結(jié)構(gòu)力學(xué)上1-30課件

1、內(nèi)力、位移計(jì)算幾何組成分析超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)第五章 虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算 5-1 概 述 一、結(jié)構(gòu)的位移 結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，因而將發(fā)生尺寸和形狀的改變，這種改變稱為變形。由于這種變形，使結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置產(chǎn)生移動(dòng)，亦即產(chǎn)生了位移。 桁架在荷載P作用下，桿件產(chǎn)生軸力，因而引起桿件長度的改變，致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了移動(dòng)。 結(jié)點(diǎn)C的總位移：C點(diǎn)移動(dòng)的距離 結(jié)點(diǎn)C的水平位移和豎向位移：將 沿水平和豎向分解，它的兩個(gè)分量 和 。桿AC的角位移：AC桿轉(zhuǎn)動(dòng)了 角。 除了荷載引起位移外，溫度改變、支座移動(dòng)、材料收縮和制造誤差等因素，雖不一定使結(jié)構(gòu)都產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，但都將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。結(jié)點(diǎn)C位移為

2、,其豎向位移為 , 水平位移為 ,角位移為 。 上述位移是指一個(gè)點(diǎn)的位移，稱為絕對(duì)位移。 A、B兩點(diǎn)的水平位移分別為：A、B兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移：A、B兩個(gè)截面的轉(zhuǎn)角分別為： A、B兩個(gè)截面的相對(duì)角位移為： 各種位移無論是線位移還是角位移，無論是絕對(duì)位移或是相對(duì)位移，都統(tǒng)稱為廣義位移。 二、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的 1. 驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度 2. 為超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算打下基礎(chǔ)三、計(jì)算位移的有關(guān)假定 1）結(jié)構(gòu)的材料服從虎克定律，即應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2）結(jié)構(gòu)的變形很小，不致影響荷載的作用。 3）結(jié)構(gòu)各部分間為理想聯(lián)結(jié)，不考慮摩擦阻力等影響。 4）當(dāng)一直桿在桿端承受軸向力并因同時(shí)有橫向力的作用而彎曲時(shí)，不考

3、慮由于桿彎曲所引起的桿端軸向力對(duì)彎矩及彎曲變形等的影響。（分析穩(wěn)定問題時(shí)除外） 滿足上述條件的理想化的體系，其位移與荷載之間為線性關(guān)系，常稱為線性變形體。對(duì)于這種體系，其位移計(jì)算時(shí)可應(yīng)用疊加原理。 5-2 虛功原理 一般說來，力所作的功與其作用點(diǎn)的移動(dòng)路線形狀，路程的長短有關(guān)，但對(duì)于大小和方向都是不變的常力，它所作的力則只與其作用點(diǎn)的起始位置有關(guān)。一、功、實(shí)功和虛功 1.功： 設(shè)一物體受外力P作用后產(chǎn)生位移。力由于位移而作功。 式中 代表力P與作用點(diǎn)位移方向的夾角，ds代表位移微段。 若體系上作用一常力P，力作用點(diǎn)的總位移為D，而D與力P之間的夾角為 ，力P所作的功為： 2實(shí)功 力與位移之間存

4、在直接的依賴關(guān)系，力由于其自身所引起的位移而作功，這種功稱為實(shí)功。 取靜力加載方式，即荷載從零逐漸增加到P值。 當(dāng) 時(shí)， 對(duì)于線性變形體來說，位移與荷載成正比，故力P作用點(diǎn)的位移也將由零按比例逐漸增加到最后值 。 在其中任一位置處，位移與相應(yīng)的荷載 之間的關(guān)系為 f ：比例常數(shù) 相應(yīng)的位移將為 略去高階微量，在發(fā)生 的過程中 可以看成常量，于是相應(yīng)的元功為 當(dāng)荷載由 增至 時(shí)，3. 虛功：位移與作功的力無關(guān) 在虛功中，力與位移分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)，其中力所屬的狀態(tài)稱為力狀態(tài)或第一狀態(tài)，而位移所屬的狀態(tài)則為位移狀態(tài)或第二狀態(tài)。 C點(diǎn)相應(yīng)于力P方向的位移為 。 這種情況即分別構(gòu)成了

5、虛功的力狀態(tài)和位移狀態(tài)。力P所作的虛功為實(shí)功與虛功的區(qū)別力P作的功為實(shí)功，為 。梁由曲線I狀態(tài)曲線II狀態(tài)，力P作的功為虛功，為 。 梁由直線狀態(tài)曲線I狀態(tài), 二、虛功原理 靜定多跨梁的支座A有給定的位移 由于靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)支座移動(dòng)時(shí)，各桿只發(fā)生剛體運(yùn)動(dòng)，梁內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力，各桿應(yīng)變等于零。 剛體體系的位移問題（有位移，但無應(yīng)變） 簡支梁在均布荷載作用下，梁本身產(chǎn)生變形。 變形體體系的位移問題（有位移，也有應(yīng)變）。1、變形桿件體系的虛功原理 1) 體系的力狀態(tài)和位移狀態(tài)應(yīng)該滿足的條件 梁上：橫向分布荷載q(s)、軸向分布荷載p(s)、分布外力偶m(s)。自由端：梁AB處于平衡狀態(tài)。 懸壁梁一端固定，

6、另一端自由，在固定端截面處，位移為已知值，此種邊界稱為位移邊界，自由端截面上的力是已知值，此種邊界稱為力的邊界。桿件AB中一個(gè)微段的受力情況： （5-4） 自由端為力給定的邊界，為了滿足平衡，有以下的邊界條件 在 處： （5-5） 固定端為位移給定的邊界，該處的未知桿端力（N(0)、Q(0)、M(0)）可由平衡條件確定。 若桿的內(nèi)、外力分布滿足式（5-4）和式（5-5），則稱這種狀態(tài)能滿足靜力平衡條件，或稱它是靜力可能的狀態(tài)。 微段12在變形后移到12?？偽灰品纸鉃閯傮w位移和變形位移。 微段12發(fā)生剛體位移后移到 ，產(chǎn)生軸向、剪切和彎曲變形后，移到 。設(shè) 為1處的軸向應(yīng)變（以伸長為正）或1設(shè)

7、為1處的剪切角（以s, y軸正向之間夾角的變小為正）。1或設(shè) 為桿軸變形后的曲率（以向上凸為正）。或（5-7） 表示撓曲線在1處的切線的傾角，并以順時(shí)針為正。 由于剪切變形的影響，變形后桿件的截面不再垂直于變形后的撓曲線。在固定端處位移邊界條件 ：S=0 處 （5-8） 為給定的A端桿端位移。 若桿件的位移狀態(tài)滿足式（5-7）（u，v, 需是連續(xù)函數(shù)）和式（5-8），則稱這種狀態(tài)能滿足變形諧調(diào)條件，或稱它們是幾何可能的位移狀態(tài)。 體系的力狀態(tài)和位移狀態(tài)應(yīng)該滿足的條件：靜力平衡條件、變形諧調(diào)條件。 各種位移無論是線位移還是角位移，無論是絕對(duì)位移或是相對(duì)位移，都統(tǒng)稱為廣義位移。 位移：功：實(shí)功：力

8、與位移之間存在直接的依賴關(guān)系，力由于其自身所引起的位移而作的功。虛功：位移與作功的力無關(guān)。 體系的力狀態(tài)和位移狀態(tài)應(yīng)該滿足的條件：靜力平衡條件、變形諧調(diào)條件。2) 虛外功和虛變形功的計(jì)算 變形桿件體系在受外力作用而變形時(shí)，外力和內(nèi)力均將作功。 力狀態(tài)位移狀態(tài)(1) 計(jì)算桿件AB的虛外功（外力虛功） （5-9） (2) 計(jì)算桿件AB的虛變形功 （5-10） 桿件AB處于一靜力可能的力狀態(tài)，設(shè)另一與其無關(guān)的幾何可能的位移狀態(tài)，則前者的外力由于后者的位移所作的虛外功T等于前者的切割面內(nèi)力由于后者的變形所作的虛變形功V。即虛功方程T=V。 3) 變形桿件體系虛功原理 （5-11） 虛功方程桿件體系的虛

9、功原理 取各桿件為隔離體，在力狀態(tài)中每個(gè)桿件各自為一平衡力系，是靜力可能的力狀態(tài)。由于整個(gè)體系的位移是諧調(diào)的（位移連續(xù)，滿足位移邊界條件），每個(gè)桿件都處于幾何可能的位移狀態(tài)。 對(duì)每個(gè)桿件應(yīng)用虛功原理都得到類似式(5-11)的關(guān)系式，將這些虛功關(guān)系式相疊加，可得到桿件體系的虛功方程：T=V。 桿件體系上全部外力的虛外功等于總虛變形功。（5-13） 式中下角標(biāo)i表示給定外力的桿端量，下角標(biāo)j表示給定位移的桿端量，k表示桿件號(hào)。給定外力給定位移在豎向給定了位移，而在水平和轉(zhuǎn)動(dòng)方向上給定了外力內(nèi)部結(jié)點(diǎn) 取結(jié)點(diǎn)D為隔離體，作用于結(jié)點(diǎn)D的各桿端力構(gòu)成平衡力系，又由于在位移狀態(tài)中，各桿在D處的位移是諧調(diào)一致

10、的，所以各桿在D端的桿端力所作的虛功將互相抵消，因此，在式（5-13）中不包括內(nèi)部結(jié)點(diǎn)處桿端力的虛功項(xiàng)。 當(dāng)桿端力與桿端位移方向一致時(shí)虛功取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。 若體系未變形（即 只是由于支座移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生剛體位移，則虛功方程變?yōu)門=0 （5-14） 這就是剛體的虛功原理。 三、虛功原理的兩種應(yīng)用形式 虛位移原理與虛力原理 1. 應(yīng)用虛功原理求未知力 虛位移原理 應(yīng)用虛功原理求某一體系的未知力時(shí)，以體系的實(shí)際的內(nèi)外力狀態(tài)作為力狀態(tài)，再根據(jù)所要求的未知力適當(dāng)選擇虛位移。實(shí)際狀態(tài)力狀態(tài)虛設(shè)位移位移狀態(tài)（這種虛設(shè)狀態(tài)下的位移即為虛位移） 求靜定伸臂梁A端的支座反力X。 撤除與力X相應(yīng)的約束，而以力X

11、代替其作用。原結(jié)構(gòu)成為一幾何可變體系，這一體系在外力X、VB、HB、P的共同作用下維持平衡。實(shí)際的力狀態(tài)解：剛體位移分別為沿X和P方向的位移。虛設(shè)的位移狀態(tài)根據(jù)式（5-14） 為了方便，設(shè) 這種用于實(shí)際的力狀態(tài)與虛位移狀態(tài)之間的虛功原理稱為虛位移原理。由此建立的虛功方程實(shí)質(zhì)上描述了實(shí)際受力狀態(tài)的平衡關(guān)系。應(yīng)用虛位移原理求未知力而沿該力方向虛設(shè)一單位位移的方法，常稱為“單位位移法”。例5-1 試用單位位移法計(jì)算靜定梁上截面B的彎矩MB。解：實(shí)際的力狀態(tài)使體系沿X的正方向發(fā)生單位角位移。虛位移狀態(tài) 2. 應(yīng)用虛功原理求位移 虛力原理 應(yīng)用虛功原理求某一體系的未知位移時(shí)，即以體系的實(shí)際的位移狀態(tài)作為

12、虛功原理的位移狀態(tài)，再根據(jù)所要求的未知位移適當(dāng)選擇虛力。實(shí)際狀態(tài)位移狀態(tài)虛設(shè)力力狀態(tài) 伸壁梁的支座A向上移動(dòng)一已知距離c，現(xiàn)擬求D點(diǎn)的豎向位移 實(shí)際的位移狀態(tài)虛設(shè)力狀態(tài)虛功方程為： 為了便于計(jì)算，令虛設(shè)的力P=1，這種求位移的方法即稱“單位荷載法”虛功方程為： 用于虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)之間的虛功原理稱為虛力原理，由此建立的虛功方程實(shí)質(zhì)上描述了各實(shí)際位移之間的幾何關(guān)系。習(xí)題：5.153 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法 一、計(jì)算位移的一般公式P1P2ABKaKCa虛功原理 T=V求未知力虛位移原理單位位移法求位移虛力原理單位荷載法53 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的 一般公式 單位荷載法

13、 一、計(jì)算位移的一般公式P1P2ABKaKCa 圖中剛架由于荷載、支座位移和溫度變化等作用而發(fā)生變形。擬用單位荷載法求剛架上某點(diǎn)K的實(shí)際位移 沿某指定方向aa的分量 P1P2ABKaKC位移狀態(tài)(第二狀態(tài))a 取剛架的實(shí)際狀態(tài)作為虛力原理的位移狀態(tài)（第二狀態(tài)），取一個(gè)與 相應(yīng)的單位荷載，即在K點(diǎn)沿aa方向加虛單位力 并取這個(gè)虛擬狀態(tài)作為虛力原理的力狀態(tài)（第一狀態(tài)）。P1P2ABKaKC位移狀態(tài)a虛力狀態(tài)根據(jù)式（513）(5-15) （5-15） 式為結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。 分別為虛擬狀態(tài)的反力、軸力、剪力和彎矩。 式中： 分別為實(shí)際狀態(tài)的軸向應(yīng)變、剪切角和曲率， 式（5-15）可以用于計(jì)算靜

14、定或超靜定平面桿件結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化和支座沉陷等因素的作用所產(chǎn)生的位移，并且適用于彈性或非彈性材料的結(jié)構(gòu)。 應(yīng)用式（515），每次可以計(jì)算一個(gè)位移分量，所加的虛單位力其指向可以任意假設(shè)。如果計(jì)算結(jié)果為正值，即表示位移的實(shí)際指向與所設(shè)虛單位力的指向相同，否則相反。 式（515）不僅可以用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移，而且還可以計(jì)算任一廣義位移，只要虛力狀態(tài)中的單位力是與所計(jì)算的廣義位移相對(duì)應(yīng)的廣義力即可。P1P2ABKaKC位移狀態(tài)a虛力狀態(tài)力P作的功為實(shí)功，為 。梁由曲線I狀態(tài)曲線II狀態(tài)，力P作的功為虛功，為 。 梁由直線狀態(tài)曲線I狀態(tài),二、單位力的施加 施加單位力應(yīng)遵循“欲求某點(diǎn)在某一方向的位移

15、，就應(yīng)在該點(diǎn)沿該方向加單位力”的原則，而且所加的單位力與所擬求的位移應(yīng)有廣義力與廣義位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 1、計(jì)算結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)的線位移，可在該點(diǎn)處沿所求位移方向施加單位集中力。計(jì)算計(jì)算 2、計(jì)算結(jié)構(gòu)上某截面的角位移，可在該截面處施加單位力偶。 計(jì)算計(jì)算d計(jì)算AB桿的轉(zhuǎn)角d為AB桿的桿長3、計(jì)算兩點(diǎn)相對(duì)線位移，可在該兩點(diǎn)沿其連線施加兩個(gè)方向相反的單位力。 計(jì)算 計(jì)算結(jié)構(gòu)切口C兩側(cè)截面在豎直方向的相對(duì)線位移。4、計(jì)算梁或剛架上兩個(gè)截面的相對(duì)角位移，可在這兩個(gè)截面上加兩個(gè)方向相反的單位力偶。 計(jì)算鉸C處左右桿端的相對(duì)角位移。d1d2 計(jì)算桁架中兩根桿件的相對(duì)角位移，則應(yīng)加兩個(gè)方向相反的單位力偶。 54 靜

16、定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的 位移計(jì)算 求剛架上某點(diǎn)K的實(shí)際位移 沿方向aa的分量 位移狀態(tài)(第二狀態(tài))位移狀態(tài)(第二狀態(tài))(a) (5-15) 結(jié)構(gòu)無溫度變化，a)式中的微段變形取決于由荷載所產(chǎn)生的內(nèi)力?，F(xiàn)以NP、QP、MP分別表示軸力，剪力和彎矩，按材料力學(xué)中的公式，有：(b) 式中EA、GA和EI分別為桿件的拉伸剛度、剪切剛度和彎曲剛度。 k為考慮剪應(yīng)力實(shí)際上沿桿件截面并非均勻分布而引用的修正系數(shù)。其值與截面的形狀有關(guān)。對(duì)于矩形截面： 對(duì)于圓形截面： 對(duì)于工字型截面 將式(b)代入(a)，并以 (5-17) 平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。 對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，用靜力平衡條件求得由虛單位力（廣

17、義力）產(chǎn)生的 及由實(shí)際荷載產(chǎn)生的 即可用式(517)計(jì)算位移。 位移狀態(tài)(第二狀態(tài))實(shí)際荷載 對(duì)于不同類結(jié)構(gòu)，式(5-17)尚可簡化 虛單位力其內(nèi)力圖稱為單位內(nèi)力圖其內(nèi)力圖稱為荷載內(nèi)力圖 1) 梁和剛架：對(duì)于梁和剛架，軸向變形和剪切變形的影響與彎曲變形比較可以略去不計(jì)，故式(5-17)可簡化為： (5-18) 2) 桁架：由于桁架的內(nèi)力只有軸力，通常桿件的軸力和截面都沿桿長L不變，故(5-17)式簡化為：(5-19) 3) 組合結(jié)構(gòu)：組合結(jié)構(gòu)中對(duì)于梁式桿只考慮彎曲變形的影響，而對(duì)于二力桿應(yīng)考慮其軸向變形的作用，式(5-17)簡化為：(5-20)例5-2 計(jì)算桁架結(jié)點(diǎn)C的豎向位移，設(shè)各桿的EA等

18、于同一常數(shù)。解：1）在桁架結(jié)點(diǎn)C處加一豎向單位力，計(jì)算軸力。計(jì)算順序：AE結(jié)點(diǎn)A：由比例關(guān)系 結(jié)點(diǎn)E：由比例關(guān)系圖 2）計(jì)算桁架由于實(shí)際的荷載所產(chǎn)生的軸力。桿EC、CF為零桿。計(jì)算順序：AE 結(jié)點(diǎn)A：由比例關(guān)系 結(jié)點(diǎn)E：圖圖圖例5-3 試求簡支梁中點(diǎn)的豎向位移 ，并將剪切變形和彎曲變形對(duì)位移的影響加以比較。設(shè)梁的截面為矩形。 解：由于梁只承受豎向荷載作用，故軸力 ，即內(nèi)力只有彎矩和剪力。 當(dāng) 時(shí)，實(shí)際狀態(tài)下梁的內(nèi)力為 ： 當(dāng) 時(shí)，虛單位力作用下梁的內(nèi)力為： 彎曲變形所引起的位移 剪切變形所引起的位移梁為矩形截面設(shè)梁的泊桑比 ，則 設(shè)梁高h(yuǎn)，對(duì)于矩形截面當(dāng)梁的高跨比 時(shí)， 在計(jì)算梁的位移時(shí)，對(duì)于

19、截面高度遠(yuǎn)小于跨度的梁，一般可不考慮剪切變形的影響。 例5-4求剛架A端截面的角位移 。已知柱的彎曲剛度為EI，梁的彎曲剛度為2EI，分布荷載集度為q。解：虛設(shè)單位力狀態(tài) 設(shè)實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩以內(nèi)側(cè)受拉為正。 橫梁BC：豎柱AB： 橫梁BC：豎柱AB： 習(xí)題：5.7，5.85-5圖乘法一、圖乘法1.概念 計(jì)算梁和剛架的位移時(shí)，需要求下列積分： （a） 在一定條件下，這種積分運(yùn)算可以得到簡化。 實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，梁和剛架的桿件多為等截面直桿。即沿桿長EI為常數(shù)，此時(shí)上式可寫為（b） 在計(jì)算梁和剛架的位移時(shí)，彎矩MK(s)表達(dá)式通常皆為變量S的分段一次式，亦即MK圖形多是由直線段所組成，

20、這時(shí)可以用圖乘法計(jì)算積分。 yOxx0yy0 xABodxMP圖MK圖 直桿AB的兩個(gè)彎矩圖。其中由荷載引起的MP圖（稱為荷載彎矩圖）為曲線，由單位力引起的MK圖（稱為單位彎矩圖）為一直線。 對(duì)于圖示的坐標(biāo)軸， ，代入積分式得： (c) yOxx0yy0 xABodxMP圖MK圖 這個(gè)面積矩可以寫為 （d） 其中x0為MP圖的形心到y(tǒng)軸的距離。 式中 表示MP圖的微面積，積分 是MP圖的面積 對(duì)于y軸的面積矩。 y0為MK圖中與MP圖的形心相對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。 積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)值乘除運(yùn)算。此方法即稱圖乘法。 yOxx0yy0 xABodxMP圖MK圖 2. 滿足圖乘法的條件： 用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，必

21、須滿足兩個(gè)條件： 1）桿件應(yīng)是等截面直桿，EI=常數(shù) 2）兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形，y0必須取自直線圖形。 3. 圖乘法的正負(fù)規(guī)則：兩個(gè)彎矩圖在基線的同一側(cè)時(shí)，乘積 為正，否則為負(fù)。 為 MP圖的面積。 y0為MK圖中與MP圖的形心相對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。 積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)值乘除運(yùn)算。圖乘法 用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，必須滿足兩個(gè)條件： 1）桿件應(yīng)是等截面直桿，EI=常數(shù) 2）兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形，y0必須取自直線圖形。1.如果兩個(gè)圖形都是直線，y0可以取自其中任意一個(gè)圖形。 當(dāng)圖形的形心位置不易確定時(shí)，可將圖形分解成幾個(gè)容易確定各自形心位置的部分，而后將這些部分分別與另一圖形作圖乘法運(yùn)算

22、，再將所得結(jié)果求代數(shù)和。 二、應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問題abcdLy1y2MP圖MK圖abcdLy1y2MP圖MK圖abcdLy1MP圖MK圖y2 當(dāng) 和 都為直線圖形時(shí)，可直接應(yīng)用如下公式：MP圖MK圖其中：（5-22）abcdLy2y1MP圖MK圖abcdLy2y1MP圖MK圖abcdLy2y1MP圖MK圖圖乘法的正負(fù)規(guī)則：兩個(gè)彎矩圖在基線的同一側(cè)時(shí)，乘積 為正，否則為負(fù)。 abcdLy1MP圖MK圖y2abcdLy2y1MP圖MK圖 2. 一個(gè)圖形是曲線，另一個(gè)圖形是直線。 取自直線圖形而 取自曲線圖形?？蓪?圖分解為若干個(gè)簡單圖形后，分別與 圖作圖乘法運(yùn)算，并求代數(shù)和。 3、 當(dāng)y0所

23、屬的圖形是由若干段直線組成時(shí)，就應(yīng)分段計(jì)算。即把該圖分割為幾個(gè)直線圖形， 圖也相應(yīng)進(jìn)行分割，然后分別相乘，再將所得乘積相加。常用的幾種曲線的面積和形心的位置注意：在應(yīng)用曲線面積的計(jì)算公式時(shí)，必須注意圖形在頂點(diǎn)處的切線應(yīng)與基線平行。 例5-6試用圖乘法計(jì)算簡支梁跨中截面C的豎向位移 和B端的角位移 ,設(shè)EI為常數(shù)。解：1)繪出 2)計(jì)算圖是折線，故需分段進(jìn)行圖乘然后疊加。因?yàn)閮蓚€(gè)彎矩圖均為對(duì)稱，故只需取一半進(jìn)行計(jì)算再乘以2即可。3)計(jì)算 ( ) 例5-7 試用圖乘法計(jì)算折梁C端的豎向位移 和角位移 。設(shè) 解：1)繪出 2)求C端的豎向位移 3)計(jì)算角位移 ( )另一方法：可將荷載分解例5-8試求

24、結(jié)構(gòu)上C,D兩點(diǎn)之間的距離變化 。設(shè)各桿EI為常數(shù)。解：1)繪出 2)求( )習(xí)題：5.13例5-9試求組合結(jié)構(gòu)D端的豎向位移 和鉸C處兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角 ，已知E=2.1104kN/cm2，受彎桿件截面慣性矩I=3200cm4，拉桿BE的截面積A=16cm2 。(1) 計(jì)算支座反力 1) 作出MP圖 (2) 求二力桿軸力取CD桿為隔離體 CHCVCHEBENEBVEBq=10kN/mD由比例關(guān)系 345CHCVCHEBENEBVEBq=10kN/mDAB30kN60kN45kN15kN60kNC30kN60kN(3) 取梁式桿為隔離體BCA90kNm60kN4575ED20kNm+MP、 N

25、P圖2) 求 ：在D端加一豎向單位力 1BCEDP=111AHCVCCHEBENEBVEBP=1D(1) 求二力桿軸力取CD桿為隔離體 HCVCCHEBENEBVEBP=1D121.5BC20.5A11(2) 取梁式桿為隔離體BACED22m3m1+MK圖，NK圖BACED22m3m1+MK圖，NK圖BCA90kNm60kN4575ED20kNm+MP圖 NP3)求相對(duì)轉(zhuǎn)角(1) 求二力桿軸力取CD桿為隔離體 (2) 取梁式桿為隔離體BACED11+MK圖，NKBCA90kNm60kN4575ED20kNm+MP圖 NPBACED11+MK圖，NK（ ）5-6靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變和 支座移動(dòng)引

26、起的位移 靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)溫度改變時(shí)并不引起內(nèi)力。雖然不產(chǎn)生內(nèi)力，但由于材料自由膨脹和收縮會(huì)產(chǎn)生變形和位移。 一、由于溫度改變引起的位移 求出結(jié)構(gòu)受溫度變化時(shí)各微段變形 ， 等的表達(dá)式，并代入式(5-15)，即得此種情況的位移計(jì)算公式。 溫度改變引起的位移計(jì)算公式：(5-15) BCKK+t1+t2A且t1t2。為了簡化計(jì)算，假定溫度沿桿件截面高度h按直線規(guī)律變化，因而在發(fā)生變形后截面仍保持為平面。 設(shè)桿件的上邊緣溫度上升t1，下邊緣上升t2，截取任一微段ds。t1t2dshh1h2 設(shè)h1和h2分別表示截面形心軸線至上下最外纖維的距離。t0表示軸線處溫度的變化值。t0t1t2dshh1h2根據(jù)比例

27、關(guān)系，得：(a)t0t1t0t2t1t2dshh1h2 設(shè) 為材料的線膨脹系數(shù)，微段ds由于溫度改變所產(chǎn)生的軸向變形為(b) 微段兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為： t1t2dshh1h2(c)為桿件上下側(cè)溫度改變之差。溫度改變不產(chǎn)生剪應(yīng)變，故 ：(d) 將(b) (c) (d) 各式的微段變形代入(5-15)式，并以 代替 得： (5-15) (5-23) 式(5-23)為計(jì)算結(jié)構(gòu)由于溫度改變所引起的位移的一般計(jì)算公式。 若每一桿件沿其全長溫度改變相同且截面高度不變，則(5-23)式可改寫為：(5-24) 式中 為 圖的面積， 為 圖的面積。 公式右邊兩項(xiàng)的正負(fù)號(hào)按如下規(guī)定來選?。喝籼摿顟B(tài)中由于虛內(nèi)力

28、的變形與由于溫度改變所引起的變形方向一致，則取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào)。 與承受荷載的情況不同，在計(jì)算由于溫度改變所引起的位移時(shí)，不能略去軸向變形的影響。 例5-10求折梁C點(diǎn)的豎向位移。已知各桿外側(cè)溫度無變化，內(nèi)側(cè)溫度上升12。各桿的截面相同且形心軸在桿件高度的 處，線膨脹系數(shù)為 。 解：在C點(diǎn)沿豎向加單位力 ，作出相應(yīng)的 圖和 圖。 桿件由于溫度改變而發(fā)生的彎曲變形和軸向變形分別與 和 所產(chǎn)生的變形方向相反，故取負(fù)號(hào)。 習(xí)題：5.21，5.265-6靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變和 支座移動(dòng)引起的位移 二、由支座移動(dòng)引起的位移(5-15) 靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，只會(huì)產(chǎn)生剛體的位移。命式(

29、5-15)中的 ，并用 代替 ，得（5-25） （5-25）式為由于支座移動(dòng)所引起的結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式。 式中： 為實(shí)際的支座位移。 為與 相應(yīng)的由虛單位力所產(chǎn)生的支座反力，當(dāng) 與 方向一致時(shí)二者相乘后取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。 （5-25）例5-11 一靜定剛架，若支座A發(fā)生 ， 的位移。試求B點(diǎn)的水平位移 ，豎向位移 及其總位移。 ACBLabL 解：在B點(diǎn)處分別加一水平和豎向的單位力，并求出其支座反力。 BCA11P=11BCA11P=11ACBLabLABCP=110ACBLabLABCP=110B點(diǎn)的總位移 從虛功原理出發(fā)，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出線性變形體系的幾個(gè)互等原理。5-7線性變形體系的幾個(gè) 互等定理狀態(tài) 一、功的互等定理 狀態(tài) 力狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài) 位移狀態(tài) 狀態(tài)力狀態(tài)狀態(tài)位移狀態(tài) 令狀態(tài)的力系經(jīng)歷狀態(tài)的變形和位移，虛功方程為 狀態(tài)狀態(tài) 位移狀態(tài) 狀態(tài) 力狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)位移狀態(tài) 力狀態(tài) 再令狀態(tài)的力系經(jīng)歷狀態(tài)的變形和位移，虛功方程為代入(a)和(b)式： (5-27) 功的互等定理：在線性變形體中，狀態(tài)的外力由于狀態(tài)的位移所作的虛功等于狀態(tài)的外力由于狀態(tài)的位移所作的虛功。 二、位移互等定理 表示由于單位力 所引起的與