第一章 立體幾何中的向量方法 - 副本

1、第3講立體幾何中的向量方法考情解讀1.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，考查空間想象能力，推理論證能力及計(jì)算能力，屬低中檔問題.2.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間角(主要是線面角和二面角)的計(jì)算，是高考的必考內(nèi)容，屬中檔題.3.以已知結(jié)論尋求成立的條件(或是否存在問題)的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點(diǎn)，屬中高檔問題1直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面、的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，

2、b3，c3)(以下相同)(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線線夾角設(shè)l，m的夾角為(0eq f(,2)，則cos eq f(|ab|,|a|b|)eq f(|a1a2b1b2c1c2|,r(aoal(2,1)boal(2,1)c

3、oal(2,1)r(aoal(2,2)boal(2,2)coal(2,2).(2)線面夾角設(shè)直線l與平面的夾角為(0eq f(,2)，則sin eq f(|a|,|a|)|cosa，|.(3)面面夾角設(shè)半平面、的夾角為(0)，則|cos |eq f(|v|,|v|)|cos，v|.提醒求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析3求空間距離直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)P到平面的距離：deq f(|o(PM,sup6()n|,|n|)(其中n為的法向量，M為內(nèi)任一點(diǎn)).熱點(diǎn)一利用向量證明平行與垂直例1如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE

4、和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)運(yùn)用向量方法證明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，BAD60，E是PA的中點(diǎn)(1)求證：直線PC平面BDE；(2)求證：BDPC；熱點(diǎn)二利用向量求空間角例2如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，ABEF，AD平面ABEF，且AD1，ABeq f(1,2)EF2eq r(2)，AFBE2，P、Q分別為AE、BD的中點(diǎn)(1)求證：PQ平面BCE；(2)求二面角ADFE的余弦值(2013山東)如圖所示，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，B

5、ABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值熱點(diǎn)三利用空間向量求解探索性問題例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC1成60角？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說明理由 如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)(1)求二面角APDB的余弦值；(2)在直線A

6、B上是否存在點(diǎn)M，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為eq f(1,6)，若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由空間向量在處理空間問題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問題“運(yùn)算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關(guān)系，各類角、距離以向量的方式表達(dá)出來，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題應(yīng)用的核心是充分認(rèn)識(shí)形體特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的運(yùn)算解答問題，達(dá)到幾何問題代數(shù)化的目的，同時(shí)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性提醒三點(diǎn)：(1)直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值是線面角的正弦值，而不是余弦值(2)求二面角除利用法向量外，還可以按照二面角的平面角

7、的定義和空間任意兩個(gè)向量都是共面向量的知識(shí)，我們只要是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作和二面角的棱垂直的向量，并且兩個(gè)向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個(gè)向量所成的角的大小就是二面角的大小如圖所示(3)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，且有eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()zeq o(OC,sup6()(x，y，zR)，四點(diǎn)P，A，B，C共面的充要條件是xyz1.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使eq o(MP,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6()，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序

8、實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6().真題感悟(2014北京)如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐PABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.(1)求證：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長押題精練如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1.(1)求直線DF與平面ACEF所成角的正弦值；(2)在線段AC上找一點(diǎn)P，使eq o

9、(PF,sup6()與eq o(DA,sup6()所成的角為60，試確定點(diǎn)P的位置(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1已知平面ABC，點(diǎn)M是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足條件eq o(OM,sup6()eq f(3,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,8)eq o(OB,sup6()eq f(1,8)eq o(OC,sup6()，則直線AM()A與平面ABC平行 B是平面ABC的斜線C是平面ABC的垂線 D在平面ABC內(nèi)2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，P，Q是正方體內(nèi)部或面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq o(AM,sup6()eq o(PQ,sup6()的最大值是()A.

10、eq f(1,2) B1 C.eq f(3,2) D.eq f(5,4)3在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值為()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(10),10) C.eq f(3,5) D.eq f(2,5)4已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于()A.eq f(r(6),4) B.eq f(r(10),4) C.eq f(r(2),2) D.eq f(r(3),2)5在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與

11、平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),2)6如圖，三棱錐ABCD的棱長全相等，E為AD的中點(diǎn)，則直線CE與BD所成角的余弦值為()A.eq f(r(3),6) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(33),6) D.eq f(1,2)二、填空題7在一直角坐標(biāo)系中已知A(1,6)，B(3，8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60的二面角，則折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離為_8正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_9已知正方形ABC

12、D的邊長為4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為_10已知ABCDA1B1C1D1為正方體，(eq o(A1A,sup6()eq o(A1D1,sup6()eq o(A1B1,sup6()23eq o(A1B1,sup6()2；eq o(A1C,sup6()(eq o(A1B1,sup6()eq o(A1A,sup6()0；向量eq o(AD1,sup6()與向量eq o(A1B,sup6()的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|eq o(AB,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(AD,sup6()|.其中正確命題的序號(hào)是_三、解答題11.如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.12(2014課標(biāo)全國)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：