ch12-3三重積分的計(jì)算1課件

1、第三節(jié)一、直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 二、柱面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算 第十二章 三、球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算3. 變密度空間立體的質(zhì)量計(jì)算設(shè)有空間立體 , 其密度為 = ( x , y , z ) ( = ( x , y , z ) 在 上連續(xù) ) , 計(jì)算立體 的質(zhì)量 m 1) “大化小”:將 劃分成至多只有公共邊界面的n個(gè)空間子區(qū)域 :則有當(dāng) 充分小時(shí) , 則 =( x , y , z ) 在 上近似于常數(shù) ( 即近似于不變 )任取 , 則在 上當(dāng) 時(shí) , 2)“常代變”3)“近似和”4)“取極限”一、直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法1 . 投影法 (“先單后重”)方法2 .

2、 截面法 (“先重后單”) 三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為記作A. 利用先單后重的方法計(jì)算三重積分（1）所以有(2)公式 (2) 將三重積分化為先 z , 后 y , x 的三次積分同理對(duì)于區(qū)域可得以下先單后重公式:(3)對(duì)于區(qū)域(4)可得以下先單后重公式:根據(jù)區(qū)域 Dxz , Dyz 的情況 , 利用化二重積分為二次積分的方法 , 再將積分 (3) , (4) 化為三次積分解其中由三個(gè)坐標(biāo)平面及平面 x + 2y + z = 1 所界 例計(jì)算積分往

3、 xy 平面上的投影區(qū)域Dxy 如圖所示利用先單后重公式 (1)解其中由曲面例計(jì)算積分所界的立體往 xz 平面上的投影區(qū)域解例計(jì)算積分其中由 x + y + z = 1 及三個(gè)坐標(biāo)面所界 B、用先重后單方法化三重積分為三次積分將往 z 軸上投影得投影區(qū)間：用平面 z = z ( z c , d , 取定 ) 截得截痕面 Dz , 則區(qū)間 z , z + dz 所對(duì)應(yīng)的薄柱體微元的質(zhì)量為:可以看到: 的質(zhì)量就是 中所有這種薄柱體 微元質(zhì)量的無(wú)限累積 , 利用微元法有從而得到以下先重后單公式其中 Dy 是 y = y b1 , b2 與的截痕區(qū)域 , b1 , b2 是在 y 軸上的投影區(qū)間類(lèi)似地有其中 Dx 是 x = x a , b 與的截痕區(qū)域 , a , b 是在 x 軸上的投影區(qū)間例.計(jì)算三重積分解: 解例計(jì)算積分 ,其中是兩個(gè)球的公共部分由采用先重后單方法計(jì)算解例改變?nèi)畏e分的積分次序(1) 原積分 = 小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法方法1. “先單后重”方法2. “先重后