湖南省十四校2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

2、目要求的。1已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）ABCD2中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（ ）A每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著B從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程與年價(jià)正相關(guān)C2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上D從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列3若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（ ）A2B-2CD4

3、設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如，）.對(duì)于給定的，定義，.若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是（），則的最小值是（ ）ABCD5以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ( )A8B6C4D26函數(shù)的極值情況是（ ）A有極大值，極小值2B有極大值1，極小值C無極大值，但有極小值D有極大值2，無極小值7設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)a()i，i1，2，3，則a的值為()A1BCD8某班有50人，從中選10人均分2組（即每組5人），一組打掃教室，一組打掃操場，那么不同的選派法有（ ）ABCD9設(shè)x，y，z，則x，y，z的大小關(guān)系是()Ax

4、yzBzxyCyzxDxzy10在區(qū)間-1,4內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則的概率是（）ABCD11已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（ ）ABCD12函數(shù)的大致圖象為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知實(shí)數(shù)且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍構(gòu)成的集合為_14在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，則線段的長度為_.15九章算術(shù)卷五商功中有如下敘述“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈“芻甍”指的是底面為矩形的對(duì)稱型屋脊?fàn)畹膸缀误w，“下廣三丈”是指底面矩形寬三丈，“袤四丈”是指底面矩形長四丈，“上袤二丈”是指脊長二丈，“無寬”是指脊無寬度，“高一丈”是指幾何體

5、的高為一丈現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，下廣三丈，袤四丈，上袤三丈，無廣，高二丈，則該芻甍的外接球的表面積為_平方丈16函數(shù)f(x)=-x-3a(x0且a1)是R上的減函數(shù)，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，直角梯形中，底面，底面且有.（1）求證：；（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值.18（12分）已知，.（1）求證：；（2）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）已知二項(xiàng)式的展開式中第五項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)和.20（12分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且

6、的圖像有一條對(duì)稱軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.21（12分）已知函數(shù)在處取得極值確定a的值；若，討論的單調(diào)性22（10分）若，且.（）求實(shí)數(shù)的值; （）求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可得到答案.【詳解】由題意，所以的虛部是.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，

7、故錯(cuò).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題3、B【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出【詳解】復(fù)數(shù)（1+ai）（1i）1+a+（1a1）i是純虛數(shù)，解得a1故選B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】先根據(jù)的定義化簡的表達(dá)式為,再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)在兩段上的值域,結(jié)合已知條件列不等式即可解得.【詳解】當(dāng)時(shí)，.在上是減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，.在上是減函數(shù)，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求分段函數(shù)的值域,屬于中檔題.5、C【解析】試題分析：如圖，設(shè)拋物線方程為，交軸

8、于點(diǎn)，則，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，故選B.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).6、A【解析】求導(dǎo)分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性再判斷即可.【詳解】由題,函數(shù)定義域?yàn)?令有.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.且當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), 故有極大值,極小值2.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)極值的求解,需要求導(dǎo)分析單調(diào)性.同時(shí)注意函數(shù)在和上分別單調(diào)遞減.屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)分布列中所有概率和為1求a的值.【詳解】因?yàn)镻(Xi)a()i，i1，2，3，所以，選D.【點(diǎn)睛】本題考查分布列的性質(zhì)，考查基本求解能力.8、A【

9、解析】根據(jù)先分組，后分配的原則得到結(jié)果.【詳解】由題意，先分組，可得，再一組打掃教室，一組打掃操場，可得不同的選派法有.故選A【點(diǎn)睛】不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時(shí)，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組注意各種分組類型中，不同分組方法的求解9、D【解析】先對(duì)y,z分子有理化，比較它們的大小，再比較x,z的大小得解.【詳解】y，z，0，zy.xz0，xz.xzy.故答案為D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查比較法比較大小，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步驟是：作差變形（配方、因式分解、通分等）與零比下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商變形（配方

10、、因式分解、通分等）與1比下結(jié)論.如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.10、D【解析】先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型計(jì)算概率.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所?【點(diǎn)睛】幾何概型中長度模型（區(qū)間長度）的概率計(jì)算：.11、D【解析】試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1首先確定振幅和周期，從而得到與；2求的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求，峰點(diǎn)：，；谷點(diǎn)：，也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)，升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn))：，；降零點(diǎn)(圖

11、象下降時(shí)與軸的交點(diǎn))：，12、B【解析】分析：利用函數(shù)的解析式，判斷大于時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，以及小于時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，對(duì)比選項(xiàng)排除即可.詳解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，排除選項(xiàng)，故選B.點(diǎn)睛：本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：先確定各段單調(diào)遞增，再考慮結(jié)合點(diǎn)處也單調(diào)

12、遞增，解得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以因此實(shí)數(shù)的取值范圍構(gòu)成的集合為.點(diǎn)睛：已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點(diǎn)：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對(duì)應(yīng)自變量取值范圍.14、4【解析】可將點(diǎn)P和點(diǎn)Q先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解.【詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，從而.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大.15、【解析】連結(jié)，

13、交于，可得，即可確定點(diǎn)為芻甍的外接球的球心，利用球的表面積公式即可得到答案【詳解】如圖，連結(jié)，連結(jié)，交于，可得，由已知可得，所以點(diǎn)為芻甍的外接球的球心，該球的半徑為，所以該芻甍的外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球表面積的求法，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題16、(0,【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-x-3a(x0且a1)是R上的減函數(shù)，即故其每一段都為減函數(shù)，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；故答案為考點(diǎn)：分段函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】本題是對(duì)分段函數(shù)單調(diào)性的考查，難度適中，容易進(jìn)入陷阱，要想整個(gè)函數(shù)單調(diào)遞減，前提必須為分段函數(shù)的每一段都有自己的單調(diào)性，

14、所以在研究整函數(shù)的單調(diào)性時(shí)每一段都在考查范圍內(nèi)當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，故其每一段都為減函數(shù)，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，故其每一段都為增函數(shù)，且前一段的最大值須小于等于后一段的最小值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：（1）根據(jù)線段長度的關(guān)系得到，、是平面內(nèi)的相交直線，平面，進(jìn)而得到線線垂直；（2）常用的方法是建系，建立空間坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到線面角.解析：（1），且是等腰直角三角形，平面中，可得，即底面，底面， 、是平面內(nèi)的相交直線，平面平面，（

15、2）解法一：幾何法如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接，平面，平面，結(jié)合且，可得平面是在平面內(nèi)的射影，可得就是直線與平面所成的角.中，中，可得因此，在中，即直線與平面所成角的正弦值是.解法二：向量法如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以： 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可取 設(shè)直線與平面所成角為，則 .18、（）證明見解析；（）【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合柯西不等式的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得絕對(duì)值不等式，零點(diǎn)分段求解絕對(duì)值不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.試題解析：()證明:由柯西不等式得,的取值范圍是. ()由柯西不等式得.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,則,其

16、解集為,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）；（2）121【解析】（1），為常數(shù)項(xiàng)，所以，可求出的值，進(jìn)而求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）由題意為有理項(xiàng)，直接計(jì)算即可.【詳解】（1），為常數(shù)項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng).，.（2）由題意為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的展開式，需熟記二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）.【解析】（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，可得最大值A(chǔ)，且能得周期并求得，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】（1）函數(shù)f（x）Asin（x+）（A0

17、，0，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，故最大值A(chǔ)4，且,，1所以.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，.因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)椋?，所以，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)yAsin（x+）的性質(zhì)求解析式，通常由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題21、（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即，解得；（2）由（1）得，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故為增函數(shù)，綜上所知：和是函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，和是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.22、 ()；()2【解析】（）解法1：將展開，找出項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)