有限元考試試題及答案

1、江西理工大學(xué)研究生考試試卷20122013學(xué)年第一學(xué)期課程名稱(chēng)：有限元及數(shù)值模擬考試時(shí)間：2012年11月3日考試性質(zhì)（正考、補(bǔ)考或其它）：正考考試方式（開(kāi)卷、閉卷）：開(kāi)卷試卷類(lèi)別（A、B）:A共九大題溫馨提示請(qǐng)考生自覺(jué)遵守考試紀(jì)律，爭(zhēng)做文明誠(chéng)信的大學(xué)生。如有違犯考試紀(jì)律，將嚴(yán)格按照江西理工大學(xué)學(xué)生違紀(jì)處分規(guī)定（試行）處理。學(xué)院專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名題號(hào)一二三四五六七八九十十十總分得分一、簡(jiǎn)答題（共40分，每題10分）論述單元?jiǎng)澐謶?yīng)遵循的原則。說(shuō)明形函數(shù)應(yīng)滿足的條件。說(shuō)明四邊形等參數(shù)單元中“等參數(shù)”的含義，即為什么要引入等參數(shù)單元。闡述邊界元法的主要優(yōu)缺點(diǎn)。二、計(jì)算題（共60分，每題20分）一桿件如圖3

2、所示，桿件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：桿件材料的楊氏模量E1二E2二107吋/in2,截面積A1二5.25in2,A2二75in2,長(zhǎng)度L1=L2=12加，集中力P=100lbf，用有限元方法求解B點(diǎn)和C點(diǎn)位移。備注：（1）1lbf（磅力，libraforce）=4.45N。（2）楊氏模量、彈性模量、Young氏彈性模量具有相同含義（10分）如圖2所示，有一正方形薄板，沿對(duì)角承受壓力作用，厚度t=lm,載荷F=20KN/m，設(shè)泊松比p=0,材料的彈性模量為E,試求它的應(yīng)力分布。（15分）等效結(jié)點(diǎn)荷載。一、簡(jiǎn)答題合理安排單元網(wǎng)格的疏密分布為突出重要部位的單元二次劃分劃分單元的

3、個(gè)數(shù)單元形狀的合理性不同材料界面處及荷載突變點(diǎn)、支承點(diǎn)的單元?jiǎng)澐智€邊界的處理，應(yīng)盡可能減小幾何誤差充分利用結(jié)構(gòu)及載荷的對(duì)稱(chēng)性，以減少計(jì)算量1.答：1)2)3一、簡(jiǎn)答題合理安排單元網(wǎng)格的疏密分布為突出重要部位的單元二次劃分劃分單元的個(gè)數(shù)單元形狀的合理性不同材料界面處及荷載突變點(diǎn)、支承點(diǎn)的單元?jiǎng)澐智€邊界的處理，應(yīng)盡可能減小幾何誤差充分利用結(jié)構(gòu)及載荷的對(duì)稱(chēng)性，以減少計(jì)算量1.答：1)2)3)4)5)6)7)2.答：形函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)條件：必須能反映單元的剛體位移，就是位移模式應(yīng)反映與本單元形變無(wú)關(guān)的由其它單元形變所引起的位移。能反映單元的常量應(yīng)變，所謂常量應(yīng)變，就是與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān)，單元內(nèi)所有點(diǎn)都

4、具有相同的應(yīng)變。當(dāng)單元尺寸取小時(shí)，則單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的形變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。盡可能反映位移連續(xù)性；盡可能反映單元之間位移的連續(xù)性，即相鄰單元位移協(xié)調(diào)。答：含義：所謂的等參數(shù)單元，就是在確定單元形狀的插值函數(shù)和確定單元位移場(chǎng)的插值函數(shù)中采用了完全相同的形函數(shù)。意義：構(gòu)造出一些曲邊地高精度單元，以便在給定地精度下，用數(shù)目較少地單元，解決工程實(shí)際地具體問(wèn)題。4.答：有限單元法是基于變分原理的里茲（Ritz）法的另一種形式，從而使里茲法分析的所有理論基礎(chǔ)都適用子有限單元法，確認(rèn)了有限單元法是處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的一種普遍方法利用變分原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲

5、法的主要區(qū)別是有限單元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求解域而是在單元上規(guī)定的，面且事先不要求滿足任何邊界條件，因此它可以用來(lái)處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題。有限單元法中所利用的主要是伽遼金（Galerkin）法。它可以用于已經(jīng)知道問(wèn)題的微分方程和邊界條件，但變分的泛函尚未找到或者根本不存在的情況，因而進(jìn)一步擴(kuò)大了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域。三十多年來(lái)，有限單元法的應(yīng)用已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)

6、化設(shè)計(jì)并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合?？梢灶A(yù)計(jì)，隨著現(xiàn)代力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的發(fā)展，有限單元法作為一個(gè)具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值分析工具，必將在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展中發(fā)揮更大的作用，其自身亦將得到進(jìn)一步的發(fā)展和完善。三、計(jì)算題解：將桿件分解成兩個(gè)元素,Ae元素1的剛度矩陣0=t1=13.125106Ibf/in，i_AE元素2的剛度矩陣K2=22=9.375x106Ibf/inLz2總剛度矩陣單元?jiǎng)偠染仃囆纬珊螅瑧?yīng)將各單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝集合成整體剛度矩陣（即總剛矩陣）。如所示為桿系結(jié)構(gòu)兩單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖，可得總剛度矩陣為k11K=k0210kG12k11K=k0210

7、kG12kG+kG)22:22kG)23k(2)(3-11)k(2)3233圖3-3桿系結(jié)構(gòu)兩單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖引入邊界條件求解節(jié)點(diǎn)位移總剛矩陣Ik組集完成后，即可獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程為rf1FErf1FE2FV3丿lJ1-l10_1-l1X+ll12_l2_1_l12u1u2uJ3丿(3-12)整個(gè)結(jié)構(gòu)的邊界條件為u已知，三個(gè)未知量三個(gè)方程，因此上式可求得唯一解。u1l-F2112uEll+1FL3JL1121-3解出節(jié)點(diǎn)位移:U=0u2=0.762x10-5inu3=0.18295x10-4in解:（1）建立需要計(jì)算的力學(xué)模型以及劃分單元由于該結(jié)構(gòu)幾何對(duì)稱(chēng)和受載也對(duì)稱(chēng)，故可利用其對(duì)稱(chēng)性，

8、只需要取薄板的1/4作為計(jì)算對(duì)象。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們把它劃分成4個(gè)三角形單元，單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖（b）所示。由于對(duì)稱(chēng)，節(jié)點(diǎn)1，2,4,不可能有水平位移，節(jié)點(diǎn)4,5，6不可能有垂直位移，故施加約束如圖（b）所示。圖兩類(lèi)單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)圖兩類(lèi)單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)取總體x,y坐標(biāo)并確定各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。由圖看出，這里只有兩類(lèi)不同的單元，一類(lèi)單元是1，2,4,另一類(lèi)單元是3。兩類(lèi)單元節(jié)點(diǎn)的編排如圖所示。單元1,單元節(jié)點(diǎn)編排對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)1,2,3。三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如下:x=0 x=0,ix=0,jy=2m,y=1m,ij代入得：b=y一y=0；bijmjc=x一x=1；cimjj三角形面積:x1m，my1mmy一

9、y二二1；byy=1mimijxx二=1；cxx-0immji單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以及單元和節(jié)點(diǎn)的編號(hào)是原始數(shù)據(jù)，可用手工輸入，也可由計(jì)算機(jī)完成。對(duì)于單元2，3，4定出單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值后，同樣可算出，以及各單元的面積。(2)計(jì)算個(gè)單元的剛度矩陣ke及組集成總剛K由于t=1m,卩=0，所以Et41-2丿,于是由式可求得單元?jiǎng)偠染仃嚍?E=Ek1k1k1k1k1k1iiijim111213=k1k1k1=k1k1k1jijjjm212223k1k1k1k1k1k1mimjmm3132330.2500.250.2500.2500.500.5000.2500.750.250.50.250.250.50.250

10、.7500.25000.500.500.2500.250.2500.25同理可得單元2，4的剛度矩陣分別為k2k2k2k4k4k4222425333536e=k2k2k2,ke=k4k4k424244454535556k2k2k2k4k4k4525455636566由于1,2,4單元算出的b,b等值以及三角形面積均相同，故算出2,4ij的單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元1的剛度矩陣數(shù)值完全相同。單元3的節(jié)點(diǎn)i,j,m相應(yīng)于總體編號(hào)中的2,5,3點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為x0,x1m,x1mTOC o 1-5 h zijmy1m,y0,y1mijm由此得：b-1m,b0,b1m,ijmc0,c-1m,c1m.ijm從而

11、算出單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?7q7qk3k3iiijimek3k3k33jik3kjjk3kjmk3kmimjmmk322k325k323k3k3k35235553k3323k3353k3330.5000-0.5000.250.250-0.25-0.2500.250.250-0.25-0.250000.50-0.15-0.5-0.25-0.2500.750.250-0.25-0.25-0.50.250.75E根據(jù)各單元?jiǎng)偠染仃嚱M集成總剛度矩陣b為(Kk1(Kk111k100013k1+k3k2k2+k302323242525k1+k3+k40k3+k4k4333333353536k2k204445k

12、2+k+k4k455555556k4k112k1+k2+k3222222對(duì)稱(chēng)）66由以上結(jié)果求得總剛度矩陣各元素為k=k1=E11110.25k=k1=E11110.2500.5k=k1=E12120.2500.250.5k=k1=E13130.250.50.750.25,E0.250,+E0.50,二E1.50.25,0.250.7500.500.250.251.5k=k1k2k3=E2222222224k=k2=E44440.750.250.250.75-0.5-0.25_0.50,24k=k2=E44440.750.250.250.75-0.5-0.25_0.50,+E0.250,+E0

13、.750.25,二E1.50.25,00.25_00.5_0.250.75_0.251.5_-0.250-0.5-0.25k=k2=E4545k=k4=E5656k=k2k3k4=E55555555-0.25k=k4=E66660.50.25-0.5-0.25,+E-0.50,二E-1-0.25,0-0.25_-0.25-0.25_-0.25-0.5_-0.25-0.25k=k1k3=E232323=k2=E00.25,+E00,二E00.25,000.2500.250-0.5024k=k2k3=E2525250.50,+E0.750.25,+E0.250,二E1.50.25,00.250.2

14、50.7500.50.251.5k=k1k3k4=E333333331111-0.250,-0.25-0.25,-0.5-0.25,k=k3k4=E+E二E353535-0.25-0.5_0-0.5_-0.25-10.250k=k4=E3636把上面計(jì)算出的k11，k對(duì)號(hào)入座放到總剛矩陣Ik中去，于是得到Ik把上面計(jì)算出的k1166的具體表達(dá)式。3）計(jì)算并代入等效節(jié)點(diǎn)載荷及相應(yīng)的位移邊界條件，以建立和求解未知節(jié)點(diǎn)位移的平衡方程組。先求出各項(xiàng)等效節(jié)點(diǎn)載荷然后疊加，以形成方程組右端載荷項(xiàng)，但本問(wèn)題只在節(jié)點(diǎn)1有一個(gè)集中外載荷R=10kN/m（取F二20kN/mi0v0v的一半)。0v0v0v0v由結(jié)

15、構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，可以看出uu12u4v4v5v0。于是需要求的未60v0v代入邊界條件及外載荷以代入邊界條件及外載荷以知節(jié)點(diǎn)位移分量只有6個(gè)，即v,v,u,v,u12335及支反力后,其方程組為0v0v0v0v0.250-0.25-0.2500.2500000000.50-0.500000000-0.2501.50.25-1-0.25-0.25-0.2500.2500-0.25-0.50.251.5-0.25-0.50-0.50.2500000-1-0.251.50.2500-0.5-0.2500.250.250-0.25-0.50.251.500-0.25-10000-0.250000.750.

16、25-0.5-0.250000-0.25-0.5000.250.750-0.25000000.25-0.5-0.25-0.501.50.25-0.5-0.25000.250-0.25-1-0.25-0.250.251.50-0.2500000000-0.500.5000000.25000-0.25-0.2500.25E把左端系數(shù)矩陣行列倒換,于是可分塊求解。第二種辦法是把帶有支反力的10v2u2v300u50u60F1x-10F2x000F4xFy0Fy0F6y0v0v方程去掉,即把系數(shù)矩陣中的第1,3,7個(gè)未知位移的方程式：8,10,12行和列劃掉,得出帶有60v0v0v0v0.5-0.50

17、-0.51.5-0.250-0.251.50-0.50.25E0-0.50.251.500.25-0.25-0.25000000、(v)1vJ10、0.25002-0.50u3v0-0.250031.5-0.5u05-0.50.5丿Iu6J0丿0v0v0v0vuu3V3u5u丿6解此方程組即得到位置節(jié)點(diǎn)位移分量。由上方程組求得位移分量如下：32.52/E、-12.52/E-0.88/E-3.72/E1.76/E1.76/E,(4)求單元應(yīng)力分量求出節(jié)點(diǎn)位移分量后,就可以按式計(jì)算單元中的應(yīng)力33我們略去初應(yīng)變，于是有0對(duì)于單元1，2，4：00-1000-10ts=E010-10.50-0.5-0

18、.5100000.53333最后可求得各單元的應(yīng)力為對(duì)于單元3：最后可求得各單元的應(yīng)力為00100-100-1-0.500050.5-10k=E000-0.5注意至Uu=u=u=v=v=v=0,廠00-1x-E010y、0.50-0.5xyV0-10-1-0.50、00.5丿-0.88-20.00kN/m2、4.40丿V3丿3333廠00-10 x仝E010-1y、0.50-0.5-0.5xyV1000、00.5丿v2003yxy0-1010-10-0.5-0.5廠00、0.51000、00.5丿1.76-12.52kN/m2-0.88-3.72kN/m2、43.08丿9,00-10 x0芻E010-1yT0.50-0.5-0.5xy丿0、00.5丿0-3.72kN/m2-132丿6如圖所示標(biāo)出了各個(gè)單元的應(yīng)力值，而且在單元內(nèi)是不變的,這就說(shuō)明了是一近似解。在單元交界處，應(yīng)力值有突變，這就可以看出，如將單元分得很細(xì),則突變減小，其結(jié)果將會(huì)改善。計(jì)算后的各單元應(yīng)力3.解：N1=L1