第8-1節(jié) 重積分的概念及計(jì)算課件

1、第八章 重積分8.1 重積分的概念與性質(zhì) 在一元函數(shù)微積分學(xué)中我們已經(jīng)知道，定積分是某種確定形式的和的極限。 這種和的極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線、曲面上多元函數(shù)的情形，便得到重積分、曲線積分、曲面積分的概念。 本章首先介紹重積分的概念、計(jì)算法以及它們的應(yīng)用。18.1.1 重積分的定義 回顧在第五章中用定積分計(jì)算物體的質(zhì)量問題，假定物體的密度是連續(xù)變化的。 首先考慮一根長度為l 的細(xì)直桿。 不妨假定它在軸上占據(jù)區(qū)間0，l，設(shè)其線密度為2 在每個小區(qū)間上“以常代變”，作積求和得到細(xì)直桿質(zhì)量的近似值為然后通過求極限便可得到細(xì)直桿的質(zhì)量為 如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐

2、標(biāo)面上的區(qū)域D，并設(shè)其面密度函數(shù)為= (x,y)常數(shù)。這里(x,y)0且在D上連續(xù)。3均勻薄片:質(zhì)量=面密度面積 參照上述細(xì)直桿的討論方法，yxo現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量。 我們將分割成n個彼此沒有公共內(nèi)點(diǎn)的閉子域該薄板的質(zhì)量可表示為 4 如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域，其體密度函數(shù)為= (x,y,z)常數(shù),則其質(zhì)量可表示為 綜上所述，(2)、(3)的右端都是與 (1) 式右端同一類型的和式極限，它們?yōu)槎x重積分提供了物理背景。下面我們先給出二重積分的定義。5積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù) 由二重積分的定義可知，平面薄板的質(zhì)量是面密度函數(shù)在薄板所占閉區(qū)域上的二

3、重積分7下面我們再給出重積分的定義。定義8. 1. 2 設(shè)是Rn中一個可求體積（n=2時(shí)為面積）的有界閉區(qū)域，f(X)是在上有定義的有界函數(shù)，將分割為彼此沒有公共內(nèi)點(diǎn)的任意閉子域8 當(dāng)n=3時(shí)函數(shù) f(X)= f(x,y,z) (x,y,z)， 即為函數(shù)f(x,y,z) 在 上的三重積分，dv稱為體積元素。 有了上述定義，空間立體的質(zhì)量也可以通過密度函數(shù)的三重積分來表示，即可以證明定理8.1.1 (1)（充分條件）若 在 上連續(xù)，則它在 上可積；(2)（必要條件）若 在 上可積，則它在 上有界。108.1.2 重積分的性質(zhì) 我們僅給出二重積分的性質(zhì)，三重積分的性質(zhì)完全類似。 假設(shè)性質(zhì)中涉及的函

4、數(shù)在相應(yīng)區(qū)域上均可積，D、D1、D2都是平面上的有界閉區(qū)域。(2) (關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若、為常數(shù)，則表示D的面積11(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無公共內(nèi)點(diǎn)，則(4)（積分不等式）如果在D上有f(x,y) g(x,y) ,則特別地，有12(5)由于f(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積， M、m是f(x,y)在有界閉區(qū)域D的最大值和最小值，所以m f(x,y) M。上面的不等式也稱為估值不等式。(6)令則14(6)由連續(xù)函數(shù)的介值定理知， f(x,y)在D上至少存在一點(diǎn)(,)，使f(,)=，即上式兩端同乘以即得結(jié)論成立。15(1) D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；(2) D2：(x2)2

5、+(y1)2 2解 (1)因?yàn)樵趨^(qū)域D1上0 x+y 1， (x+y)3 (x+y)2根據(jù)性質(zhì)4，得 (1)若f (x)在a,b上連續(xù), f (x)0,且 f (x)不恒為零, 則 。 171 2 從圖形易知在D上除切點(diǎn)外，處處有x+y 1 (x+y)2 (x+y)3所以有(x2)2+(y1)2 2該圓域與直線x+y=1相切。18例3 利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。解因?yàn)?fx=2x，fy=8y，所以有駐點(diǎn)(0,0) 。先求f (x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。19 顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。 于是f (x,y)在D上的最小值為1

6、，最大值為5，積分區(qū)域的面積為。所以有20例4. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有21第八章 重積分8.2 二重積分的計(jì)算法 利用二重積分的定義直接計(jì)算二重積分一般很困難，計(jì)算二重積分的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，然后通過計(jì)算兩次定積分來計(jì)算二重積分。22 (1)分割 用一組曲線網(wǎng)將D分成n個小閉區(qū)域1,2 , , n ，分別以這些小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來的曲頂柱體分割成n個細(xì)曲頂柱體。24(2)

7、近似 當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時(shí)，由于f(x,y)連續(xù)，對于同一個小區(qū)域上的不同點(diǎn)，f(x,y)的變化很小，細(xì)曲頂柱體可近似地看作平頂柱體2527yxzo282、用幾何觀點(diǎn)討論二重積分的計(jì)算法 應(yīng)用 “定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計(jì)算這個曲頂柱體的體積。 (1)設(shè)f (x,y) 0，f(x,y)在D上連續(xù)。X型o a b xyo a b xy29o a x0 b xyz 在區(qū)間a,b上任取一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x = x0。 這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 1(x0), 2(x0)為底、曲線z =f (x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其截面面積為： 先計(jì)算

8、截面面積。30 一般地，過區(qū)間a,b上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為： 于是，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立方體體積的方法，得曲頂柱體體積為 這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式o a x b xyz31 上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。 就是說，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對y計(jì)算從1(x)到 2(x)的定積分； 再把計(jì)算所得的結(jié)果（是x的函數(shù)）對x計(jì)算在區(qū)間a,b上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作32Y型DyoxdcyoxdcD33 計(jì)算時(shí)先把y看作常數(shù)，因此f(x,y)是x的一元函數(shù)， 在區(qū)間1(y) x 2(y

9、)上對x積分,得到一個關(guān)于y的函數(shù), 再在區(qū)間c y d上對y積分,。 這就是把二重積分化為先對x 、后對 y的二次積分的公式。34 應(yīng)用公式(1) 時(shí)，積分區(qū)域必須是X型區(qū)域。 應(yīng)用公式(2) 時(shí)，積分區(qū)域必須是Y型區(qū)域。 X型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)。 Y型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)。35 若積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域，此時(shí)要將積分區(qū)域D分成幾部分，使得每一部分是X型區(qū)域或Y型區(qū)域，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性可得整個區(qū)域上的積分。yox 若積分區(qū)域D既是X型區(qū)域也是Y型區(qū)域，則這表明二次積分可

10、以交換積分次序。363、二重積分計(jì)算的一般方法 要依被積函數(shù)及積分區(qū)域兩方面的情況選定積分順序?；癁閮纱螁畏e分 (1) 作圖，確定D的類型。 (2) 選定積分順序。 (3) 定出積分上下限。 (4) 計(jì)算定積分。 確定積分順序之后，積分的上下限是依D的特點(diǎn)而定的。 要使兩次積分都能“積得出”，“易積出”。3711 xo 1 xy = xy解 畫出積分區(qū)域D如圖所示。既是X型，又是Y型的。3811 o 1 xy = xyy39解 首先畫出積分區(qū)域D的圖形。 O 1 x- 221 y(1，1)(4 ,-2)(1) 如先積y后積x，則有40O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)41O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)(2) 如先積x后積y，則有評注 本例說明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次