電子科大-固體物理課件-第六章

1、第六章 固體能帶論 6 .1 布洛赫定理一、周期性勢場1、周期性勢場：把孤立原子當(dāng)成一個帶正電的點電荷，由于晶格原子周期性排列，內(nèi)部原子的勢場也具有周期性，邊界處勢能將提高。rV(r)xV(x)孤立原子第六章 固體能帶論 6 .1 布洛赫定理rV(r)xV(周期性勢函數(shù) V(r) 可展成傅立葉級數(shù)傅立葉系數(shù)周期性勢函數(shù) V(r) 可展成傅立葉級數(shù)傅立葉系數(shù)一維周期性函數(shù)V(x)展成傅立葉級數(shù)一維周期性函數(shù)V(x)展成傅立葉級數(shù)2、處于周期性勢場中的電子 電子受到相鄰原子實作用； 電子之間互的作用； 其它原子實作用。電子勢函數(shù) 在已知周期性外場 V (r) ，可通過解薛定格方程，求出電子的波函數(shù)

2、和能量。ORnrRn+re2、處于周期性勢場中的電子 電子受到相鄰原子二、布洛赫定理1、布洛赫定理 處于周期性勢場 中的電子 的波函數(shù)為 ，該波函數(shù) 稱為布洛赫函數(shù)。2、布洛赫函數(shù)的特點 一維布洛赫函數(shù)由波恩卡曼邊界條件所以 uk（x）也是周期性函數(shù) 是平面波因子二、布洛赫定理1、布洛赫定理結(jié)論：周期性勢場中的電子波函數(shù)為周期性函數(shù) uk（x）和平面波 調(diào)制結(jié)果調(diào)幅平面波。uk（x）結(jié)論：周期性勢場中的電子波函數(shù)為周期性函數(shù) uk（x）和平面推廣到三維，布洛赫函數(shù)推廣到三維，布洛赫函數(shù)一維二維三維 q 的取值qqxqyqyqzq點的密度三、波矢K的取值與能帶的連續(xù)性一維二維三維 q 的取值qq

3、xqyqyqzq點的密度三、波矢 能帶的連續(xù)性 第一布區(qū)內(nèi)，波矢“q” (或 K )可取 N 個值，每個能帶內(nèi)有 N 個能量狀態(tài)，N 很大，能帶內(nèi)的能級密集，近似看成連續(xù)。 能帶的連續(xù)性6.2 近自由電子近似 近自由電子近似模型：原子實形成的周期性勢場較弱，電子近似認(rèn)為是自由電子，周期性勢場看成微擾。周期性勢場展成傅立葉級數(shù)其中 h = 1, 2 6.2 近自由電子近似 近自由電子近似模型：原子實形成應(yīng)用量子力學(xué)非簡并微擾理論應(yīng)用量子力學(xué)非簡并微擾理論一、一維定態(tài)非簡并微擾 近似認(rèn)為近自由電子處于一維無限深勢阱中，再加上周期性的微擾。1、能量二級近似0L一、一維定態(tài)非簡并微擾1、能量二級近似0

4、L零級（無微擾）一級修正零級（無微擾）一級修正電子科大-固體物理課件-第六章能量二級近似值能量二級近似值2、波函數(shù)的一級近似零級（無微擾）2、波函數(shù)的一級近似零級（無微擾）波函數(shù)一級近似調(diào)幅平面波，Bloch函數(shù)波函數(shù)一級近似調(diào)幅平面波，Bloch函數(shù)能量二級近似波函數(shù)一級近似 根據(jù)量子理論，上述非簡并微擾只適用于 （或 ）比較大的情況，以便很快收斂。22kk-能量二級近似波函數(shù)一級 根據(jù)量子理論，上述非簡這時不能用非簡并微擾處理.這時不能用非簡并微擾處理.二、一維定態(tài)簡并微擾用簡并微擾處理K0/a2/a-/a2/ah/a-h/a二、一維定態(tài)簡并微擾用簡并微擾處理K0/a2/a-/a布區(qū)邊界自

5、由電子波函數(shù)和能量為布區(qū)邊界自由電子波函數(shù)和能量為簡并微擾零級波函數(shù)為自由電子波函數(shù)組合把 和 展式代入 電子科大-固體物理課件-第六章等式兩邊分別乘 ，積分、整理得等式兩邊分別乘 ，積分（1）（1）A、B不全為 0 的條件是能量： （2）（2）當(dāng)即布里淵區(qū)的邊界，此處能量相等微擾后，能級發(fā)生分裂， 分裂為 、當(dāng)即布里淵區(qū)的邊界，此處能量相等微擾后，能級發(fā)生分裂， 把 代入（1）式 選擇原點，A / B =+1波函數(shù)為把 三、近自由電子能量與波函數(shù)的討論自由電子 E K 關(guān)系1、近自由電子 E K 關(guān)系（對能量的討論）（1）當(dāng) k 和 k 遠(yuǎn)離布區(qū)邊界時，即非簡并情況，能量與波函數(shù)修正項 中

6、較大，修正項較小電子近似認(rèn)為是自由電子，E K 曲線是拋物線 KE三、近自由電子能量與波函數(shù)的討論KE（2）在布區(qū)邊界上能級分裂為禁帶寬度為 禁帶（能隙）：各能帶之間的間隙，不允許有電子狀態(tài)。 能帶分裂的位置和禁帶寬度決定于晶體結(jié)構(gòu)以及周期性勢場。（2）在布區(qū)邊界上（3）波矢值接近布區(qū)邊界當(dāng) K 、 K ，簡并情況（3）波矢值接近布區(qū)邊界代入（2）式得代入（2）式得可知，k ，k 小區(qū)域內(nèi)Ek 除分為E-、E+ 外，還要分別加上或減去一個小量。h/aT h=Ek(0)2 VhBZ邊界E+E-可知，k ，k h/aT h=Ek(0)2 VhBZ邊界E+E-h/aT h=Ek(0)2 VhBZ邊界

7、E+E-2、對波函數(shù)的討論電子幾率密度分布ax平均勢能2、對波函數(shù)的討論電子幾率密度分布ax平均勢能 ：對應(yīng)電荷分布，在原子實附近電子出現(xiàn)的幾率密度最大，即負(fù)電荷大部分靠近原子實，勢能比平均勢能低 ，E- E 。 所以，形成兩個態(tài)能量差， ：對應(yīng)電荷分布，在原子實附近電子出現(xiàn)的幾率密度最四、色散關(guān)系圖（E K）1、擴展圖第一能帶第二能帶第三能帶第四能帶KE四、色散關(guān)系圖（E K）第一能帶第二能帶第三能帶第四能帶2、周期圖K2、周期圖K3、簡約圖EK3、簡約圖EK電子能帶結(jié)構(gòu)的特征（結(jié)合E K圖）：（1）在周期性勢場中，電子有帶狀結(jié)構(gòu)的能譜，兩能 帶之間出現(xiàn)能量不允許的區(qū)域，稱為禁帶。能帶 與禁

8、帶交替排列； ( 2 ) E 是 K 的偶函數(shù) E(K) = E(-K)；（3）能帶的分界點出現(xiàn)在BZ邊界；（4）能量越高，能帶越寬；（5）能量E與波矢K是周期函數(shù)；（6）禁帶寬度為 ，與周期性勢場有關(guān)。電子能帶結(jié)構(gòu)的特征（結(jié)合E K圖）：五、三維情況下的近自由電子近似一維三維非簡并微擾五、三維情況下的近自由電子近似一維三維非簡并微擾簡并微擾（布區(qū)邊界）簡并微擾（布區(qū)邊界）六、布區(qū)與布拉格反射布區(qū)邊界 kKkh由右圖知，布拉格反射公式結(jié)論：指向布里淵邊界的任意平面波波矢 ，將受到晶格的布拉格反射，反射波波矢 ，正是由于 和 相遇，形成駐波 和 由于電子幾率密度不同，形成兩個態(tài)能量差 。六、布區(qū)

9、與布拉格反射kKkh由右圖知，布拉格反射公式結(jié)論：kxkykzMX2/a RSC的第一布區(qū)（倒格子為SC）正方體kxkykzMX2/a RSC的第一布fcc 的第一布區(qū)（倒格子為bcc）截角八面體fcc 的第一布區(qū)（倒格子為bcc）截角八面體bcc 的第一布區(qū)（倒格子為fcc）正十二面體bcc 的第一布區(qū)（倒格子為fcc）正十二面體思考題：周期性勢場指什么？布洛赫定理？布洛赫函數(shù)的特點？近自由電子近似模型？近自由電子近似中，禁帶的成因？近自由電子近似中，晶體能帶結(jié)構(gòu)的特點？近自由電子近似中，能帶發(fā)生分裂的位置和禁帶寬度？思考題：6.3 緊束縛近似一、緊束縛近似模型：電子處于很強的原子勢場。當(dāng)原

10、子間距較大時，把每個原子周圍的其它原子所產(chǎn)生的勢場，當(dāng)作對該原子中電子的微擾來處理。電子靠近原子實時，相當(dāng)于處于該原子的勢阱中，電子的運動狀態(tài)同孤立原子束縛電子相似。孤立原子勢場其它原子勢場（周期性勢場）6.3 緊束縛近似一、緊束縛近似模型：電子處于很強的原子二、運動電子的波函數(shù)和能量第 n 個電子在第 n 原子實附近電子距第 n 個原子距離 該處原子實（近似為孤立原子）形成的勢場為 被束縛的電子（s態(tài)）的波函數(shù)為 能量為e二、運動電子的波函數(shù)和能量e孤立原子束縛的電子薛定諤方程 應(yīng)具有布洛赫波函數(shù)的形式，而且歸一化可以得出加上其它原子勢場，晶體中電子波函數(shù)為孤立原子波函數(shù)的線性組合孤立原子束

11、縛的電子薛定諤方程 應(yīng)具有布洛赫波函數(shù)的形式，而薛定格方程薛定格方程同乘 、積分同乘 、積分令令 由于原子間距較大，只有相鄰原子的電子波函數(shù)交疊，即 ，其它為0。由于S態(tài)的波函數(shù)的球?qū)ΨQ性，B（Rn）應(yīng)與 Rn無關(guān)。S態(tài)電子的能量 由于原子間距較大，只有相鄰原子的電子波函數(shù)S例：利用緊束縛近似，求面心立方結(jié)構(gòu)的晶體中S 態(tài)電子的能量。并計算能量的極大值、極小 值和能帶寬度。解 面心立方結(jié)構(gòu)有12個最近鄰，分別是 在XOZ面同理在XOY面 在YOZ面編號：編號： 編號： 例：利用緊束縛近似，求面心立方結(jié)構(gòu)的晶體中S編號：編號電子科大-固體物理課件-第六章電子科大-固體物理課件-第六章電子科大-固

12、體物理課件-第六章面心立方的倒格子為體心立方，第一布區(qū)為截角八面體(0,0,0)X(2/a,0,0)面心立方的倒格子為體心立方，第一布區(qū)為截角八面體(0,0,通過求極值的方法可求出能量極大值和極小值16BEsaA4B12B孤立原子時周期性勢場，禁束縛近似通過求極值的方法可求出能量極大值和極小值16BEsaA4B1孤立原子能級晶體能帶三、原子能級與固體能帶孤立原子能級晶體能帶三、原子能級與固體能帶四、晶體中運動電子的速度、加速度與有效質(zhì)量波包：由 為中心在 （ ）范圍內(nèi)所有波函數(shù)的集合。 在 內(nèi)， 電子在波包 狀態(tài)下的平均速度，相當(dāng)于以 為中心的波包移動的速度k0四、晶體中運動電子的速度、加速度

13、與有效質(zhì)量k0幾率密度當(dāng) 時，即 粒子出現(xiàn)幾率最大 幾率密度當(dāng) 1、一維運動電子的速度、加速度和有效質(zhì)量加速度電子運動速度 對一維情況，在EK曲線上，速度由曲線的斜率決定。1、一維運動電子的速度、加速度和有效質(zhì)量加速度電子運動速度 電子有效質(zhì)量為對一維情況，有效質(zhì)量為標(biāo)量。電子有效質(zhì)量為對一維情況，有效質(zhì)量為標(biāo)量。2、三維運動電子的速度、加速度和有效質(zhì)量2、三維運動電子的速度、加速度和有效質(zhì)量適當(dāng)選擇坐標(biāo)系當(dāng)?shù)饶苊鏋闄E球面，當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎妫m當(dāng)選擇坐標(biāo)系當(dāng)?shù)饶苊鏋闄E球面，2、三維運動電子的速度、加速度和有效質(zhì)量三維一維2、三維運動電子的速度、加速度和有效質(zhì)量三維一維（1）有效質(zhì)量是一個張量，主

14、要由電子能帶結(jié)構(gòu)決定。當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎鏁r，各向同性 （標(biāo)量）（2）在能帶不同位置，有效質(zhì)量不同。能帶底，對應(yīng)能量極小能帶頂，對應(yīng)能量極大kkkEv（1）有效質(zhì)量是一個張量，主要由電子能帶結(jié)構(gòu)決定。當(dāng)?shù)饶苊鏋镋vm*Ek關(guān)系m*k關(guān)系vk關(guān)系UESTC準(zhǔn)自由電子Evm*Ek關(guān)系m*k關(guān)系vk關(guān)系UESTC準(zhǔn)自由電子3、有效質(zhì)量并不代表真正的質(zhì)量，而是代表能帶中電子受外力時，外力與加速度的一個比例系數(shù)。負(fù)的有效質(zhì)量說明晶格對電子作負(fù)功，即電子要供給晶格能量，而且電子供給晶格的能量大于外場對電子作功。3、有效質(zhì)量并不代表真正的質(zhì)量，而是代表能帶中電子4、引入有效質(zhì)量的意義 概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢場作用，使

15、得在解決半導(dǎo)體中電子在外力作用下的運動規(guī)律時，可以不涉及到半導(dǎo)體內(nèi)部勢場的作用。5、布區(qū)邊界，有效質(zhì)量與真實質(zhì)量有顯著差別 晶格對電子的作用越弱，有效質(zhì)量與真實質(zhì)量差別越??；晶格對電子的作用越強，有效質(zhì)量與真實質(zhì)量差別越大。當(dāng)電子波矢在布區(qū)邊界時，散射最強，晶格對電子的作用大，有效質(zhì)量與真實質(zhì)量有顯著差別。4、引入有效質(zhì)量的意義例：二維正方格子，求S態(tài)電子的能量； 能帶寬度；能帶頂和能帶底的有效質(zhì)量。例：二維正方格子，求S態(tài)電子的能量；6.6 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體 固體導(dǎo)電是由于外電場作用下，電子定向運動的結(jié)果。 從能帶論看，電子能量的變化是電子從一個能級躍遷到另一能級上。1、滿帶：一個能帶內(nèi)

16、的全部狀態(tài)均被電子所填滿。滿帶滿帶不導(dǎo)電6.6 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體滿帶滿帶不導(dǎo)電滿帶不導(dǎo)電1、未加外電場滿帶中盡管每個電子都帶一定電流，但狀態(tài)k、-k的電子電流正好抵消。2、加外場時 K軸上的各 k點以相同速度沿外場反方向運動，從第一布區(qū)一端移出，相當(dāng)與從另一端進(jìn)入。整個滿帶仍處于填滿狀態(tài)，所以不導(dǎo)電。滿帶不導(dǎo)電 K軸上的各 k點以相同速度沿外場反A滿帶： 無凈電流，不導(dǎo)電XAAXXYYYEkkkZZZ0k1k2k3k4k5A滿帶：XAAXXYYYEkkkZZZ0k1k2k3k4k5不滿帶2、不滿帶：未被電子填充滿的能帶。不滿帶導(dǎo)電 在有外場時，在外力F作用下，整個電子分布向一邊移動，破壞對

17、稱性，電子電流部分抵消，產(chǎn)生一定電流。不滿帶2、不滿帶：未被電子填充滿的能帶。不滿帶導(dǎo)電 電子受力：XAAAXXYYYEkkkZZZ不滿帶，有凈電流，導(dǎo)電空電子狀態(tài)電子受力：XAAAXXYYYEkkkZZZ不滿帶，有凈電流，3、空穴：不滿帶中缺少少量電子，在頂部附近出現(xiàn)了一些空的量子狀態(tài)，在外電場的作用下，留下電子也能夠起導(dǎo)電作用，等效于把這些空的量子狀態(tài)看作帶正電荷的準(zhǔn)粒子導(dǎo)電，稱這些量子狀態(tài)為空穴。KE3、空穴：不滿帶中缺少少量電子，在頂部附KE引入空穴意義：引入空穴后，可以把價帶中大量電子對電流的貢獻(xiàn)用少量空穴來描述，使問題簡化。引入空穴意義：4、金屬、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶價帶：電子一系

18、列能帶中，最上面的滿帶稱為價 帶。 導(dǎo)帶：價帶上面，靠近價帶的能帶。1、導(dǎo)體：導(dǎo)帶是半滿，以下能帶全滿。4、金屬、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶2、半導(dǎo)體：導(dǎo)帶全空，以下能帶全滿。禁帶寬 度較小（1 eV左右）。在外界條件變化時，價 帶頂少數(shù)電子被激發(fā)到導(dǎo)帶底，同時價帶頂 有空的電子狀態(tài)（空穴）。所以半導(dǎo)體中導(dǎo) 帶電子和價帶的空穴均參與導(dǎo)電。3、絕緣體：導(dǎo)帶全空，以下能帶全滿。但禁帶 寬度很大，激發(fā)電子需要很大的能量。常溫 下，能激發(fā)的電子數(shù)很少，導(dǎo)電性很差。2、半導(dǎo)體：導(dǎo)帶全空，以下能帶全滿。禁帶寬價帶導(dǎo)帶 絕緣體半導(dǎo)體 導(dǎo)體EgEg價帶導(dǎo)帶 絕緣體半導(dǎo)體 導(dǎo)體EgEg價帶 禁帶導(dǎo)帶價帶價帶禁帶禁帶導(dǎo)帶導(dǎo)帶 絕緣體半導(dǎo)體 導(dǎo)體價帶 禁帶導(dǎo)帶價帶價帶禁帶禁帶導(dǎo)帶導(dǎo)帶 絕