常微分方程的概念

1、常微分方程的概念第1頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三第六章 常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程和一階線性方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的 解法.第2頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三微分方程淺談 1676年詹姆士.貝努利致牛頓的信中第一次提出微分方程。直到18世紀(jì)中期，微分方程才成為一門獨(dú)立的學(xué)科。微分方程建立以后，立即成為表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的基本工具之一。 例如，1846年9月23日，數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家合作，通過微分方程求解，發(fā)現(xiàn)了一

2、顆有名的新星冥王星。第3頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三微分方程淺談 英國(guó)數(shù)學(xué)家懷特曾說過：“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)，它是研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具?！?微分方程就顯示著數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值。 現(xiàn)代建立起來的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程。第4頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三第一節(jié) 微分方程的基本概念一、問題的提出二、微分方程的定義三、主要問題求方程的解四、總結(jié)第5頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或

3、微分間的關(guān)系。 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。一、問題的提出第6頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 設(shè)所求曲線的方程為yy(x), 則 一曲線通過點(diǎn)(1, 2), 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 解 上式兩端積分 得 因?yàn)榍€通過點(diǎn)(1 2) 即當(dāng)x1時(shí) y2 所以 212C C=1 因此 所求曲線方程為 yx21 (C為任意常數(shù))=xdxy2 引例1第7頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 列車在平直路上以的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米

4、,已知由前一式兩次積分, 可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .引例2第8頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三1、含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。二、微分方程的定義(本章內(nèi)容)第9頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 例常微分方程偏微分方程第10頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，

5、星期三2、常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。一階二階一階第11頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三微分方程的一般表示形式一階微分方程n階微分方程第12頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三引例2 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解引例1 通解:特解:1、微分方程的解 不含任意常數(shù)的解. 三、主要問題-求方程的解第13頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.常微

6、分方程初始條件問題分歧問題第14頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.一階:過定點(diǎn)的積分曲線;二階:常微分方程初始條件也稱為初值問題問題柯西第15頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 例1解微分方程初始條件通解特解第16頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 例1解微分方程初始條件通解特解有何想法？第17頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三2、積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線。第18頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三 例2解第19頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三所求特解為補(bǔ)充:微分方程的初等解法: 初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)第20頁，共23頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)22分，星期三四、小結(jié)微分方程;微分方程的階;微分方程的解;通解;初始條件;特解;初值問題;積分曲線;思考題第21頁，共23頁，2022