數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法課件

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法蒙特卡羅算法 數(shù)據(jù)處理算法 數(shù)學(xué)規(guī)劃算法 圖論算法 動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界 三大非經(jīng)典算法 網(wǎng)格算法和窮舉法 連續(xù)離散化方法 數(shù)值分析算法 圖象處理算法 1、蒙特卡羅算法 該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決問(wèn)題的算法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法 蒙特卡羅(Monte Carlo)方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國(guó)在第一次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來(lái)命名這種方法，為

2、它蒙上了一層神秘色彩。 考慮平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部的一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？Monte Carlo方法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲N個(gè)點(diǎn)落于“圖形”內(nèi)，則該“圖形”的面積近似為M/N。 具體實(shí)現(xiàn)的matlab代碼：-function val = ballvol(n, m)% BALLVOL Compute volume of unit ball in Rn% Computes the volume of the n-dimensional unit ball % using monte-carlo method.% usag

3、e: val = BallVol(n, m)% where: n = dimension % m = number of realisations% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.% (c) 1998, Rolf Krause, krausemath.fu-berlin.deM = 1e4;error = 0;if(nargin 2), error(wrong number of arguments); endif nargin = 2, M = m; end R = rand(n, M);in

4、 = 0;for i=1:Mif(norm(R(:,i),2) = 1.0), in = in+1; endendval = 2n*in/M;2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法 數(shù)據(jù)擬和: 從給出的一大堆數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，即設(shè)法構(gòu)造一條曲線(擬和曲線)反映數(shù)據(jù)點(diǎn)總的趨勢(shì)，以消除其局部波動(dòng)。 參數(shù)估計(jì)：對(duì)給定的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，在建立了統(tǒng)計(jì)模型以后，我們的任務(wù)就是依據(jù)樣本對(duì)未知總體進(jìn)行各種推斷，參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容之一。包括點(diǎn)估計(jì)方法、頻率替換法、矩法、極大似然估計(jì)法 插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，包括多項(xiàng)式插值、分段插值和三角插值4、圖論算法 這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流

5、、二分圖等算法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備 5、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界 這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 它建立在最優(yōu)原則的基礎(chǔ)上。采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，可以優(yōu)雅而高效地解決許多用貪婪算法或分而治之算法無(wú)法解決的問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在解決背包問(wèn)題、圖象壓縮、矩陣乘法鏈、最短路徑、無(wú)交叉子集和元件折疊等方面的有很大作用。 尋找問(wèn)題的解的一種可靠的方法是首先列出所有候選解，然后依次檢查每一個(gè)，在檢查完所有或部分候選解后，即可找到所需要的解。理論上，當(dāng)候選解數(shù)量有限并且通過(guò)檢查所有或部分候選解能夠得到所需解時(shí)，上述方法是可行的。不過(guò)

6、，在實(shí)際應(yīng)用中，很少使用這種方法，因?yàn)楹蜻x解的數(shù)量通常都非常大（比如指數(shù)級(jí)，甚至是大數(shù)階乘），即便采用最快的計(jì)算機(jī)也只能解決規(guī)模很小的問(wèn)題。對(duì)候選解進(jìn)行系統(tǒng)檢查的方法有多種，其中回溯和分枝定界法是比較常用的兩種方法。按照這兩種方法對(duì)候選解進(jìn)行系統(tǒng)檢查通常會(huì)使問(wèn)題的求解時(shí)間大大減少（無(wú)論對(duì)于最壞情形還是對(duì)于一般情形）。事實(shí)上，這些方法可以使我們避免對(duì)很大的候選解集合進(jìn)行檢查，同時(shí)能夠保證算法運(yùn)行結(jié)束時(shí)可以找到所需要的解。因此，這些方法通常能夠用來(lái)求解規(guī)模很大的問(wèn)題。 回溯方法 這種方法被用來(lái)設(shè)計(jì)貨箱裝船、背包、最大完備子圖、旅行商和電路板排列問(wèn)題的求解算法。 分治算法 君主和殖民者們所成功運(yùn)用的

7、分而治之策略也可以運(yùn)用到高效率的計(jì)算機(jī)算法的設(shè)計(jì)過(guò)程中。利用這一策略可以解決如下問(wèn)題：最小最大問(wèn)題、矩陣乘法、殘缺棋盤、排序、選擇和計(jì)算一個(gè)幾何問(wèn)題找出二維空間中距離最近的兩個(gè)點(diǎn)。 算法思想 分而治之方法與軟件設(shè)計(jì)的模塊化方法非常相似。為了解決一個(gè)大的問(wèn)題，可以： 1) 把它分成兩個(gè)或多個(gè)更小的問(wèn)題； 2) 分別解決每個(gè)小問(wèn)題； 3) 把各小問(wèn)題的解答組合起來(lái)，即可得到原問(wèn)題的解答。小問(wèn)題通常與原問(wèn)題相似，可以遞歸地使用分而治之策略來(lái)解決。 例2-1 找出偽幣 給你一個(gè)裝有1 6個(gè)硬幣的袋子。1 6個(gè)硬幣中有一個(gè)是偽造的，并且那個(gè)偽造的硬幣比真的硬幣要輕一些。你的任務(wù)是找出這個(gè)偽造的硬幣。為了

8、幫助你完成這一任務(wù)，將提供一臺(tái)可用來(lái)比較兩組硬幣重量的儀器，利用這臺(tái)儀器，可以知道兩組硬幣的重量是否相同。 比較硬幣1與硬幣2的重量。假如硬幣1比硬幣2輕，則硬幣1是偽造的；假如硬幣2比硬幣1輕，則硬幣2是偽造的。這樣就完成了任務(wù)。假如兩硬幣重量相等，則比較硬幣3和硬幣4。同樣，假如有一個(gè)硬幣輕一些，則尋找偽幣的任務(wù)完成。假如兩硬幣重量相等，則繼續(xù)比較硬幣5和硬幣6。按照這種方式，可以最多通過(guò)8次比較來(lái)判斷偽幣的存在并找出這一偽幣。 假如把1 6硬幣的例子看成一個(gè)大的問(wèn)題。第一步，把這一問(wèn)題分成兩個(gè)小問(wèn)題。隨機(jī)選擇8個(gè)硬幣作為第一組稱為A組，剩下的8個(gè)硬幣作為第二組稱為B組。這樣，就把1 6個(gè)

9、硬幣的問(wèn)題分成兩個(gè)8硬幣的問(wèn)題來(lái)解決。第二步，判斷A和B組中是否有偽幣?？梢岳脙x器來(lái)比較A組硬幣和B組硬幣的重量。假如兩組硬幣重量相等，則可以判斷偽幣不存在。假如兩組硬幣重量不相等，則存在偽幣，并且可以判斷它位于較輕的那一組硬幣中。最后，在第三步中，用第二步的結(jié)果得出原先1 6個(gè)硬幣問(wèn)題的答案。若僅僅判斷硬幣是否存在，則第三步非常簡(jiǎn)單。無(wú)論A組還是B組中有偽幣，都可以推斷這1 6個(gè)硬幣中存在偽幣。因此，僅僅通過(guò)一次重量的比較，就可以判斷偽幣是否存在。 現(xiàn)在假設(shè)需要識(shí)別出這一偽幣。把兩個(gè)或三個(gè)硬幣的情況作為不可再分的小問(wèn)題。注意如果只有一個(gè)硬幣，那么不能判斷出它是否就是偽幣。在一個(gè)小問(wèn)題中，通

10、過(guò)將一個(gè)硬幣分別與其他兩個(gè)硬幣比較，最多比較兩次就可以找到偽幣。這樣，1 6硬幣的問(wèn)題就被分為兩個(gè)8硬幣（A組和B組）的問(wèn)題。通過(guò)比較這兩組硬幣的重量，可以判斷偽幣是否存在。如果沒(méi)有偽幣，則算法終止。否則，繼續(xù)劃分這兩組硬幣來(lái)尋找偽幣。假設(shè)B是輕的那一組，因此再把它分成兩組，每組有4個(gè)硬幣。稱其中一組為B1，另一組為B2。比較這兩組，肯定有一組輕一些。如果B1輕，則偽幣在B1中，再將B1又分成兩組，每組有兩個(gè)硬幣，稱其中一組為B1a，另一組為B1b。比較這兩組，可以得到一個(gè)較輕的組。由于這個(gè)組只有兩個(gè)硬幣，因此不必再細(xì)分。比較組中兩個(gè)硬幣的重量，可以立即知道哪一個(gè)硬幣輕一些。較輕的硬幣就是所要

11、找的偽幣。算法思想 分枝定界（branch and bound）是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主要區(qū)別在于對(duì)E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個(gè)活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī)會(huì)變成E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)镋-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不可能導(dǎo)出（最優(yōu)）可行解的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充，直到找到解或活動(dòng)表為空，擴(kuò)充過(guò)程才結(jié)束。 有兩種常用的方法可用來(lái)選擇下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)（雖然也可能存在其他的方法）： 1) 先進(jìn)先出（F I F O） 即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的

12、順序相同，因此活節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。 2) 最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆來(lái)建立，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，則可用最大堆來(lái)構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)。 遺傳算法（ ，簡(jiǎn)稱）是以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生物進(jìn)化過(guò)程中適者生存規(guī)則與群體內(nèi)部染色體的隨機(jī)信息交換機(jī)制相結(jié)合的搜索算法。遺傳算法是具有生成檢測(cè)的迭代過(guò)程的搜索算法?；玖鞒倘鐖D所示?？梢?jiàn)，遺傳算法是一種群體型操作，該操作以群體中的所有個(gè)體為對(duì)象。選擇（）、交叉（）和變異（）

13、是遺傳算法的三個(gè)主要操作算子。遺傳算法包含如下個(gè)基本要素：參數(shù)編碼、生成初始群體、適應(yīng)度評(píng)估檢測(cè)、選擇、交叉操作、變異7、網(wǎng)格算法和窮舉法 網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具 窮舉法是基于計(jì)算機(jī)特點(diǎn)而進(jìn)行解題的思維方法。一般是在一時(shí)找不出解決問(wèn)題的更好途徑時(shí)，可以根據(jù)問(wèn)題中的部分條件（約束條件）將所有可能解的情況列舉出來(lái)，然后通過(guò)一一驗(yàn)證是否符合整個(gè)問(wèn)題的求解要求，而得到問(wèn)題的解。這種解決問(wèn)題的方法我們稱之為窮舉算法。窮舉法特點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，但運(yùn)行時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間量大。8、連續(xù)離散化方法 很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的 9、數(shù)值分析算法 如果在比賽中采用高級(jí)