彈性力學(xué)第三章

1、彈性力學(xué)第三章第1頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3-1 多項(xiàng)式解答3-2 位移分量的求出3-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷3-4 楔形體受重力和液體壓力主 要 內(nèi) 容第2頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3-1 多項(xiàng)式解答(Solutions by Polynomials)適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題。逆解法其中： a、b、c 為待定系數(shù)。檢驗(yàn)(x,y) 是否滿(mǎn)足雙調(diào)和方程：顯然(x,y) 滿(mǎn)足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1. 一次多項(xiàng)式 polynomial o

2、f first degree（2）Inverse method第3頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3-1 多項(xiàng)式解答(Solutions by Polynomials)適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題。逆解法1. 一次多項(xiàng)式 polynomial of first degree（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：X = Y =0，則有：Inverse method結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。第4頁(yè)，共38頁(yè)，2

3、022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三2. 二次多項(xiàng)式 polynomial of second degree（1）其中： a、b、c 為待定常系數(shù)。(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗(yàn)(x,y) 是否滿(mǎn)足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù) )（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。第5頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy第6頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3. 三次多項(xiàng)式 polynomial of second degree

4、（1）其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。檢驗(yàn)(x,y) 是否滿(mǎn)足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：X =Y = 0)（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次齊次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。第7頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三例：可算得：xy1ll圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：MM可見(jiàn)： 對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問(wèn)題應(yīng)力分布。常數(shù) d 與彎矩 M 的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見(jiàn)：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。第8頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xy1llMM說(shuō)明：(1)組成梁端力偶

5、M 的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng) l 遠(yuǎn)大于 h 時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。第9頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三4. 四次多項(xiàng)式（1）檢驗(yàn)(x,y) 是否滿(mǎn)足雙調(diào)和方程（2）得第10頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿(mǎn)足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量： 應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿(mǎn)足：a + e =0）第11頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38

6、分，星期三總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)） （1） 多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿(mǎn)足 。多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)須滿(mǎn)足一定條件，才能滿(mǎn)足 。多項(xiàng)式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿(mǎn)足的條件越多。（2） 一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3） （4） 用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法 逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問(wèn)題）。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，其基本未知量為： ，如何由 求出形變分量、位移分量？問(wèn)題：第12頁(yè)，共38頁(yè)，2

7、022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3-2 位移分量的求出Determination of displacements以純彎曲梁為例，說(shuō)明如何由 求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1. 形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)第13頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為 x 的函數(shù)）（僅為 y 的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)

8、式中：為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)第14頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三（1）( f )討論：式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。當(dāng) x = x0 =常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說(shuō)明： 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。第15頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三（2）將下式中的第二式對(duì) x 求二階導(dǎo)數(shù)：說(shuō)明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即 材料力學(xué)中撓曲線微分方程第16頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，

9、星期三2. 位移邊界條件的利用（1）兩端簡(jiǎn)支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程： 與材力中結(jié)果相同第17頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無(wú)法滿(mǎn)足。邊界條件改寫(xiě)為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（該點(diǎn)水平軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）代入式（f），有可求得：第18頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同說(shuō)明：（1）求位移的過(guò)程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（

10、2）若為平面應(yīng)變問(wèn)題，則將材料常數(shù)E、 作相應(yīng)替換。第19頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；（2）根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出 并讓其滿(mǎn)足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。Semi-inverse method第20頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20

11、日，9點(diǎn)38分，星期三3-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷要點(diǎn) 用半逆解法求解梁、長(zhǎng)板類(lèi)平面問(wèn)題。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析： 主要由彎矩引起； 主要由剪力引起；由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱(chēng)，不隨 x 變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：積分得：(a)(b) 任意的待定函數(shù)Simply supported beam under uniform load第21頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b) 任意的待定函數(shù)(3)由 確定：代入相容方程：第22頁(yè)

12、，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于 x 的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立,有無(wú)窮根。由“高等代數(shù)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：對(duì)前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)第三個(gè)方程得：積分得：(d)第23頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c) (d) 代入 (b) ，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。第24頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星

13、期三(e)2. 應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3. 對(duì)稱(chēng)條件與邊界條件的應(yīng)用第25頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三(f)(g)(h)（1）對(duì)稱(chēng)條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由 q 對(duì)稱(chēng)、幾何對(duì)稱(chēng)： x 的偶函數(shù) x 的奇函數(shù)由此得：要使上式對(duì)任意的 y 成立，須有：第26頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a) 上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應(yīng)力公式第27頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q( i )( j )

14、( k )(b) 左右邊界（次要邊界）：（由于對(duì)稱(chēng)，只考慮右邊界即可。） 不可能滿(mǎn)足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力 N = 0；彎矩 M = 0；剪力 Q = ql；第28頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三( i )( j )( k )可見(jiàn)，這一條件自動(dòng)滿(mǎn)足。代入：第29頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線第30頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4. 與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1 ,截面慣矩

15、：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式 ( p ) ，有（3-6）第31頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng) h / l1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng) h / l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說(shuō)明式（3-6）在兩端不適用。第32頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問(wèn)題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱(chēng)

16、性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（ ）的變化形式。由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量 。由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長(zhǎng)板類(lèi)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本步驟：第33頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三例題：懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內(nèi)力如圖：取 作為分析對(duì)象，可假設(shè)：（a） f(y)為待定函數(shù)由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：（b）對(duì) x 積分一次，有：對(duì) y 再積分一次，有：其中：（c）第34頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三xyOblxQM（c）由 確定待定函數(shù)：（d）要使上式對(duì)任意的x，y成立，有（e）（f）由式（ e）求得（