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文檔簡介
1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項:1 答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1已知,是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為ABCD2
2、是的( )條件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要3馬林梅森是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2P1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是( )A3B4C5D64函數(shù)(且)的圖象可能為( )ABCD5已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是( )A4BCD6已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是( )ABCD7已知命題:,則為( )A,B,C,D,8已知實數(shù),則的大小關(guān)系是()AB
3、CD9已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為( )ABCD10要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標( )A伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向右平移個單位長度B伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖像向左平移個單位長度C縮短到原來的倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移個單位長度D縮短到原來的倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向右平移個單位長度11已知拋物線:的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,其中點在第一象限,若弦的長為,則( )A2或B3或C4或D5或12已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13
4、若展開式中的常數(shù)項為240,則實數(shù)的值為_.14驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號,生成一幅圖片,圖片里加上一些干擾象素(防止),由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息,輸入表單提交網(wǎng)站驗證,驗證成功后才能使用某項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄,以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間,某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0,1,2,9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”,則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為_.15已知數(shù)列的前項和為且滿足,則數(shù)列的通項_16已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則的值為
5、_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知兩數(shù)(1)當時,求函數(shù)的極值點;(2)當時,若恒成立,求的最大值18(12分)記無窮數(shù)列的前項中最大值為,最小值為,令,則稱是“極差數(shù)列”.(1)若,求的前項和;(2)證明:的“極差數(shù)列”仍是;(3)求證:若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列.19(12分)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為. (1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點,點P(2,1),求|PA|PB|的值.20(12
6、分)已知函數(shù),,使得對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個實根,且,求證:.21(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達對祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標系中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標方程為(),M為該曲線上的任意一點.(1)當時,求M點的極坐標;(2)將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N,求的最大值.22(10分)在平面直角坐標系中,已知拋物線的焦點為,準線為,是拋物線上上一點,且
7、點的橫坐標為,.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線與拋物線交于、兩點,過點且與直線垂直的直線與準線交于點,設(shè)的中點為,若、四點共圓,求直線的方程.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】如圖所示,設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D2、B【答案解析】利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出?!绢}目詳解】設(shè)對應(yīng)的集合是,由解得且 對應(yīng)的集合是 ,所以,故是的必要不充分條件,故選B
8、?!敬鸢更c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法集合關(guān)系法。設(shè) ,如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。3、C【答案解析】模擬程序的運行即可求出答案【題目詳解】解:模擬程序的運行,可得:p1,S1,輸出S的值為1,滿足條件p7,執(zhí)行循環(huán)體,p3,S7,輸出S的值為7,滿足條件p7,執(zhí)行循環(huán)體,p5,S31,輸出S的值為31,滿足條件p7,執(zhí)行循環(huán)體,p7,S127,輸出S的值為127,滿足條件p7,執(zhí)行循環(huán)體,p9,S511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)
9、的個數(shù)是5,故選:C【答案點睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題4、D【答案解析】因為,故函數(shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點:1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.5、D【答案解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當直線過點時,目標函數(shù)取得最大值,最大值為3;當直線過點時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點:線性規(guī)劃.6、D【答案解析】畫出函數(shù) ,將方程看作交點個數(shù),運用圖象判斷根的個數(shù)【題目詳解】畫出函數(shù)令有兩解 ,則分別有3個,2個解,故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D【答案點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用,分類思想的運用,
10、數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題7、C【答案解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【題目詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,.故選:.【答案點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.8、B【答案解析】根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【題目詳解】解:,故選:B【答案點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題9、C【答案解析】根據(jù), 兩邊平方,化簡得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【題目詳解】因為平面向量,滿足,且, 所以,所以,所以 ,所以,所以與的夾角為.故選:C【答案點睛】本題主要考查平面向量的
11、模,向量的夾角和數(shù)量積運算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【答案解析】分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行判斷即可詳解:將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到 再將得到的圖象向左平移個單位長度得到 故選B點睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵11、C【答案解析】先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,即,所以直線的方程為.當直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當直線的方程為.,綜上,或.選C.【答案點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時,一般考慮
12、拋物線的定義.12、B【答案解析】根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對所求模長進行平方運算,可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運算,代入即可求得.【題目詳解】在上投影為,即 又 本題正確選項:【答案點睛】本題考查向量模長的運算,對于含加減法運算的向量模長的求解,通常先求解模長的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析,得到的最小值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【答案解析】依題意可得二項式展開式的常數(shù)項為即可得到方程,解得即可;【題目詳解】解:二項式的展開式中的常數(shù)項為,解得.故答案為:【答案點睛】本題考查二項式展開式中常數(shù)項的計算,屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析
13、】首先判斷出中間號碼的所有可能取值,由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【題目詳解】根據(jù)“鐘型驗證碼” 中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減,所以中間的數(shù)字可能是.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外
14、兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為:【答案點睛】本小題主要考查古典概型概率計算,考查分類加法計數(shù)原理、分類乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中檔題.15、【答案解析】先求得時;再由可得時,兩式作差可得,進而求解.【題目詳解】當時,解得;由,可知當時,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【答
15、案點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.16、【答案解析】先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【題目詳解】解: ,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,所以.故答案為: 【答案點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)唯一的極大值點1,無極小值點(2)1【答案解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負,確定極值點;(2)問題可變形為恒成立,由導(dǎo)數(shù)求出
16、函數(shù)的最小值,時,無最小值,因此只有,從而得出的不等關(guān)系,得出所求最大值【題目詳解】解:(1)定義域為,當時,令得,當所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點,無極小值點(2)當時,若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1【答案點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題在求極值時,由確定的不一定是極值點,還需滿足在兩側(cè)的符號相反不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用18、(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【答案解析】(1)由是遞增數(shù)列,得,由此能求出的前項和.(2)推導(dǎo)出
17、,由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.(3)證當數(shù)列是等差數(shù)列時,設(shè)其公差為,是一個單調(diào)遞增數(shù)列,從而,由,分類討論,能證明若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列.【題目詳解】(1)解:無窮數(shù)列的前項中最大值為,最小值為,是遞增數(shù)列,的前項和.(2)證明:,的“極差數(shù)列”仍是(3)證明:當數(shù)列是等差數(shù)列時,設(shè)其公差為,根據(jù),的定義,得:,且兩個不等式中至少有一個取等號,當時,必有,是一個單調(diào)遞增數(shù)列,是等差數(shù)列,當時,則必有,是一個單調(diào)遞減數(shù)列,.是等差數(shù)列,當時,中必有一個為0,根據(jù)上式,一個為0,為一個必為0,數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上,若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列.【答案點睛
18、】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用,考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.19、(1)直線的普通方程,圓的直角坐標方程:.(2)【答案解析】(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【題目詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x+y30.圓C的極坐標方程為24cos3,轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x2+y24x30.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標方程x2+y24x30,得到,所以|PA|PB|t1t2|6.【答案點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1);(2)證明見解析.【答案解析】(1)根據(jù)題意,在上單調(diào)遞減,求導(dǎo)得,分類討論的單調(diào)性,結(jié)合題意,得出的解析式;(2)由為方程的兩個實根,得出,兩式相減,分別算出和,利用換元法令和構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求出,即可證出結(jié)論.【題目詳解】(1)根據(jù)題意,對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立.則在上單調(diào)遞減,因為,當時,在內(nèi)單調(diào)遞減.
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