數(shù)值分析第五(清華大學(xué)出社)第二重積分概念

1、三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例 二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 第九章 第一頁(yè)，共二十八頁(yè)。解法: 類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 第二頁(yè)，共二十八頁(yè)。1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第三頁(yè)，共二十八頁(yè)。4)“取極限”令第四頁(yè)，共二十八頁(yè)。2. 平面薄片的質(zhì)量 有

2、一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .第五頁(yè)，共二十八頁(yè)。2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量第六頁(yè)，共二十八頁(yè)。兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1) 解決問(wèn)題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第七頁(yè)，共二十八頁(yè)。二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一

3、個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第八頁(yè)，共二十八頁(yè)。引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃 記作第九頁(yè)，共二十八頁(yè)。二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 第十頁(yè)，共二十八頁(yè)。三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面

4、積, 則 第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)。特別, 由于則5. 若在D上6. 設(shè)D 的面積為 ,則有第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)。7.(二重積分的中值定理)證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)。例1. 比較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,而域 D 位從而于直線的上方, 故在 D 上 第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)。例2. 判斷積分的正負(fù)號(hào).解: 分積分域?yàn)閯t原式 =猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)。例3. 估計(jì)下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質(zhì)5

5、即: 1.96 I 2D第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)。8. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)。四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)。同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)。例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)1

6、. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)。被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)解: 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)。2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序?yàn)?( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)。3. 計(jì)算解:第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)。4. 證明:其中D 為解: 利用題中 x , y 位置的對(duì)稱性, 有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)。 P78 2，4，5 P95 1(1), 8作業(yè)第二