數(shù)學(xué)公理化方法市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第四講構(gòu)建數(shù)學(xué)理論基本辦法公理化辦法第1頁第1頁本講內(nèi)容數(shù)學(xué)公理化辦法歷史演進(jìn)過程關(guān)于幾何公理體系實(shí)質(zhì)公理化與形式公理化數(shù)學(xué)公理化辦法邏輯特性第2頁第2頁所謂公理化方法，就是指從盡也許少原始概念和不加證實(shí)原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出 其它命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)方法。第3頁第3頁數(shù)學(xué)上所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)少數(shù)思想上要求 恩格斯第4頁第4頁公理化辦法能系統(tǒng)地總結(jié)數(shù)學(xué)知識、清楚地揭示數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，有助于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支本質(zhì)異同，增進(jìn)新數(shù)學(xué)理論建立和發(fā)展。第5頁第5頁當(dāng)代科學(xué)發(fā)展基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化一個(gè)主要特性。第6頁第6

2、頁公理化辦法發(fā)展，大體經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構(gòu)起來理論體系典范分別是幾何原本、幾何基礎(chǔ)和ZFC公理系統(tǒng)。第7頁第7頁數(shù)學(xué)公理化辦法歷史演進(jìn) 關(guān)于幾何公理體系第8頁第8頁歐幾里德幾何 歷史上第一個(gè)用公理化辦法去建構(gòu)數(shù)學(xué)理論體系是歐幾里德，他工作集中表達(dá)在他幾何原本中。 Quotations: The laws of nature are but the mathematical thoughts of God. There is no royal road to geometry.第9頁第9頁歐幾里得第10頁第10頁幾何原本受到了

3、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和亞里士多德影響畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開創(chuàng)了把幾何學(xué)作為證實(shí)演繹學(xué)科來進(jìn)行研究方向。亞里士多德首創(chuàng)造公理化思想，提出了邏輯學(xué)“三段論公理體系”。第11頁第11頁歐幾里德首先指明了幾何學(xué)研究對象，即點(diǎn)、線、面，在對這些對象進(jìn)行“定義”（其實(shí)只是闡明）以后，引進(jìn)了關(guān)于這些對象一些明顯事實(shí)作為不加證實(shí)而采用5個(gè)公設(shè)，進(jìn)而又引進(jìn)了更為普通5個(gè)斷言作為公理，他通過這些公理、公設(shè)，逐步推表演465個(gè)命題。第12頁第12頁幾何原本問世，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽豐碑，對數(shù)學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展起了巨大推動作用。它也成為公認(rèn)、歷史上第一部巨大科學(xué)典籍。它奠定了數(shù)學(xué)這門科學(xué)必須依照邏輯要求敘述其規(guī)律基礎(chǔ)。第13

4、頁第13頁它基本上完善了初等幾何體系，這正如黑格爾所說：“初等幾何就歐幾里得所遺留給我們內(nèi)容而言，已經(jīng)能夠看作相稱完備了，不也許有更多進(jìn)展”。第14頁第14頁它所表達(dá)演繹美對數(shù)學(xué)美學(xué)思想發(fā)展也起到了不可低估作用，它讓“世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系奇跡，這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推動，推理這種可贊嘆勝利，使人類理智取得了為取得以后成就所必須信心。（愛因斯坦語）。第15頁第15頁幾何輝煌之處就在于只用很少公理而得到如此之多結(jié)果。它提倡公理化辦法，為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家樹立了如何建立科學(xué)理論體系光輝典范。第16頁第16頁牛頓采用歐幾里德公理化辦法，把他之前眾多物理學(xué)家（如哥白尼、伽俐略、開普勒等）研

5、究力學(xué)知識排列成邏輯體系，構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體。他名著自然哲學(xué)數(shù)學(xué)原理從力學(xué)三大運(yùn)動定律出發(fā)，按照數(shù)學(xué)邏輯推理把力學(xué)定理逐一必定地引申出來。第17頁第17頁About ElementsThe Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time. 第18頁第18頁It is also the world

6、s second most popular book, coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.第19頁第19頁Greek version(888)Latin Version (1482)第20頁第20頁English Version第21頁第21頁第22頁第22頁“此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。第23頁第23頁有三至三能：似至晦，實(shí)

7、至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實(shí)至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以其易易他物之難。易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已”。 徐光啟幾何原本雜議第24頁第24頁中文版16，由意大利傳教士利瑪竇口譯，明代進(jìn)士、數(shù)學(xué)家徐光啟執(zhí)筆，合作譯完歐幾里得幾何原本前6卷，16在北京雕版刊行徐光啟親自寫了刻幾何原本序，手跡至今猶存。第25頁第25頁徐光啟和利瑪竇譯幾何原本前6卷，乃是東方最早譯本(不計(jì)阿拉伯文本)。較俄譯本(1739)、瑞典文本(1744)、丹麥文本(1745)、波蘭文本(1817)都早。第26頁第26頁徐光啟和利瑪竇合譯幾何原本語言通俗，錯(cuò)誤很少。其中許多數(shù)學(xué)譯名都是從

8、無到有，邊譯邊創(chuàng)造，并且都十分恰當(dāng)。第27頁第27頁“幾何”一詞選取，其它如點(diǎn)、直線、平行線、角、三角形、四邊形、有理數(shù)，無理數(shù)等都是這個(gè)譯本首先定下來。這些名詞在我國始終沿用至今，并且還影響到日本、朝鮮等鄰國。第28頁第28頁只有少數(shù)名詞以后有所改動。1857年，清代數(shù)學(xué)家李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合作續(xù)譯幾何原本后9卷正式刊行。第29頁第29頁非歐幾何非歐幾里得幾何是一門大數(shù)學(xué)分支，普通來講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同幾何學(xué)，狹義非歐幾何只是指羅氏幾何來說，至于通常意義非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。第30頁第30頁非歐

9、幾何長期以來，不少數(shù)學(xué)家就對第五公設(shè)（即平行公設(shè)）持保留態(tài)度。 若平面上始終線和兩直線相交，當(dāng)同旁兩內(nèi)角之和小于二直角時(shí)，則兩直線在這一側(cè)延長后一定相交。第31頁第31頁由于它在陳說和內(nèi)容上顯得復(fù)雜和累贅。人們懷疑這條公設(shè)是多出，它也許能從其它公設(shè)、公理中邏輯地推導(dǎo)出來。第32頁第32頁并且進(jìn)一步認(rèn)為，歐幾里得之因此把它當(dāng)作公設(shè)，只是由于他未能給出這一命題證實(shí)。因而數(shù)學(xué)家們紛紛致力于證實(shí)第五公設(shè)，聽說在歐幾里得以后兩千多年時(shí)間里，幾乎難以發(fā)覺一個(gè)沒有試證過第五公設(shè)大數(shù)學(xué)家。第33頁第33頁P(yáng)roclusDiadochus普羅克洛斯（411485）,Greece John Playfair（17

10、481819）,Scotland Adrien-Marie Legendre（17521833），F(xiàn)rance第34頁第34頁但是所有試證第五公設(shè)努力均歸于失敗，在這些失敗之中唯一引出正面結(jié)果便是一串與第五公設(shè)等價(jià)命題被發(fā)覺。普雷菲爾（John Playfair）公設(shè)：“在平面上過直線外一點(diǎn)只能作一條和這直線不相交直線”。第35頁第35頁“三角形內(nèi)角和等于兩直角”。“存在著相同三角形”等。由于普雷菲爾公設(shè)形式最為簡明，因此受到普遍采用，現(xiàn)在教科書中也慣用這一敘述形式來替換第五公設(shè)。第36頁第36頁其實(shí)，普雷菲爾公設(shè)由于包括了平行線存在性，其與其它歐幾里得公理、公設(shè)并不獨(dú)立，更確切等價(jià)命題應(yīng)為：

11、“通過不在已知直線上一點(diǎn)，至多可引一條與該已知直線平行直線”（它被希爾伯特公理系統(tǒng)所采用，稱為“平行公理”）。第37頁第37頁在總結(jié)前人失敗教訓(xùn)基礎(chǔ)上，1826年，俄國年輕數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（NicolaiLobachevsky）從問題反面考慮，大膽地提出了與前人完全不同信念：第38頁第38頁首先，他認(rèn)為第五公設(shè)不能以其余幾何公理作為前提來進(jìn)行證實(shí)，即第五公設(shè)相對于其它公理、公設(shè)是獨(dú)立。另一方面，更進(jìn)一步，他認(rèn)為除去第五公設(shè)成立歐幾里得幾何之外，還能夠有第五公設(shè)不成立新幾何系統(tǒng)存在。第39頁第39頁于是，他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理、公設(shè)前提下，引進(jìn)了一個(gè)相反于第五公設(shè)公理：“過平面

12、上一已知直線外一點(diǎn)至少能夠引兩條直線與該已知直線不相交”。第40頁第40頁這樣，羅巴切夫斯基就結(jié)構(gòu)出來了一個(gè)新幾何系統(tǒng)即羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)，它與歐幾里得幾何系統(tǒng)相并列。第41頁第41頁以后，人們又證實(shí)了這兩個(gè)部分地互相矛盾幾何系統(tǒng)居然是相對相容，亦即假定其中之一無矛盾，則另一個(gè)必定無矛盾。這樣，羅氏幾何地位就得到了確立。第42頁第42頁幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)建非歐幾何學(xué)同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶雅諾什也發(fā)覺了第五公設(shè)不可證實(shí)和非歐幾何學(xué)存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)過程中也遭到了家庭、社會冷漠看待。第43頁第43頁他父親數(shù)學(xué)家鮑耶法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是花費(fèi)精力勞而無功蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶

13、雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他父親一本著作里，以附錄形式發(fā)表了研究結(jié)果。第44頁第44頁高斯也發(fā)覺第五公設(shè)不能證實(shí)，并且研究了非歐幾何。但是高斯膽怯這種理論會遭到當(dāng)初教會力量打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己研究結(jié)果，只是在書信中向自己朋友表示了自己見解，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們新理論。第45頁第45頁Founders of Non-Euclidean Geometry NikolaiIvanovichLobachevsky(1793-1856)RussiaJohann Carl Friedrich Gauss(1777-1855)Germany第46頁

14、第46頁羅巴切夫斯基俄羅斯數(shù)學(xué)家，非歐幾何早期發(fā)覺人之一。羅巴切夫斯基在嘗試證實(shí)平行公理時(shí)發(fā)覺以前所有證實(shí)都無法逃脫循環(huán)論證錯(cuò)誤。于是，他作出假定：過直線外一點(diǎn)，能夠作無數(shù)條直線與已知直線平行。假如這假定被否認(rèn)，則就證實(shí)了平行公理 。第47頁第47頁 然而，他不但沒有能否認(rèn)這個(gè)命題，并且用它同其它歐氏幾何中與平行公理無關(guān)命題一起展開推論，得到了一個(gè)邏輯合理新幾何體系非歐幾里得幾何學(xué)，這就是以后人們所說羅氏幾何。第48頁第48頁羅氏幾何創(chuàng)建對幾何學(xué)和整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展起了巨大作用，但一開始并沒有引起注重，直到羅巴切夫斯基去世后才逐步被廣泛認(rèn)同。羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)分析和代數(shù)學(xué)方面也有一定成就。 第49頁

15、第49頁匈牙利數(shù)學(xué)家 鮑耶以一生時(shí)間試圖證實(shí)歐幾里德關(guān)于平行線不相交第五公設(shè)。在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)成了著名數(shù)學(xué)家高斯密友，保持通信直到1855年高斯去世。他幾乎與科學(xué)界完全隔絕，但仍然不倦地研究平行線公理。第50頁第50頁匈牙利數(shù)學(xué)家 鮑耶18他把一個(gè)證實(shí)寄給高斯，高斯指出了其中缺陷，但他還繼續(xù)研究。 第51頁第51頁在羅氏幾何創(chuàng)建28年以后，1854年黎曼（Georg Riemann，18261866）又建立了另外一個(gè)“過直線外一點(diǎn)不能引出與該直線不相交直線”幾何新體系黎曼幾何。第52頁第52頁如所知，黎曼幾何在愛因斯坦19創(chuàng)建“廣義相對論”后，已得到了證實(shí)和應(yīng)用。第53頁第53頁黎曼第54頁

16、第54頁“我對于把一切與物理規(guī)律結(jié)合起來數(shù)學(xué)研究非常入迷?！?黎曼第55頁第55頁黎曼德國數(shù)學(xué)家，對數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了主要奉獻(xiàn)，其中一些為廣義相對論發(fā)展鋪平了道路。他名字出現(xiàn)在黎曼函數(shù)，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思緒回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。第56頁第56頁他初次登臺作了題為“論作為幾何基礎(chǔ)假設(shè)”演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他在1857年升為格丁根大學(xué)編外專家，并在1859年狄利克雷去世后成為正專家。第57頁第57頁1851年，黎曼發(fā)表博士論文，以后被稱為整個(gè)19世紀(jì)最主要數(shù)學(xué)論文。黎曼是狄利克雷（Dirichlet，

17、1805-1859）學(xué)生，他在論文中引用了狄利克雷原理。第58頁第58頁德國數(shù)學(xué)家 狄利克雷對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出奉獻(xiàn)，是解析數(shù)論創(chuàng)始人之一。曾受教于物理學(xué)家歐姆、數(shù)學(xué)家傅里葉影響 。1855年接任高斯在哥廷根大學(xué)專家職位。 第59頁第59頁在分析學(xué)方面，他是最早提倡嚴(yán)格化辦法數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間一個(gè)相應(yīng)關(guān)系當(dāng)代觀點(diǎn)。 在數(shù)論方面，他是高斯思想傳播者和拓廣者。第60頁第60頁1863年狄利克雷撰寫了數(shù)論講義，對高斯劃時(shí)代著作算術(shù)研究作了明晰解釋并有創(chuàng)見，使高斯思想得以廣泛傳播。1837年，他結(jié)構(gòu)了狄利克雷級數(shù)。第61頁第61頁18381839年，他得到擬定二次

18、型 類數(shù)公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數(shù)數(shù)域中單位數(shù)阿貝爾群結(jié)構(gòu)。 第62頁第62頁魏爾斯特拉斯(weierstrass，1815-1897)：“不加證實(shí)利用狄利克雷是不恰當(dāng)，但是有道理，我相信我能夠得到這個(gè)原理一個(gè)證實(shí)?！钡?3頁第63頁魏爾斯特拉斯他是把嚴(yán)格論證引進(jìn)分析學(xué)一位大師，為分析嚴(yán)密化作出了不可磨滅奉獻(xiàn)，是分析算術(shù)化運(yùn)動開創(chuàng)者之一。 第64頁第64頁他證實(shí)了（1860）：任何有界無窮點(diǎn)集，一定存在一個(gè)極限點(diǎn)。早在1860年一次演講中，他從自然數(shù)導(dǎo)出了有理數(shù)，然后用遞增有界數(shù)列極限來定義無理數(shù)，從而得到了整個(gè)實(shí)數(shù)系。這是一個(gè)成功地為微積分奠定理論基礎(chǔ)理論。 第65頁第65頁為

19、了闡明直覺不可靠， 1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏林科學(xué)院一次講演中，結(jié)構(gòu)了一個(gè)連續(xù)函數(shù)卻處處不可微例子，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。這個(gè)例子推動了人們?nèi)ソY(jié)構(gòu)更多函數(shù)，這樣函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)或處處連續(xù)，但在一個(gè)稠密集或在任何點(diǎn)上都不可微。從而推動了函數(shù)論發(fā)展。 第66頁第66頁早在1842年，魏爾斯特拉斯就有了一致收斂概念，并利用這一概念給出了級數(shù)逐項(xiàng)積分和在積分號下微分條件。 1885年，魏爾斯特拉斯所證實(shí)用多項(xiàng)式任意迫近連續(xù)函數(shù)定理，是二十世紀(jì)一個(gè)遼闊研究領(lǐng)域函數(shù)結(jié)構(gòu)論，即函數(shù)迫近與插值理論出發(fā)點(diǎn)之一。 第67頁第67頁歷史條件不具備，黎曼四十歲便去世了，也沒能夠證實(shí)狄利克雷原理。 1853

20、年，龐加萊 ，柯西等當(dāng)初最有名氣幾位數(shù)學(xué)家完全否認(rèn)了黎曼博士論文。第68頁第68頁龐加萊、柯西第69頁第69頁如此美妙而又有廣泛應(yīng)用前景狄利克雷原理已經(jīng)永遠(yuǎn)從我們視野中消失了。1899年，希爾伯特：“原理稍加修改以后將會是正確，結(jié)論都滿足修改后原理?！钡?0頁第70頁僅僅增長一個(gè)“弱”字，復(fù)活了原理與黎曼，這是希爾伯特一生中最主要奉獻(xiàn)，直接后果造成泛函分析誕生。馬克思有句非常有名話；“倒洗澡水，不要把里面小孩都倒掉。”第71頁第71頁羅巴切夫斯基幾何（也叫雙曲幾何）與黎曼幾何（也叫橢圓幾何）這兩種幾何統(tǒng)稱為非歐幾何。非歐幾何發(fā)覺是數(shù)學(xué)史上一個(gè)主要里程碑，而歐氏幾何與非歐幾何天壤之別，根源僅僅在

21、于一條平行公理不同，這充分顯示出公理化方法威力。第72頁第72頁非歐幾何創(chuàng)建大大地增進(jìn)了幾何基礎(chǔ)研究進(jìn)展，也大大地提升了公理化辦法信譽(yù)，接著便有許多數(shù)學(xué)家致力于公理化辦法研究。第73頁第73頁18711872年間，德國數(shù)學(xué)家康托（Cantor）與戴德金（Dedekind）不約而同地?cái)M成了連續(xù)性公理。1882年，德國數(shù)學(xué)家巴士（Pasch）又?jǐn)M成了順序公理。正是在這樣基礎(chǔ)上，希爾伯特于1899年發(fā)表了幾何基礎(chǔ)一書。第74頁第74頁他通過引進(jìn)一些基本概念（基本元素包括點(diǎn)、線、面，基本關(guān)系包括結(jié)合、順序、協(xié)議），用結(jié)合、順序、協(xié)議、平行、連續(xù)這5組公理（共20條）來擬定基本概念涵義并進(jìn)行邏輯演繹，展

22、開幾何理論，形成了一個(gè)簡明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)幾何形式化公理系統(tǒng)，從而最后地處理了歐氏幾何缺點(diǎn)，完善了幾何學(xué)公理化辦法。第75頁第75頁不但如此，該書還給出了證實(shí)一公理系統(tǒng)相容性、獨(dú)立性普遍原則，從此公理化辦法進(jìn)入了數(shù)學(xué)其它各個(gè)分支。20世紀(jì)以來數(shù)學(xué)家們以希爾伯特幾何公理系統(tǒng)為榜樣，努力為各個(gè)數(shù)學(xué)分支建立公理化體系。第76頁第76頁幾乎所有數(shù)學(xué)和邏輯分支與一些物理學(xué)以及其它科學(xué)分支，從二十世紀(jì)開始，都通過了公理辦法分析研究。 富蘭克林 第77頁第77頁David Hilbert (1862-1943)第78頁第78頁German mathematician who set forth the fi

23、rst rigorous set of geometrical axioms in Foundations of Geometry(1899).He also proved his system to be self-consistent. His many contributions span number theory ， mathematical logic, differential equations, and the three-body problem. He also proved Warings theorem. 第79頁第79頁At the Paris Internatio

24、nal Congress of 1900, Hilbert proposed 23 outstanding problems in mathematics to whose solutions he thought twentieth century mathematicians should devote themselves. These problems have come to be known as Hilberts problems, and a number still remain unsolved today.第80頁第80頁“你使得我們所有人，都僅僅在思考你想讓我們思考問題

25、”第81頁第81頁實(shí)質(zhì)公理化（古典公理化）與形式公理化（當(dāng)代公理化）第82頁第82頁實(shí)質(zhì)公理化辦法 歐幾里得公理體系被認(rèn)為是實(shí)質(zhì)公理系統(tǒng)，也就是說，這種公理體系實(shí)質(zhì)上是對經(jīng)驗(yàn)知識系統(tǒng)整理。 這種公理體系含有特定對象，公設(shè)、公理確實(shí)立只是為了刻畫這些對象主線特點(diǎn)，或者說，這一公理體系被認(rèn)為是從屬于這些特定對象。第83頁第83頁正由于如此，研究對象先于公理給出，它是一個(gè)“對象公理演繹”系統(tǒng)。其公理含有“自明性”。由于這些對象含有明顯直觀背景現(xiàn)實(shí)空間（因而是“實(shí)”或“詳細(xì)”），從而人們就能夠用所謂直觀性來作為公理判斷依據(jù)。第84頁第84頁形式公理化辦法希爾伯特公理體系被認(rèn)為是形式公理系統(tǒng)，也就是說，

26、公理系統(tǒng)中基本概念只具“形式”而不具“內(nèi)容”，公理組所闡述是對基本概念要求，而不是基本概念“自明”特性。形式化公理系統(tǒng)反應(yīng)不只是特定研究對象性質(zhì)，而是許多含有相同結(jié)構(gòu)對象共同性質(zhì)。第85頁第85頁也就是說，不再是由對象決定公理，而是由公理來決定對象。誰能滿足公理組所要求條件，誰就能夠作為該公理系統(tǒng)基本對象。因此只要滿足給定公理，稱它們是什么是無關(guān)緊要，這正如希爾伯特所說： “我們必定能夠用桌子、椅子和啤酒來代替點(diǎn)、線、面”。第86頁第86頁例子希爾伯特公理體系中結(jié)合公理(I3)：每一條直線至少有兩個(gè)點(diǎn)。其實(shí)表示是下列邏輯結(jié)構(gòu)： xL(yp(zp(yz) (yRx) (zRx) 第87頁第87頁

27、即， 每個(gè)L類對象都有兩個(gè)不同p類對象與之發(fā)生R關(guān)系。解釋：通常意義下直線(L)、點(diǎn)(p)及點(diǎn)在直線上(R)；球面上大圓(L) 、對徑點(diǎn)(p) 、對徑點(diǎn)在大圓上(R)。第88頁第88頁正由于如此，在形式化公理系統(tǒng)中，基本概念要求為不加定義原始概念，它不是先于公理而擬定，而是與公理同時(shí)出現(xiàn)，其涵義、特性和范圍由公理組隱含擬定。并且，對原始概念解釋被當(dāng)作系統(tǒng)之外事，在系統(tǒng)內(nèi)，它只是作為一個(gè)“假設(shè)”。第89頁第89頁即是說，形式化公理系統(tǒng)與實(shí)質(zhì)公理系統(tǒng)不同，是一個(gè)“假設(shè)演繹”系統(tǒng)。形式公理排除直觀默認(rèn)，其公理也不再含有“自明性”，而只是作為演繹基礎(chǔ)“假設(shè)”。第90頁第90頁形式公理系統(tǒng)發(fā)展推動了數(shù)學(xué)

28、基礎(chǔ)研究，也造成了數(shù)學(xué)觀深刻改變：數(shù)學(xué)研究主要并不在于研究對象是什么；而在于對象間關(guān)系（邏輯結(jié)構(gòu)和形式）。形式公理化辦法使數(shù)學(xué)理論達(dá)到了更高抽象，并擴(kuò)大了它應(yīng)用范圍。第91頁第91頁數(shù)學(xué)公理化辦法邏輯特性（或基本問題、基本內(nèi)容）第92頁第92頁利用數(shù)學(xué)公理化辦法關(guān)鍵在于如何確立基本概念和公理，這也就是數(shù)學(xué)公理化辦法基本問題或基本內(nèi)容。基本概念應(yīng)是最原始、最簡樸思想要求。在形式化公理系統(tǒng)里，基本概念是由公理組隱含地定義。第93頁第93頁公理是對基本概念互相關(guān)系要求。它選取和設(shè)置必須符合三條要求，即相容性、獨(dú)立性和完備性，這三個(gè)方面構(gòu)成了公理化辦法邏輯特性，這也是判別一個(gè)公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理準(zhǔn)則。

29、第94頁第94頁相容性（或無矛盾性、協(xié)調(diào)性）相容性是指一個(gè)公理系統(tǒng)不能自相矛盾,即該系統(tǒng)中所有公理連同它一切推論在內(nèi),不含有任何互相矛盾命題。很顯然，這是對公理系統(tǒng)最基本要求，不然，就不含有存在價(jià)值。第95頁第95頁如何證實(shí)給定公理系統(tǒng)相容性呢？很顯然，想直接通過“由公理組作出所有也許推論并指出其中沒有矛盾”這種辦法來證實(shí)普通來說是很困難。第96頁第96頁原因很簡樸，由于所有也許推論普通是無限，我們很難用窮舉辦法來逐一驗(yàn)證，而通過大量但卻是有限推導(dǎo)沒有導(dǎo)出矛盾，并不等于永遠(yuǎn)推不出矛盾。第97頁第97頁這種辦法只適合于命題項(xiàng)數(shù)較少小范圍理論系統(tǒng)，如數(shù)理邏輯中真值函數(shù)公理系統(tǒng)和謂詞演算公理系統(tǒng)等。

30、數(shù)學(xué)上常采用一個(gè)間接辦法即“解釋法”或“模型法”來證實(shí)。第98頁第98頁模型法基本思想結(jié)構(gòu)模型（或解釋）基本方法以下：將公理組中每一不定義概念與某一對象集合相對應(yīng)，而且要求對應(yīng)于不同概念集合沒有公共元素，然后使公理組中基本概念每一關(guān)系對應(yīng)著對應(yīng)集合元素間某一確定關(guān)系，我們把所得集合與關(guān)系全體叫做解釋域。第99頁第99頁這樣，公理組中每一條公理自然地相應(yīng)于解釋域中某一個(gè)命題（或性質(zhì)）。假如公理組中所有公理在這個(gè)解釋下命題均為真，那么，我們就把這個(gè)解釋稱為是所給公理體系模型。第100頁第100頁即能作出，“假如某一公理體系（即原型）是相容，那么另一公理體系也是相容”判斷。由于一個(gè)公理體系有無矛盾歸

31、根結(jié)底在于其公理組有無矛盾，而一個(gè)公理組無矛盾性可由其模型無矛盾性來確保，不然話，公理組矛盾將會導(dǎo)出模型矛盾。第101頁第101頁用解釋法（或模型法）能夠證實(shí)一個(gè)公理體系相對相容性。解釋法實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)公理系統(tǒng)無矛盾性證實(shí)化歸為了另一公理系統(tǒng)無矛盾性證實(shí)，是一個(gè)間接證實(shí)。第102頁第102頁羅氏幾何模型自從羅氏幾何誕生后，由于羅氏平行公理是如此地為常識所不容，這才激起了人們對于數(shù)學(xué)系統(tǒng)地?zé)o矛盾性證實(shí)興趣和注重。即使在羅氏公理系統(tǒng)展開中始終沒有出現(xiàn)矛盾，卻不能確保它在此后展開中一定不出矛盾。第103頁第103頁以后，人們在歐氏幾何系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)出了一個(gè)個(gè)羅氏幾何模型，在數(shù)學(xué)史上比較著名模型有：龐加萊

32、模型：第104頁第104頁在歐氏平面上畫一條直線將其分為上下兩個(gè)半平面，把不包括這條直線在內(nèi)上半平面作為羅氏平面，其上歐氏點(diǎn)當(dāng)作羅氏幾何點(diǎn)，而上半平面內(nèi)圓心在該直線上半圓或垂直于該直線半直線算作是羅氏幾何直線。第105頁第105頁龐加萊模型，如圖所表示。第106頁第106頁能夠驗(yàn)證，羅氏幾何公理在這個(gè)模型上都是成立。在這里，我們只樸素地來說一說羅氏平行公理是成立。第107頁第107頁如圖所表示：第108頁第108頁F.克萊因模型：在歐氏平面內(nèi)作一個(gè)圓，把圓內(nèi)部（不包括圓周）當(dāng)作羅氏平面，圓內(nèi)部點(diǎn)即羅氏點(diǎn)，圓弦算作羅氏幾何直線。容易驗(yàn)證，羅氏幾何公理都能夠在這個(gè)模型上用歐氏幾何事實(shí)加以解釋。第1

33、09頁第109頁這樣，通過上述模型就把羅氏幾何相容性證實(shí)化歸為了歐氏幾何相容性證實(shí)。人們本來對于歐氏幾何相容性沒有懷疑過，但卻由于羅氏幾何相容性要由歐氏幾何相容性來確保，從而造成對歐氏幾何相容性重重疑慮。第110頁第110頁以后，人們又在羅氏幾何展開中發(fā)覺，羅氏幾何空間中極限球面上也可結(jié)構(gòu)歐氏模型，亦即歐氏幾何全部公理能在羅氏幾何極限球上實(shí)現(xiàn)，這么歐氏幾何相容性又可由羅氏幾何相容性來確保。這說明，歐氏幾何與羅氏幾何公理系統(tǒng)即使不同，但卻是相對相容或互為相容。第111頁第111頁人們當(dāng)然不滿足于兩者互相之間相對相容性證實(shí)，由于看上去較為合理歐氏幾何無矛盾性竟要由很不合理羅氏幾何來確保。因此，必須

34、重新尋求歐氏幾何相容性證實(shí)。 第112頁第112頁由于那時(shí)已有理解析幾何，等于在實(shí)數(shù)系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)了一個(gè)歐氏幾何模型，這就把歐氏幾何相容性進(jìn)一步地歸結(jié)到了實(shí)數(shù)論相容性。但實(shí)數(shù)論相容性如何呢？第113頁第113頁以后，戴德金把實(shí)數(shù)論德無矛盾性歸結(jié)到了自然數(shù)系統(tǒng)無矛盾性，而Frege又把自然數(shù)系統(tǒng)無矛盾性歸結(jié)為集合論無矛盾性。然而，集合論無矛盾性又如何呢？至今還是個(gè)謎。第114頁第114頁獨(dú)立性獨(dú)立性是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理組中任何一個(gè)公理都不能由其它公理推出。獨(dú)立性亦即要求系統(tǒng)中公理數(shù)目減少到最低程度，不允許公理集合中出現(xiàn)多出公理。由于多出公理總能夠作為定理推證出來，又何須再把它列為公理呢？ 第1

35、15頁第115頁換言之，獨(dú)立性事實(shí)上是要求公理系統(tǒng)中每一條都有存在必要性，從而確保公理簡練性。公理系統(tǒng)獨(dú)立性證實(shí)能夠轉(zhuǎn)化為相容性證實(shí)。第116頁第116頁我們有下述定理：假如一個(gè)相容公理系統(tǒng)中某一公理A否認(rèn) ，與公理系統(tǒng)中其它公理不矛盾（即相容），當(dāng)且僅當(dāng)公理A在該公理系統(tǒng)中是獨(dú)立。第117頁第117頁而公理系統(tǒng)相容性能夠采用解釋法或模型法，因此解釋法或模型法同樣能夠證實(shí)公理系統(tǒng)獨(dú)立性。我們?nèi)砸詺W氏和羅氏兩個(gè)幾何公理系統(tǒng)為例。第118頁第118頁如前所述，在歐氏和羅氏兩個(gè)幾何公理系統(tǒng)中，除了歐氏平行公設(shè)和羅氏平行公理互為相反之外，其余公設(shè)、公理和原始概念均相同。通常人們把兩個(gè)公理系統(tǒng)公共部分稱為絕對幾何公理系統(tǒng)。第119頁第119頁因之，歐氏平行公設(shè)在歐氏幾何公理系統(tǒng)中是否獨(dú)立于其它公理之事，無非就是歐氏平行公設(shè)能否在絕對幾何公理系統(tǒng)中作為定理而證實(shí)之。而只要羅氏幾何公理系統(tǒng)是無矛盾，就確保了歐氏平行公設(shè)對于絕對幾何公理系統(tǒng)獨(dú)立性。第120頁第120頁不然，若能在絕對幾何公理系統(tǒng)中把歐氏平行公設(shè)作為定理來證實(shí)話，則羅氏幾何公理系統(tǒng)便是矛盾系統(tǒng)，由于此時(shí)歐氏平行公設(shè)和它一個(gè)否命題即羅氏平行公理在系統(tǒng)中同時(shí)成立。第121頁第121頁完全類似地，由歐氏幾何公理系統(tǒng)無矛盾性也能確保羅氏平行公理對于絕對幾何公