2020新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形9.1.2余弦定理ppt課件新人教B版必修第四冊

1、2020新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形92020新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形92020新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形9一、余弦定理及其證明1.思考(1)余弦定理是如何證明的?提示:證法1 課本使用了向量的方法推導(dǎo)出了余弦定理,所以|c|2=cc=(b-a)2=a2-2ab+b2=a2-2|a|b|cos C+b2,所以c2=a2+b2-2abcos C.一、余弦定理及其證明提示:證法1 課本使用了向量的方法推導(dǎo)出證法2 (勾股定理法)在ABC中,已知邊a,b及角C,求邊c的長.如果C=90,那么可以用勾股定理求c的長;如果C90,那么是否仍可以用勾股定理來解呢?很自然的想法是構(gòu)造直角三角形,以便于

2、應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)C為銳角時(shí)(圖),高AD把ABC分成兩個(gè)直角三角形ADB和ADC;當(dāng)C為鈍角時(shí)(圖),作高AD,則構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形ADB和ADC,算出c的關(guān)鍵是先算出AD和BD(或DC).AD=bsin C,DC=bcos C,BD=a-bcos C.在RtADB中,運(yùn)用勾股定理,得c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcos C)2=a2+b2-2abcos C.同理可得b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A.證法2 (勾股定理法)在ABC中,已知邊a,b及角C,求邊證法3 利用坐標(biāo)法證明如圖,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(ccos

3、A,csin A),C(b,0)(寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)).所以a2=b2+c2-2bccos A. 證法3 利用坐標(biāo)法證明所以a2=b2+c2-2bccos A證法4 (用正弦定理證明)因?yàn)閍=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.所以b2+c2-2bccos A=4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A)=4R2sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C)=4R2sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin Ccos Bcos C=4R2sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin Bsin

4、Ccos Bcos C=4R2sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sin Bsin Ccos Bcos C=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2.同理可證b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.證法4 (用正弦定理證明)(2)勾股定理和余弦定理的聯(lián)系與區(qū)別?提示:二者都反映了三角形三邊之間的平方關(guān)系,其中余弦定理反映了任意三角形中三邊平方間的關(guān)系,勾股定理反映了直角三角形中三邊平方間的關(guān)系,是余弦定理的特例.(2)勾股定理和余弦定理的聯(lián)系與區(qū)別?2.填空余弦定理的表示及其推論2.填空3.做一做(1)判斷正誤.余弦定理只適用于銳角三角形. (

5、)余弦定理不適用于鈍角三角形. ()已知兩邊和這兩邊的夾角,則這個(gè)三角形確定了. ()已知三邊,則這個(gè)三角形確定了. ()解析:余弦定理適用于任意三角形,故均不正確;根據(jù)余弦定理,已知兩邊和這兩邊的夾角,或已知三邊則這個(gè)三角形確定了,故正確.答案:3.做一做答案:B (3)在ABC中,若a2=b2+bc+c2,則A=. 答案:B (3)在ABC中,若a2=b2+bc+c2,則A(4)在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,則AC等于. (4)在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,則AC等二、用余弦定理解三角形的問題1.思考(1)已知三角形的兩邊a,b及一邊a的對角A解三角形,有幾種方法?

6、提示:不妨設(shè)已知a,b,A,形內(nèi)角和定理求得C,最后求得邊c.方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得邊c,而后由余弦或正弦定理求得B,C.二、用余弦定理解三角形的問題形內(nèi)角和定理求得C,最后求得邊c(2)使用余弦定理有哪些注意事項(xiàng)?提示:使用余弦定理解三角形時(shí),要注意根據(jù)條件恰當(dāng)選取公式.一般地,求邊長時(shí),使用余弦定理;求角時(shí),使用定理的推論.余弦定理及其推論在結(jié)構(gòu)上有所不同,因此在應(yīng)用它們解三角形時(shí)要根據(jù)條件靈活選擇.余弦定理及其推論將用“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”判定三角形全等的定理從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫,使其變成了可以計(jì)算的公式.要注意正弦定理或余弦定理結(jié)合使用,同時(shí)

7、,要注意三角公式的應(yīng)用.(2)使用余弦定理有哪些注意事項(xiàng)?利用余弦定理求三角形內(nèi)角時(shí),一般先求小角,后求大角.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí),也可以使用余弦定理.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出c,即a2=b2+c2-2bccos A.此時(shí),邊c的解的個(gè)數(shù)對應(yīng)三角形解的個(gè)數(shù).在余弦定理中,每一個(gè)等式均含有四個(gè)量,利用方程的觀點(diǎn),可以知三求一.利用余弦定理求三角形的邊長時(shí)容易出現(xiàn)增解,原因是余弦定理中涉及的是邊長的平方,通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程求正實(shí)數(shù).因此解題時(shí)需特別注意三角形三邊長度所應(yīng)滿足的基本條件.利用余弦定理求三角形內(nèi)角時(shí),一般先求小角,后求大角.2.填空利用余弦定理可以

8、解決以下兩類問題:(1)已知兩邊及夾角解三角形;(2)已知三邊解三角形.2.填空3.做一做 A.4B.8C.4或8D.無解 答案:C 3.做一做 A.4B.8C.4或8D.無解 答案:C 答案:D 答案:D (3)在邊長為5,7,8的三角形中,最大角與最小角的和是.解析:設(shè)第三個(gè)角為,由于875,故的對邊長為7,由余弦定理,答案:120 (3)在邊長為5,7,8的三角形中,最大角與最小角的和是探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測已知兩邊和一角解三角形 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測已知兩邊探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究

9、三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟已知兩邊及一角解三角形的方法(1)當(dāng)已知兩邊及它們的夾角時(shí),用余弦定理求解出第三邊,再用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理求解另外兩角,只有一解.(2)當(dāng)已知兩邊及其一邊的對角時(shí),可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情況的討論.利用余弦定理求解相對簡便.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1(1)已知ABC中,a=1,b=1,C=120,則邊c=. 答案:4或5 探究一探究二探究

10、三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測已知三邊解三角形 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測已知三邊探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟已知三邊解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定理或由求得的第一個(gè)角,利用正弦定理求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.(2)利用余弦定理求三角的余弦,進(jìn)而求得三個(gè)角.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究

11、五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測判定三角形的形狀例3在ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,試判斷ABC的形狀.解:解法一:因?yàn)閎2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,所以利用正弦定理可得sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,因?yàn)閟in Bsi

12、n C0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測判定三角探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測解法二:已知等式可化為b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccos Bcos C,由余弦定理可得所以b2+c2=a2,所以ABC為直角三角形.解法三:已知等式變形為b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C,所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C,因?yàn)閎2cos2C+c2cos2B+2bccos Bco

13、s C=(bcos C+ccos B)2=a2,所以b2+c2=a2,所以ABC為直角三角形.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測解法二:探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟判斷三角形形狀的方法已知三角形的邊或角的關(guān)系式解三角形或判斷三角形的形狀,可先觀察條件式的特點(diǎn),再依據(jù)此特點(diǎn)選取變形方法,當(dāng)?shù)仁絻啥烁黜?xiàng)都含有邊時(shí)常用正弦定理變形,當(dāng)?shù)仁絻蛇吅薪堑恼业耐蝺鐣r(shí),常用正弦定理變形,當(dāng)含有邊的積式及邊的平方和與差的形式時(shí),?？紤]用余弦定理變形,可以化邊為角,通過三角變換求解,也可以化角為邊,通過因式分解、配方等方法得出邊的關(guān)系等等.探究一探究二探究三

14、探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測用余弦定理證明問題 證明:在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,所以2(a2-b2)=2accos B-2bccos A,即a2-b2=accos B-bccos A,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測用余弦定探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測

15、反思感悟用余弦定理證明三角恒等式的方法(1)證明三角恒等式,關(guān)鍵是消除等號(hào)兩端三角函數(shù)式的差異.形式上一般有:左右;右左或左中右三種.(2)利用正弦、余弦定理證明三角形中的恒等式的途徑有兩種:一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,一般是通過正弦定理轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測求三角形(或四邊形)的面積例5ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bco

16、s C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面積的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由得sin Csin B=cos Bsin C.又0C,sin C0,得sin B=cos B.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測求三角形探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練5在銳角ABC中,內(nèi)角A,B

17、,C的對邊分別為a,b,c,2asin (1)求A;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測正弦、余探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測利用正、余弦定理求解平面圖形中的線段長典例如圖

18、所示,在四邊形ABCD中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求出BC的長.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測利用正、探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測解題流程 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測解題流程探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當(dāng)堂檢測規(guī)范解答設(shè)BD=x.在ABD中,根據(jù)余弦定理,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosBDA,所以142=102+x2-210 xcos 60,即x2-10 x-96=0.(將四邊形ABCD分解為ABD和BCD,利用余弦定理列出關(guān)于x的一元二次方程,化簡方程時(shí)易出錯(cuò),應(yīng)注意步驟及計(jì)算的準(zhǔn)確性.)解得