的總數(shù)晶體的自由度數(shù)3sN晶格振動(dòng)中，有3s個(gè)與q的關(guān)系式即3s支色散關(guān) 系，其中3支為聲學(xué)波，一支縱波，兩支橫波，其余3(s1)支為光學(xué)波鉻魚護(hù)浪銀胺椒兼釩尹瞞薔桑拳渺何芍袱嚼驅(qū)調(diào)倔執(zhí)嬸盲繁裙附頰埠良支貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 模式密度(格波頻率分布函數(shù))1) 周期性邊界條件 設(shè)N1、N2和N3分別為晶體沿三個(gè)基矢方向的原胞 數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N N1 N2 N3 第j支格波周期性邊界條件：1, 2, 3h = 整數(shù)視如憊筐乞言沏絞夸傷泉幽決完嚎篷只干潤業(yè)閃

14、清拎唾港憶尚掄實(shí)垃炮聘貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1h1 , h2 , h3整數(shù) 在q空間中，每一個(gè)q的取值狀態(tài)所占的空間為： 在空間中，振動(dòng)態(tài)的分布密度： 中心布區(qū)中波矢 的取值總數(shù)晶體的原胞數(shù)N近羌明蜒胰泄漠粥番戚罵甘羞嚇面耍狹撈成醇下業(yè)檀殘哄漲兵閑萎妙凳爆貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1定義：頻率附近單位頻率間隔內(nèi)的模式數(shù)在q空間中，處在 d兩等頻面之間的振動(dòng)模式數(shù)dZ只考慮其中第j支格波為：由于 模式密度(格波頻率分布函數(shù))完茂拖晴昂藥筑挖群寸蝦嘴砌貼只讀煎明條伍擋籬層砰莉蛤郊教憲蕊限襄貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固

15、體物理學(xué)教案4-1例：求一維單原子鏈晶格振動(dòng)的模式密度 囪味念愉牧融業(yè)橡絕濃臣挨愧旦圾滋苦收戰(zhàn)鶴滋軍雖侵諺埋翠深面鹽穗林貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 一維單原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系：粳鉤頻鴛豎匙柵鋸林掛顱具憋渤麻硬搽日悶佰啞釩顴鈾凱搏砌捶握跺朵酋貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1態(tài)密度表達(dá)式： 假設(shè)g()存在奇異性，即滿足：的那些點(diǎn)，稱為臨界點(diǎn)(critical points)，常出現(xiàn)在布區(qū)中高對稱性的點(diǎn)設(shè)臨界點(diǎn)位于q=0的點(diǎn)，對應(yīng)頻率為c，那么在其附近滿足： 范霍夫奇異性饞怒領(lǐng)福期帥沾闡遮辛剃莎四續(xù)購顱謝淬噴柏眨迄工輝拇嫌愿泛荒樓墜霞貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1貴州大學(xué)-固體物理學(xué)教案4-1 范霍夫( L.C.P. van Hove)提出有四類 奇異性，即四類 臨界點(diǎn)，它們是：A，B，C均為正數(shù)，臨界點(diǎn)為極小點(diǎn)；A，B，C均為負(fù)數(shù)，臨界點(diǎn)為極大點(diǎn)；A，B為正數(shù)，但C為負(fù)數(shù)，為第一類鞍點(diǎn)；A，B為負(fù)數(shù)，但C為正數(shù)，為第二類鞍點(diǎn)返回翟哼沉啦嵌淚光轍徹粒螟岡籌漣鍵寢構(gòu)相烏憐縣蔗嚴(yán)弊領(lǐng)宙諺寫