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1、多元函數的偏導數第1頁第1頁 對一元函數：導數描述了函數在處瞬時改變率，它幾何意義就是函數曲線上點處切線斜率。 對于多元函數，我們同樣感興趣它在某處瞬時改變率問題，以二元函數 為例，我們分別討論：相對于以及相對于瞬時改變率偏導數 偏導數定義第2頁第2頁時改變率。沿 軸方向改變率，即當沿 軸方向改變率，即當時改變率?？疾焯幵谛甭市甭实?頁第3頁 偏導數定義設函數在點某一鄰域內有定義，若存在，則稱此極限為或若存在，則稱此極限為函數在點處對 偏導數，記作函數在點處對 偏導數，記作或第4頁第4頁假如函數在區(qū)域 D 內每一點處對 和對 偏導數都存在，那么我們就說函數在 D 內可導，它在 D 內偏導數仍是

2、和二元函數，稱為偏導函數，簡稱偏導數，記為或求偏導辦法：只需將其它變量視為常數，按一元函數求導則可。 偏導數定義第5頁第5頁例1 求下列多元函數偏導數解 解 第6頁第6頁例1 求下列多元函數偏導數解 第7頁第7頁例1 求下列多元函數偏導數解 第8頁第8頁例2 討論 在點處連續(xù)性和可導性。解 令則 極限與相關，故極限不存在，即函數在點處不連續(xù)。但即函數在點處可導。由此知，偏導存在未必連續(xù)。第9頁第9頁但：連續(xù)偏導數存在。連續(xù)偏導數存在。連續(xù)，可導對比一元函數，我們有：可導連續(xù)，不 同 ！ 第10頁第10頁例3 求曲線 在點處切線與 軸正方向所成傾角是多少？解所求傾角 偏導數幾何意義（演示） 第1

3、1頁第11頁 高階偏導數 由于二元函數偏導數仍是二元函數，故可據實際需要再求偏導數，稱之為二階偏導數，同理有三階、四階等高階偏導數。例4 求下列二元函數所有二階偏導數解 第12頁第12頁例4 求下列二元函數所有二階偏導數若二元函數兩個混合偏導在區(qū)域 D 上連續(xù)，則它們必相等。解 第13頁第13頁 全微分相關概念如同一元函數，為處理函數增量近似計算問題，引入全微分。設二元函數為 全增量：稱 為函數在點 處全增量。 關于x偏增量：稱 為函數在點 處關于x偏增量。 關于y偏增量：稱 為函數在點 處關于y偏增量。 第14頁第14頁 全微分則稱函數在 處可微，并稱為函數在 處全微分，記為：顯然有：又能夠表示成 若二元函數 在點 處全增量只要特取 即能夠推出第15頁第15頁 全微分、偏導數、連續(xù)性之間關系 連續(xù)可微偏導存在全微分存在第16頁第16頁例1（1）求：解第17頁第17頁例2 求函數 全微分 解 由于

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