3立體幾何中的向量方法-2017年高考數(shù)學(xué)(文)備考學(xué)易黃金易錯(cuò)點(diǎn)含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1直三棱柱ABCABC中，BCA90，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn),BCCA1111111CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A。錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案C方法二如圖(2)，取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)MN,ND，AD，由于MN綊錯(cuò)誤!B1C1綊BD,因此有ND綊BM，則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角設(shè)BC2,則BMND錯(cuò)誤!，AN錯(cuò)誤!，AD錯(cuò)誤!，ND2NA2AD2因此cosANDNA錯(cuò)誤!.2ND2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A1BD所成的角為P在線段CC1上，直線OP與平面，則sin的取值范

2、圍是（)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A錯(cuò)誤!，1B錯(cuò)誤!，1C錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!D錯(cuò)誤!,1答案B剖析依照題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，因此過點(diǎn)P作交線A1O的垂線PE，則PE平面A1BD，依照選項(xiàng)可知B正確3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在直學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有以下三個(gè)命題:三棱A錐D1PC的體積不變；直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;二面角PAD1C的大小不變其中真命題的序號是_答案剖析中，BC1平面AD1C，BC1上隨意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，因此體積不變，正確；中，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面AC

3、D1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等，因此不正確;中，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在平面AD1C1B中,既二面角P-AD1C的大小不受影響，因此正確4已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_答案錯(cuò)誤!剖析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標(biāo)系,以以下圖，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精5.如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點(diǎn)，AEA1B1,點(diǎn)D為棱A1B1上的點(diǎn)1）證明：DFAE;2)可否存在一點(diǎn)D,使得平面DEF與平面

4、ABC所成銳二面角的余弦值為錯(cuò)誤!？若存在，說明點(diǎn)D的地點(diǎn)，若不存在，說明原因?qū)W必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）證明AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1?面A1ACC1,AE?面A1ACC1，AA1AEA，AB面A1ACC1。又AC?面A1ACC1，ABAC,以A為原點(diǎn)成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則有A（0,0，0），E錯(cuò)誤!，F(xiàn)錯(cuò)誤!，A1（0，0，1）,B1(1,0,1),由（1）可知平面ABC的法向量n（0，0,1）設(shè)平面DEF的法向量為m（x，y，z），則錯(cuò)誤!FE，（錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!),錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精6如圖,

5、在以A，B，C,D,E,F為極點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60。1)證明：平面ABEFEFDC；2）求二面角EBCA的余弦值1)證明由已知可得AFDF,AFFE，因此AF平面EFDC，又AF?平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC。2)解過點(diǎn)D作DGEF,垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，錯(cuò)誤!的方向?yàn)閤軸正方向，錯(cuò)誤!為單位長，成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由（1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60,則DF2，DG錯(cuò)誤!,可得A(1,4,0），B(3,4,

6、0)，E（3，0，0）,D（0，0，錯(cuò)誤!）由已知,ABEF，因此AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，因此CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60,進(jìn)而可得C（2，0,3)易錯(cuò)起源1、利用向量證明平行與垂直例1、如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為DF的中點(diǎn)運(yùn)用向量方法證明：學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）OM平面BCF;(2）平面MDF平面EFCD.證明方法一由題意，得AB,AD,AE兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方形邊長為1,則A（

7、0,0，0)，B（1，0,0),C(1,1，0),D（0,1，0）,F(1,0，1)，M錯(cuò)誤!，O錯(cuò)誤!。(1)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!(1，0,0），錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF,錯(cuò)誤!是平面BCF的一個(gè)法向量，且OM?平面BCF,OM平面BCF.(2）設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個(gè)法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2,y2，z2）錯(cuò)誤!（1，1,1)，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!(1,0，0)，錯(cuò)誤!(0,1，1），由錯(cuò)誤!得錯(cuò)誤!令x11，則n1錯(cuò)誤!.同理可得n2(0，1，1)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精向量錯(cuò)誤!與向量錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!共面,又

8、OM?平面BCF，OM平面BCF。(2）由題意知,BF，BC，BA兩兩垂直，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)1錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!20。2OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM?平面MDF，平面MDF平面EFCD。【變式研究】如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中,PA底面ABCD，點(diǎn)E,F分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2。(1)求證：EF平面PAB；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（2)求證:平面PAD平面PDC.證明(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，成立以以

9、下圖的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0,0),B（1，0，0），C（1,2，0)，D（0,2,0），P(0,0，1）,點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC,PD的中點(diǎn)，（2）由（1）可知錯(cuò)誤!(1,0,1），錯(cuò)誤!(0，2，1），錯(cuò)誤!（0,0,1),錯(cuò)誤!(0，2,0),錯(cuò)誤!(1,0,0）,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（0,0,1)1，（0，0）0，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(0,2，0）（1,0，0）0,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,即APDC，ADDC。又APADA,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精DC平面PAD.DC?平面PDC，平面PAD平面PDC.【名師點(diǎn)睛】用向量知識證明立體幾何問題，如故離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只要要證

10、明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行,用向量方法證明直線ab，只要證明向量ab(R）即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需重申直線在平面外【智謀過人,戰(zhàn)勝自我】設(shè)直線l的方向向量為a（a1，b1，c1)，平面,的法向量分別為（a2，b2，c2），v（a3，b3，c3)則有：（1）線面平行l(wèi)?a?a0?a1a2b1b2c1c20。(2）線面垂直l?a?ak?a1ka2，b1kb2，c1kc2.（3）面面平行?v?v?a2a3，b2b3，c2c3.（4)面面垂直?v?v0?a2a3b2b3c2c30。易錯(cuò)起源2、利用空間向量求空間角例2、如圖，在四棱

11、錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精錯(cuò)誤!,PAAD2，ABBC1.(1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段BQ的長解以AB，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!為正交基底成立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1，0,0），C(1,1，0），D(0，2，0）,P0，0，2)1)由于AD平面PAB,因此錯(cuò)誤!是平面PAB的一個(gè)法向量，錯(cuò)誤!(0,2，0）由于錯(cuò)誤!(1,1，2），錯(cuò)誤!(0,2,2)設(shè)平面PCD的法向量為m（x，y，z),學(xué)必求其心得，業(yè)必

12、貴于專精(2)由于錯(cuò)誤!(1，0，2)，設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(，0,2）（01)，又錯(cuò)誤!(0,1,0)，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(,1,2）,又錯(cuò)誤!(0，2,2)，進(jìn)而cos錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.設(shè)12t,t1，3,則cos2CQ，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.當(dāng)且僅當(dāng)t錯(cuò)誤!,即錯(cuò)誤!時(shí)，cos錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!|的最大值為錯(cuò)誤!。由于ycosx在錯(cuò)誤!上是減函數(shù),此時(shí)直線CQ與DP所成角獲取最小值又由于BP錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，因此BQ錯(cuò)誤!BP錯(cuò)誤!.【變式研究】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn),知足錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（01)學(xué)必求其心

13、得，業(yè)必貴于專精(1）若錯(cuò)誤!,求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；2)若二面角PA1CB的正弦值為錯(cuò)誤!,求的值解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,分別以AB,AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，成立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。由于ABAC1，AA12，則A（0，0,0)，B（1,0，0)，C（0，1,0），A1（0,0，2），B1(1，0,2），P（1,0,2）不如取z11，則x1y12，進(jìn)而平面A1BC的一個(gè)法向量為n1(2，2，1）設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為，則sin|cos|。（3）面面夾角設(shè)平面、的夾角為（0)，則cos|錯(cuò)誤!cos，v。易錯(cuò)起源3、利用空間向量求解研究性問題例3、

14、以以下圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD,且MDNB1，E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值;(2)在線段AN上可否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明原因解(1)由題意,易得DMDA，DMDC，DADC.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精設(shè)異面直線NE與AM所成角為,則cos|cos錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!|錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。因此異面直線NE與AM所成角的余弦值為錯(cuò)誤!.(2）假定在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，連結(jié)AE.由于AN，(0,1，1),可設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（0，,），0,1，又錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!，1，0)

15、，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【變式研究】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2,ADAE1,AEAB，且AEBP。1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn),求證：EM平面ABCD;2)線段PD上可否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于錯(cuò)誤!？若存在，試確定點(diǎn)N的地點(diǎn)；若不存在,請說明原因(1）證明由已知,平面ABCD平面ABPE，且BCAB，則BC平面ABPE，因此BA，BP，BC兩兩垂直,故以點(diǎn)B為原點(diǎn)，錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!分別為x軸,y軸，軸正方向，成立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系則P（0,2，0)，D(2，0，1），M錯(cuò)誤!,E(2,1,0）

16、,C（0,0,1)，因此錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。易知平面ABCD的一個(gè)法向量n(0,1，0),因此錯(cuò)誤!n(1，0，錯(cuò)誤!）（0，1，0)0，因此錯(cuò)誤!n,又EM?平面ABCD，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此EM平面ABCD。（2）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為錯(cuò)誤!。原因以下：錯(cuò)誤!（2,2，1),錯(cuò)誤!(2，0，0），設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(01），則錯(cuò)誤!(2，2,1)(2，2，)，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（2,22，）因此sin|cos錯(cuò)誤!，n1|錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.2因此9810,解得1或錯(cuò)誤!（舍去）因此,線段PD上存在一點(diǎn)N，當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成

17、角的正弦值等于錯(cuò)誤!.【名師點(diǎn)睛】空間向量最適合于解決這類立體幾何中的研究性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只要經(jīng)過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷解題時(shí),把要成立的結(jié)論看作條學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精件，據(jù)此列方程或方程組，把“可否存在問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤包c(diǎn)的坐標(biāo)可否有解,可否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，因此為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法【智謀過人，戰(zhàn)勝自我】存在研究性問題的基本特點(diǎn)是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）可否存在或某一結(jié)論可否成立解決這類問題的基本策略是先假定題中的數(shù)學(xué)對象存在（或結(jié)論成立）或姑且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，爾后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛

18、盾，則否認(rèn)假定；否則，給出必然結(jié)論1已知平面ABC，點(diǎn)M是空間隨意一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足條件錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，則直線AM（）A與平面ABC平行B是平面ABC的斜線C是平面ABC的垂線D在平面ABC內(nèi)答案D剖析由已知得M、A、B、C四點(diǎn)共面因此AM在平面ABC內(nèi),選D.2。如圖，點(diǎn)P是單位正方體ABCDA1B1C1D1中學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精異于A的一個(gè)極點(diǎn)，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!的值為()A0B1C0或1D隨意實(shí)數(shù)答案C剖析錯(cuò)誤!可為以下7個(gè)向量:錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，其中一個(gè)與錯(cuò)誤!重合,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!|21；錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!

19、垂直，這時(shí)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0；錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!的夾角為45，這時(shí)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!1cos錯(cuò)誤!1，最后錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!1cosBAC1錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!1，應(yīng)選C.3在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2,0，0)，B2,2,0)，C(0，2，0），D（1，1，錯(cuò)誤!）若S1,S2,S3分別是三棱錐DABC在xOy,yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（)AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D剖析以以下圖，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精AD4如圖，三棱錐的中點(diǎn),則直線CEABCD的棱長全相等,點(diǎn)E為與BD所成角的余弦值為（）A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C

20、.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案A剖析設(shè)AB1，則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cos60cos60cos60錯(cuò)誤!。cos錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。選A.5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(）A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精答案A6正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng),則錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!的取值范圍是_答案0，1剖析以DA所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,DD1所在的直線為z軸，

21、成立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則D（0，0，0），C（0，1,0)，A（1,0，0），B(1,1,0），D1(0,0，1)錯(cuò)誤!（0,1，0)，錯(cuò)誤!（1，1,1)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(，)，且01。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(,1，)，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!10，17在素來角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A（1，6),B(3,8），現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60的二面角,則折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離為_學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精答案2錯(cuò)誤!剖析如圖為折疊后的圖形，其中作ACCD，BDCD,8已知ABCDA1B1C1D1為正方體,（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)23錯(cuò)誤!2；錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）0;向量錯(cuò)誤!與向量錯(cuò)誤!的夾角是60;正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!|。其中正確命題的序號是_答案剖析設(shè)正方體的棱長為1，中(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）2錯(cuò)誤!23錯(cuò)誤!