1.2常用邏輯用語(yǔ)(3)(反證法)-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材配套課件(滬教版2020)

1、11綜合法條件結(jié)論數(shù)學(xué)推理?xiàng)l件定理公理定義P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q由因?qū)Ч麖?fù)習(xí)綜合法條件結(jié)論數(shù)學(xué)推理?xiàng)l件定理公理定義P Q1Q1 分析法要證：只要證：只需證：顯然成立上述各步均可逆所以 結(jié)論成立格 式復(fù)習(xí)Q P1P1 P2P2 P3得到一個(gè)明顯成立的條件執(zhí)果索因分析法要證：格 式復(fù)習(xí)Q P1P1 P21.直接證明的方法:(1)比較法:作差比較法;作商比較法;(2)綜合法:(3)分析法:2.沒有特別要求的證明題: 用分析法尋找證明思路,用綜合法寫出證明過(guò)程!1.直接證明的方法:(1)比較法:作差比較法;作商比較法;(1.了解反證法是間接證明的一種基本方法；2.識(shí)別反證法所適用的數(shù)學(xué)問

2、題；3.理解反證法的思考過(guò)程（反設(shè)，歸謬）；4.會(huì)用反證法解決數(shù)學(xué)問題.反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解反證法是間接證明的一種基本方法；反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)：壯壯:不會(huì)吧，我今天還碰到了陽(yáng)陽(yáng)和她媽媽呢!上述對(duì)話中,壯壯要告訴媽媽的命題是什么?陽(yáng)陽(yáng)全家沒有外出旅游.媽媽:壯壯,聽說(shuō)陽(yáng)陽(yáng)全家這幾天正在外地旅游.壯壯是怎樣推理該命題的正確性的?從而陽(yáng)陽(yáng)全家沒有外出旅游.假設(shè)陽(yáng)陽(yáng)全家外出旅游,那么今天不可能碰到陽(yáng)陽(yáng),這與今天碰到陽(yáng)陽(yáng)和她媽媽相矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,壯壯:不會(huì)吧，我今天還碰到了陽(yáng)陽(yáng)和她媽媽呢!上述對(duì)話中,壯壯例1：已知：A，B，C是ABC的內(nèi)角。 求證：A，B，C中至少有一個(gè)角大于等于60即 A60，B

3、 60，C 60所以 A+B+C180這與 相矛盾.三角形內(nèi)角和等于180所以假設(shè)錯(cuò)誤， 先假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），然后在假設(shè)的條件下，通過(guò)正確的推理，得出矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而得到原命題成立。 這種證明方法是-假設(shè) 的三個(gè)內(nèi)角A，B，C都小于60，從而A，B，C中至少有一個(gè)角不小于60假設(shè)陽(yáng)陽(yáng)全家外出旅游,從而陽(yáng)陽(yáng)全家沒有外出旅游.那么今天不可能碰到陽(yáng)陽(yáng),這與今天碰到陽(yáng)陽(yáng)相矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,例1：已知：A，B，C是ABC的內(nèi)角。即 A0,y0，x+y2， 求證： 中至少有一個(gè)小于2.證明:假設(shè) 均不小于2，則 x0,y01+x2y，1+y2x將兩式相加得:x+

4、y2，與已知x+y2矛盾，所以 中至少有一個(gè)小于2。例3：已知x0,y0，x+y2，證明:假設(shè) 總結(jié)回顧:1. 反證法證題的一般步驟:假設(shè)原命題不成立得出矛盾假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立經(jīng)過(guò)推理得出結(jié)論與定理、公理、基本事實(shí)、已知條件、定義、假設(shè)等矛盾?？偨Y(jié)回顧:1. 反證法證題的一般步驟:假設(shè)原命題不成立得出矛2. 反證法適用于： 如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面正明，只要研究一種或很少的幾種情形，即“正難則反”2. 反證法適用于： 如果從正面證明，需要分成多種情形思考交流：已知a0，用反證法證明：關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根證明：由于a 0，因此方程至少有一個(gè)根x=b/a

5、，假設(shè)方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2 （x1x2)是方程的兩個(gè)根.思考交流：已知a0，用反證法證明：關(guān)于x的方程ax=b有且宜用反證法證明的題型 （1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題.（2）某些定理的逆命題.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳 述的命題.（4）關(guān)于“唯一性”結(jié)論的命題.（8）涉及各種“無(wú)限”結(jié)論的命題等.（7）有些基本定理或某一知識(shí)體系的初始階段.（6）一些不等量命題的證明.（5）解決整除性問題.宜用反證法證明的題型 （1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題.（2原詞語(yǔ) 否定詞 原詞語(yǔ) 否定詞 等于任意的是 至少有一個(gè) 都是 至多有一個(gè) 大于 至少有n個(gè) 小于 至多有n個(gè) 對(duì)

6、所有x,成立對(duì)任何x，不成立 準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是非常重要的，下面是一些常見的結(jié)論的否定形式. 不是不都是不大于大于或等于一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n-1)個(gè)至少有（n+1)個(gè)存在某x，不成立存在某x,成立不等于某個(gè)原詞語(yǔ) 否定詞 原詞語(yǔ) 否定詞 等于任意的是 至少有一個(gè) 都原詞語(yǔ) 否定詞 p或qp且qp且qp或q原詞語(yǔ) 否定詞 p或qp且qp且qp或q1.寫出下列各結(jié)論的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正數(shù)；（4）aba0b是0或負(fù)數(shù)a不垂直于ba不平行b練習(xí)1.寫出下列各結(jié)論的反面：a0b是0或負(fù)數(shù)a不垂直于ba不2. 用反證法證明命題“三角形中最多有一個(gè)是直角”時(shí)

7、，應(yīng)假設(shè) _ .三角形中有兩個(gè)或三個(gè)角是直角2. 用反證法證明命題“三角形中最多有一個(gè)是直角”三角形中有3.否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為（ ）A.a，b，c都是奇數(shù)B. a，b，c都是偶數(shù)C. a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D. a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)D3.否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正D4.用反證法證明（填空）：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角不小于60已知：如圖， ，是的內(nèi)角求證： ，中至少有一個(gè)角不小于600.證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即60， 60， 60則1800這于矛盾所以假設(shè)，所以，所求證的結(jié)論成立三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180不

8、成立4.用反證法證明（填空）：已知：如圖， ，是5.求證：在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平 行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1l2,l3與l1相交于點(diǎn)P.求證:l3與l2相交.l1l2l3Pl3與l2 不相交.l3l2l1l2 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線平行這與“_ _”矛盾.證明:假設(shè)_,那么_.因?yàn)橐阎猒,所以_,即求證的命題正確.所以過(guò)直線l2外一點(diǎn)P,有兩條直線和l2平行,假設(shè)推理矛盾假設(shè)不成立命題成立5.求證：在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平已知:直線l1,23例1、已知a0，證明：關(guān)于x的方程 ax=b有且只有一個(gè)根.分析：由于a0，因此方程至少有一個(gè)根x= 。從正面較難說(shuō)清為什么只有這個(gè)根，我們采用反證法，即證明如果不只一個(gè)根則會(huì)導(dǎo)致矛盾。 典例剖析25例1、已知a0，證明：關(guān)于x的方程分析：由于a0，因24例1：已知a0，證明：關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。26例1：已知a0，證明：關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)用反證法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng) :（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)， 防止否定不當(dāng)或有所遺漏； （2）推理過(guò)程必須完整，否則不能說(shuō) 明命題的真?zhèn)涡裕?（3）在推理過(guò)程中，要充分使用已知條 件，否則推不出矛盾，或者不能斷 定推出的結(jié)果是錯(cuò)誤的。用反證法證題時(shí),