導(dǎo)數(shù)應(yīng)用常見九種錯(cuò)解剖析

1、PAGE 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用常見九種錯(cuò)解剖析導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)極為方便，尤其是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、和切線的方程，但是筆者在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還存在許多誤區(qū)。一、對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義理解不清致錯(cuò)例1、已知函數(shù)，則 B 0 C D 2錯(cuò)解：，從而選；或剖析：防錯(cuò)的關(guān)鍵是認(rèn)真理清導(dǎo)數(shù)的定義特別是要分清導(dǎo)數(shù)定義中“”與“”的對(duì)應(yīng)形式的多樣性。正解：原式=,從而應(yīng)選。點(diǎn)評(píng)：=,函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值在自變量的增量趨近于零時(shí)的極限，分子分母中的自變量的增量必須保持對(duì)應(yīng)一致，它是非零的變量，它可以是2，等。在導(dǎo)數(shù)定義中應(yīng)特別注意“”

2、與“”的對(duì)應(yīng)形式的多樣性，但不論哪種形式都應(yīng)突現(xiàn)“”與“”的一致性。二、對(duì)“連續(xù)”與“可導(dǎo)”定義理解不清致錯(cuò)。例2、函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù)的（）、充分不必要條件 B必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件錯(cuò)解： 認(rèn)為“連續(xù)”與“可導(dǎo)”是同一個(gè)概念而錯(cuò)選?；蛘邔?duì)充分、必要條件的概念不清而導(dǎo)致錯(cuò)選。剖析：防錯(cuò)關(guān)鍵是（）理清充分、必要條件的概念；（）函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)必在x=x0處連續(xù)，函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù)不一定在x=x0處可導(dǎo)。如函數(shù)在x=處連續(xù)但在x=處不可導(dǎo)。在x=處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，的左右極限不相等，所以其極限不相等，因此

3、函數(shù)在x=處不可導(dǎo)。從而本題應(yīng)選。三、對(duì)為極值的充要條件理解不清致錯(cuò)。例3、函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a、b的值。錯(cuò)解： =3x2+2ax+b,由題意知 =0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=11 ,或a=3 b=3剖析：錯(cuò)誤的主要原因是把為極值的必要條件當(dāng)作了充要條件，為極值的充要條件是=0且x0附近兩側(cè)的符號(hào)相反.，所以后面應(yīng)該加上：當(dāng)a=4,b=11時(shí)=3x2+8x11=（3x+11）(x1),在x=1附近兩側(cè)的符號(hào)相反， a=4,b=11.當(dāng)a=3 b=3時(shí)fl(x)=3（x1）2, 在x=1附近兩側(cè)

4、的符號(hào)相同，所以a=3 b=3舍去。 （a=4,b=11 時(shí)，f(x)=x3+4x211x+16的圖象見下面左圖，a=3 b=3時(shí)（f(x)=x33x2+3x+9的圖象見右圖。） 四、對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考慮不全致錯(cuò)例4、求函數(shù)=(x0)的單調(diào)增區(qū)間。錯(cuò)解：由題意得=0，又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是（0，+），所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（1，+）。剖析：本題錯(cuò)在對(duì)函數(shù)在x=1處是否連續(xù)沒有研究，顯然函數(shù)在x=1處是連續(xù)的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+）.對(duì)于 0（或 0）的解集中的斷開點(diǎn)的連續(xù)性，我們要進(jìn)行研究，不能草率下結(jié)論。五、對(duì)函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清致錯(cuò)例5、已知函數(shù)f(x)=在(

5、2,+ )內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。錯(cuò)解：=,由函數(shù)f(x) 在(2,+ )內(nèi)單調(diào)遞減知0在(2,+ )內(nèi)恒成立，即在(2,+ )內(nèi)恒成立，因此a.剖析：錯(cuò)誤的主要原因是由于對(duì)于函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是(或)且在D任一子區(qū)間上不恒為零沒有理解。而當(dāng)a=時(shí)=0在(2,+ )恒成立，所以不符合題意，所以舍去。即實(shí)數(shù)a的取值范圍為。六、沒有考慮函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)致錯(cuò)例6、求f(x)=在1，3上的最大值和最小值。錯(cuò)解：由題意得= ，令=0得x=1.當(dāng)x=1和3時(shí)，函數(shù)的最大值是，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值是1.剖析：錯(cuò)誤的主要原因是解題過(guò)程中忽略了對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的考察，因?yàn)?/p>

6、函數(shù)的最值可以在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.所以后面應(yīng)該加上：在定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)為：x1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0當(dāng)x=1和3時(shí)，函數(shù)的最大值是，當(dāng)x=0或2時(shí)，函數(shù)的最小值是0。事實(shí)上只要作出函數(shù)f(x)的圖象就不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=0或2時(shí)，函數(shù)的最小值是0。當(dāng)x=1和3時(shí)，函數(shù)的最大值是。七、忽視原函數(shù)的定義域致錯(cuò)。例6、求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間錯(cuò)解：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為。剖析：錯(cuò)解原因主要是忽視原函數(shù)的定義域所致。正解：先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即因此原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為評(píng)析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，別忘了考慮原函數(shù)的定義域。八、忽視導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象關(guān)系致錯(cuò)。例8、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）錯(cuò)解：本題是一道高考選擇題，抽樣表明許多考生由于對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象關(guān)系深入不夠而憑空亂猜。剖析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，導(dǎo)函數(shù)在x=0和2時(shí)的導(dǎo)函數(shù) 值為0，故原來(lái)的函數(shù)在x=0和2時(shí)取得極值。當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值為正（或0），當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值為負(fù),所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故選項(xiàng)為C。點(diǎn)評(píng)：只要抓住導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)就是原函數(shù)圖象的極值點(diǎn)以及導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的相互關(guān)系本題就可迎刃而解。九、忽視切點(diǎn)在曲線上的隱含條件致錯(cuò)。例9、已知，函數(shù)的圖象與函數(shù) 的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。錯(cuò)解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就